Альмгрен о Фоменко
У меня сложилось впечатление, что рецензию Альмгрена в Bulletin of the American Mathematical Society почти никто из интересовавшихся темой не прочитал. Что, наверное, и понятно - она написана на довольно высоком математическом уровне.
Тут надо пояснить, как пишутся рецензии на книги в Bull. AMS. К рецензиям предъявляются довольно жесткие и неочевидные требования. Книга должна быть всего лишь поводом для того, чтобы рассказать о той области математики, которой посвящена книга. Так что на первом месте идет рассказ об области математики, на втором месте - рассказ о том, что из этой области включено в книгу. Ну и в конце можно привести какие-нибудь критические замечания, которые обычно ограничиваются стилем изложения.
Серьезная критика встречается крайне редко, далеко не каждый год (а в год публикуются десятки рецензий). Критика такого сорта, как в рецензии Альмгрена, не встречалась мне больше ни разу - при том, что я заядлый читатель всех этих рецензий. Это указывает на исключительность ситуации. По стандартам Bull. AMS это, действительно, как писал С.П. Новиков - разгромная рецензия.
После этих замечаний я приведу мой перевод критической части рецензии Альмгрена, опуская формулы и некоторые технические термины.
(Те, что остались, необходимы для связности изложения. В духе В.И. Арнольда я могу пояснить, что многообразия - это многомерные аналоги поверхностей, а задача Плато - это задача о существовании таких поверхностей минимального объема при заданном крае. Для того, чтобы быть полезными, эти поверхности должны быть хотя бы умеренно гладкими - фракталы не годятся. Сам Плато, разумеется, имел в виду очень гладкие поверхности - других в его время просто не знали. Минимальное требование такого сорта упоминается Альмгреном как требование быть непрерывным образом многообразия. Несколько более ограничительное требование - быть липшицевым образом - гораздо более полезно, хотя и очень далеко от гладкости в обычном смысле.)
«Рецензент лично знаком с Фоменко уже более двух десятилетий, и до сих пор не в состоянии понять, почему он не ведет себя более ответственно в его математических заявлениях. Ниже следуют два специфических повода для озабоченности.
На обложке книги утверждается: «В этом томе дано детальное решение проблемы Плато в классе всех многообразий с данным краем...» Фоменко делал аналогичные утверждения на Международном Конгрессе Математиков в 1974-м году в Ванкувере, во введении к большой работе (на русском языке) и в интервью журналу The Mathematical Intelligencer. Его предисловие к рецензируемой книге в этом отношении звучит двусмысленно. Во всяком случае, это утверждение не доказано, что он признает в частном порядке. В настоящее время неизвестно, являются или нет минимальные поверхности того типа, который изучает Фоменко, представимыми как непрерывные образы многообразий или хотя бы как непрерывные образы множеств конечной топологической сложности. Единственный значительный вклад в эту проблему представимости принадлежит Б. Уайту, который работает в несколько ином математическом контексте.
Второй пример встречается в параграфе 8 главы 2, озаглавленном Решение проблемы нахождения глобально минимальных поверхностей в каждом гомотопическом классе мультиварифолдов. Фоменко утверждает, что «Dao Chong Thi решил задачу Плато посредством доказательства существования локально липшицевых отображений...» На самом деле, в известных рецензенту работах, Thi не доказал такой теоремы, поскольку он не установил существования единой константы Липшица для его последовательности отображений. И рецензент, и другие указывали на это при личных встречах с Фоменко. Тем не менее он снова повторяет это утверждение!»
Тут надо пояснить, как пишутся рецензии на книги в Bull. AMS. К рецензиям предъявляются довольно жесткие и неочевидные требования. Книга должна быть всего лишь поводом для того, чтобы рассказать о той области математики, которой посвящена книга. Так что на первом месте идет рассказ об области математики, на втором месте - рассказ о том, что из этой области включено в книгу. Ну и в конце можно привести какие-нибудь критические замечания, которые обычно ограничиваются стилем изложения.
Серьезная критика встречается крайне редко, далеко не каждый год (а в год публикуются десятки рецензий). Критика такого сорта, как в рецензии Альмгрена, не встречалась мне больше ни разу - при том, что я заядлый читатель всех этих рецензий. Это указывает на исключительность ситуации. По стандартам Bull. AMS это, действительно, как писал С.П. Новиков - разгромная рецензия.
После этих замечаний я приведу мой перевод критической части рецензии Альмгрена, опуская формулы и некоторые технические термины.
(Те, что остались, необходимы для связности изложения. В духе В.И. Арнольда я могу пояснить, что многообразия - это многомерные аналоги поверхностей, а задача Плато - это задача о существовании таких поверхностей минимального объема при заданном крае. Для того, чтобы быть полезными, эти поверхности должны быть хотя бы умеренно гладкими - фракталы не годятся. Сам Плато, разумеется, имел в виду очень гладкие поверхности - других в его время просто не знали. Минимальное требование такого сорта упоминается Альмгреном как требование быть непрерывным образом многообразия. Несколько более ограничительное требование - быть липшицевым образом - гораздо более полезно, хотя и очень далеко от гладкости в обычном смысле.)
«Рецензент лично знаком с Фоменко уже более двух десятилетий, и до сих пор не в состоянии понять, почему он не ведет себя более ответственно в его математических заявлениях. Ниже следуют два специфических повода для озабоченности.
На обложке книги утверждается: «В этом томе дано детальное решение проблемы Плато в классе всех многообразий с данным краем...» Фоменко делал аналогичные утверждения на Международном Конгрессе Математиков в 1974-м году в Ванкувере, во введении к большой работе (на русском языке) и в интервью журналу The Mathematical Intelligencer. Его предисловие к рецензируемой книге в этом отношении звучит двусмысленно. Во всяком случае, это утверждение не доказано, что он признает в частном порядке. В настоящее время неизвестно, являются или нет минимальные поверхности того типа, который изучает Фоменко, представимыми как непрерывные образы многообразий или хотя бы как непрерывные образы множеств конечной топологической сложности. Единственный значительный вклад в эту проблему представимости принадлежит Б. Уайту, который работает в несколько ином математическом контексте.
Второй пример встречается в параграфе 8 главы 2, озаглавленном Решение проблемы нахождения глобально минимальных поверхностей в каждом гомотопическом классе мультиварифолдов. Фоменко утверждает, что «Dao Chong Thi решил задачу Плато посредством доказательства существования локально липшицевых отображений...» На самом деле, в известных рецензенту работах, Thi не доказал такой теоремы, поскольку он не установил существования единой константы Липшица для его последовательности отображений. И рецензент, и другие указывали на это при личных встречах с Фоменко. Тем не менее он снова повторяет это утверждение!»