Акустика древних китайских колоколов
Акустика древних китайских колоколов
Примерно до конца I в. до н. э. е Древнем Китае в качестве оркестровых инструментов использовались наборы бронзовых колоколов. Как показали исследования, необычная акустика этих колоколов объясняется их конструктивными особенностями
В данной публикации я представляю пересказ опубликованной в журнале Scientific American, 256, 94 (1987) статьи китайского исследователя акустики двухтоновых колоколов на примере набора из гробницы Цзэнхоу И (Zenghou Yi), 5-й век до н.э. При этом необходимо отметить, что автор немного путается, когда говорит о «западных» колоколах, имея в виду преимущественно американские колокола, используемые в церквях и карильонах: в статье есть утверждения, что «круглый» церковный колокол звучит одним тоном, затем, что у него есть два тона - «ударный» и «основной», - несмотря на то, что признаётся, что в звуке «круглого» церковного колокола идентифицируется шесть составляющих. Тут следует понимать, что автор статьи оценивает звучание колокола с точки зрения способности исполнять на колоколах мелодии, для чего и были предназначены оркестровые колокола чжун.
В 1978 г. в провинции Хубэй на юге Китая археологи обнаружили набор бронзовых колоколов, который был столь большим, что мог бы полностью занять сцену современного концертного зала. Изготовленный примерно в V в.дон. э., набор состоит из 65 колоколов, чей общий диапазон занимает 5 октав (!), что превышает диапазон большинства современных музыкальных инструментов. Содержание инкрустированных золотом надписей на самих колоколах и удерживающих их опорах свидетельствует о существовании в Древнем Китае развитой теории музыки, нашедшей свое отражение в конструкции и размерах древних оркестровых инструментов. Эта находка археологов и недавние исследования самих колоколов говорят о необходимости пересмотра истории акустики.
Древние надписи на колоколах подтвердили то, о чем современные ученые только начинали догадываться: конструкция колоколов такова, что каждый из них может издавать два звука, отличающихся по высоте. По непонятным причинам искусство изготовления уникальных китайских колоколов и способы игры на них не были переданы последующим поколениям, поэтому все это оставалось загадкой на протяжении более 2000 лет.
В форме колоколов много выдумки и особенностей, которые можно по достоинству оценить лишь в свете требований к проектированию колокола, который должен издавать два звука различной высоты. Исследования набора колоколов, обнаруженного археологами, - их вибрационных характеристик и методов настройки - показали, насколько глубокие представления об акустике имели и китайские мастера, отливавшие колокола, и музыканты. Создание таких колоколов невозможно без теоретических познаний в акустике, которые, как считалось прежде, начали развиваться лишь в конце XVIII в. Однако акустические принципы, использованные в китайских бронзовых колоколах, восхищают акустиков даже наших дней.
НАБОР КОЛОКОЛОВ Цзэнхоу И, правителя одного из китайских царств 5 в. до н. э. Набор состоит из трех рядов колоколов, среди которых колокола ню-чжун, юн-чжун и бо, укрепленные на каркасе в виде буквы L (общий вес 2567кг, длинные рамы - 748 см в длину и 265 см в высоту, короткие рамы - длина 335 см, высота 273 см). Исследователям удалось установить, за счет каких конструктивных особенностей колокола могут издавать два звука различной высоты.
Кликайте на картинки, чтобы увеличить их и увидеть в лучшем качестве !
В странах Запада исследования по акустике стали проводиться сравнительно недавно. В 1787 г. немецкий физик Эрнст Ф. Хладни установил, что некоторые области вибрирующей пластины остаются стационарными. В своих опытах Хладни использовал песок, который он сыпал на пластину. Стационарные участки вибрирующей пластины получили название «узловые линии». Их распределение отражает моду колебания тела. Каждая так называемая нормальная мода колебания связана с характерной (собственной) частотой колебания, определяющей высоту звука.
В твёрдом теле могут одновременно возникать много мод колебаний, создавая множество частотных составляющих. Составляющая с наименьшей частотой называется основным тоном; высокочастотные составляющие - обертонами. Если ударить по колоколу или защипнуть струну, будут возбуждены все частотные составляющие, однако их амплитуды не будут одинаковыми. Соотношение амплитуд составляющих определяет тембр - музыкальную окраску звука, как комбинация длин волн определяет цвет света.
В 1890 г. Рэлей исследовал колокола на башне церкви в Терлинге (Англия) и произвел эксперименты с несколькими колоколами в своей лаборатории. В колокольном звуке им было идентифицировано шесть составляющих. Рэлей, чьи работы послужили основой для дальнейших исследований акустики колоколов, считал, что колокол может издавать один основной тон. Проводя исследования только в Европе, он не мог предвидеть того, чему могли бы «научить» китайские колокола, изготовленные тысячелетия назад.
Впервые отдельные колокола были обнаружены археологами в Китае в начале 20-го века. В последствии были найдены наборы и целые ансамбли колоколов. К концу 20-го века было обнаружено несколько тысяч древних колоколов и более 50 колокольных наборов. Несмотря на тщательный анализ колоколов, исследователи обратили внимание на то, что колокола некоторых типов могут издавать два звука разной высоты, лишь в 1977 г. Исследовав колокола, обнаруженные в 1978 г. в провинции Хубэй, они окончательно убедились, что эта особенность не случайна.
В 1977 г. исследователи из Института национальной музыки Хуан Сянпэн, Лу Цзи, Ван Сян, Гу Бобао и их коллеги, исследуя набор колоколов, обнаруженный в провинции Шаньси, установили, что каждый колокол при ударении по нему сбоку порождает более высокий звук, чем при ударении по центру. Интервал между этими звуками всегда был равен малой или большой терции. Результаты исследования вызвали оживленные дискуссии о том, является ли эта особенность случайной или преднамеренной и была ли вторая высота основной или обертоном.
Впоследствии было исследовано более 20 колоколов эпохи Шан (XVI-XI вв. до н. э.) и эпохи Чжоу (1100-221 гг. до н. э.). Ученые пришли к выводу, что эти колокола специально сконструированы так, чтобы издавать два отличающихся по высоте звука. В одном из наборов места удара по колоколам сбоку были украшены рельефно вырезанными фигурами феникса, что, вероятно, связано с древней легендой, в которой пение феникса символизирует музыку.
Когда через год в провинции Хубэй был обнаружен набор из 65 колоколов, исследовавшие его ученые окончательно пришли к выводу, что сделанное ими ранее заключение было верным. Эти колокола были раскопаны в гробнице Цзэнхоу И (Zeng Hou Yi) - правителя древнего царства Цзэн. Набор являлся частью двух больших оркестров, также обнаруженных в этой гробнице. Бронзовые колокола чжун (zhong), украшенные примерно так же, как и колокола набора, известного как бянь-чжун (bian-zhong), хорошо сохранились и были почти полностью настроены. На них имелись надписи, подтверждавшие, что каждый колокол издает два отличающихся по высоте звука. Колокола, входившие в набор, использовались в составе оркестров, поэтому они несколько отличались от церемониальных и церковных колоколов. Каждый колокол в наборе имеет широкий динамический диапазон, и, чтобы на нем можно было исполнять сложные мелодии, его звуки не должны резать слух и быть слишком протяжными.
Рис.1 КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ колокола чжун, определяющие качество его звучания (вид спереди и сбоку). Колокол может издавать два звука разной высоты. Бронзовые выступы мэй служат для лучшего разделения звуков по высоте. Некоторые колокола имеют надписи, указывающие, где необходимо делать удар, чтобы получить звук той или иной высоты.
Акустические характеристики колоколов в значительной мере зависят от их конфигурации. Конструкция колокола чжун асимметрична. В отличие от церковного колокола - круглого в поперечном сечении - он имеет овальный профиль. Его кромка не лежит в одной плоскости, а изгибается вверх спереди и сзади, образуя по бокам заострения. Линия соединения между передней и задней частями колокола называется сянь (xian). В верхней части колокола как спереди, так и сзади имеются 36 круглых бронзовых выступа, которые называются мэй (mei).
В наборе бянь-чжун каждый колокол чжун подвешивается на крюк, закрепленный на балке, с помощью «воротника», называемого сюань (xuan). Эти колокола, не имеющие языков, образуют несколько рядов, а для игры на них используются ударные приспособления различного типа. Обычно колокола высокого и среднего регистров находятся на уровне глаз исполнителя или несколько выше; удары по ним производятся с помощью деревянных молотков. Колокола нижнего регистра составляют нижний ряд; звук из них извлекается с помощью брусов, движущихся почти горизонтально.
Для набора, состоящего из нескольких десятков колоколов, требуется 5-7 исполнителей, которые становятся по обе стороны от ряда колоколов в зависимости от регистра. Колокола удерживаются в таком положении, чтобы их продольная ось составляла угол примерно 30° с вертикалью; равновесие при этом достигается с помощью длинных массивных стержней, называемых юн. В зависимости от тона высота колоколов чжун составляет от нескольких дюймов до нескольких футов.
Звуки двух различных высот, характерные для китайского колокола, порождаются при ударе по различным участкам его поверхности: спереди (sui - суй) - звук одной высоты, и по бокам (gu - гу) - звук другой высоты (см. рис.1). Предполагается, что суй означает «зеркало»; действительно, кромка колокола соответствует профилю вогнутого зеркала, которое в те времена использовалось для разжигания огня. Гу означает «барабан» или «порождающий музыку». Вследствие первостепенности правостороннего в культуре Древнего Китая на правом гу играли гораздо чаше, чем на левом.
Использование колоколов, способных издавать два звука различной высоты, позволяет уменьшить размер набора и делает исполнение на нем более удобным. В западных странах конструкция колоколов менее практична. «Ударный» тон таких колоколов воспринимается как тон на октаву выше по сравнению с основным тоном. Например, в современном американском колоколе основной тон соответствует звуку "до" первой октавы (основная частота 256 Гц), однако воспринимается как звук "до" второй октавы (основная частота 512 Гц). Вес этого колокола около 360 кг. Согласно правилу, в соответствии с которым высота звука, издаваемого круглым колоколом, обратно пропорциональна корню кубическому из его массы, для уменьшения частоты звука в 2 раза необходимо увеличить массу колокола в 8 раз. Чтобы звук указанного американского колокола воспринимался как звук до первой октавы, его масса должна быть более 3 т, т. е. почти на 450 кг превышать массу всего набора колоколов (включая опорную раму), обнаруженного в гробнице Цзэнхоу И.
Изготовление колокола, издающего звук основного тона, было бы связано с высоким потреблением материала и большими сложностями отливки. Тем не менее конструкция церковных колоколов является результатом многовекового экспериментирования. Сведения о конструкции китайских колоколов, совершенствовавшейся в течение тысячелетий, были утрачены после периода Хань (206 г. до н. э. - 220 г. н. э.). Каковы ее акустические секреты, которые не были известны мастерам из западных стран?
Рис 2. ЧАСТОТНЫЕ СОСТАВЛЯЮЩИЕ, от которых зависит качество звука, возбуждаются различными модами колебания. Составляющая, имеющая самую низкую частоту (f), называется основной, другие - обертонами. Обертоны колеблющейся струны являются целочисленными кратными f.
Колокол представляет собой очень сложное акустическое тело. Его частотные составляющие нельзя представить простым арифметическим соотношением в отличие от упругой струны или колеблющейся колонки воздуха, чьи частоты находятся в отношении 1:2:3:4:5:6 и т. д. (рис.2). Как овальный колокол чжун, так и круглый церковный колокол являются адаптацией акустической системы, известной как колеблющаяся пластина. Как в пластинах, так и в колоколах увеличение упругости колеблющегося материала приводит к увеличению частоты колебания, тогда как при увеличении диаметра и плотности наблюдается уменьшение частоты колебания.
Мэри Д. Уоллер из Лондонской медицинской школы для женщин исследовала нормальные моды колебания круглых пластин и опубликовала полученные результаты в 1937 г. Ее узловые фигуры состоят в основном из радиусов (обозначенных m), распределенных симметрично вокруг центра пластины, и колец (обозначенных n), концентрических с периметром пластины (рис.3). Простейшая мода колебания, соответствующая основному тону, имеет четыре узловые линии, разделяющие пластину, как кусок пирога, на четыре колеблющихся сектора. Прилегающие к ним сегменты всегда движутся в противоположных направлениях в любой момент времени. Следующая мода колебания, частота которого в 1,7 раза превышает частоту основного колебания, имеет лишь одно узловое кольцо, очерчивающее внутренний круговой сегмент и внешнее кольцо.
Другие моды, обусловленные дополнительными комбинациями радиусов и колец порождают богатый набор обертонов. Акустически круглый колокол ведет себя так же, как подвешенная в центре пластина, которой придали колоколообразную форму. Нормальные моды колебания круглого колокола, если наблюдать сверху, почти такие же, как у круглой пластины. С наибольшей амплитудой колеблются участки у кромки. Сторона колокола, по которой сделан удар, прогибается внутрь, а прилегающие участки растягиваются вовне, образуя эллипсообразную фигуру. Затем кромка «проходит» через свою первоначальную круговую форму и образует другую эллипсообразную фигуру под прямым углом к первоначальной.
Рис 3. Обертоны колеблющейся пластины не могут быть представлены целочисленным отношением. Их частоты зависят от комбинации узловых радиусов (m) и узловых колец (n): областей, остающихся неподвижными во время колебаний. Красным и белым обозначены движения в противоположных направлениях. Колокол представляет собой частный случай колеблющейся пластины.
В течение этих колебаний некоторые точки колокола остаются относительно неподвижными. Эти точки, в которых пересекаются следующие друг за другом эллипсоидальные деформации, образуют узловые линии колокола, называемые узловыми меридианами. Они не являются узловыми в полном смысле, поскольку пересечения не совсем точные и в направлении поверхности совершается некоторое движение. Это то движение, которое вызывает «пение» бокала, когда по его кромке проводят влажным пальцем.
Узловые меридианы на круглом колоколе находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, как и узловые радиусы на пластине. Вследствие этой симметрии в круглом колоколе может использоваться язык, поскольку удар в любой точке близ кромки колокола порождает одинаковые вибрации. Меридианы на асимметричных колоколах чжун распределены неравномерно, поэтому для любого данного
числа узловых линий возможно более одного пространственного распределения колебаний.
Действительно, в колоколе чжун возникают два хорошо различимых вила колебания, которые могут селективно возбуждаться при ударении в различных участках поверхности колокола: суй и гу. Хотя в каждом виде колебания имеется одинаковое число узловых линий (m = 4, n = 0), расположение этих линий различно, поэтому возникающие звуки имеют разные частоты. Этим разделением мод колебания и объясняются необычные акустические свойства китайских колоколов. Обычно звук гу более высокий, чем звук суй, однако оба не являются взаимоисключающими, поскольку имеют некоторые общие высокочастотные обертоны, порождаемые более сложными модами колебания.
Рис.4 ДВИЖЕНИЕ КРОМКИ звучащего колокола отражает распределение узловых линий для круглого колокола(вверху) и для двух тонов китайского колокола, называемых суй (в центре) и гу (внизу). Серым цветом отмечены положения покоя, цветным - изменения в форме колокола после того, как по нему был сделан удар. На рисунке представлены моды колебания, в которых m равно 4 и 6 соответственно. В этих модах колебания узловые радиусы круглого колокола распределены равномерно, поэтому возможен лишь один вид распределения. Поскольку китайские колокола имеют овальную форму, данное число узловых линий может быть распределено различными способами, и различные узловые картины приводят к различным тонам. Как показано на рисунке, картина узловых радиусов зависит от того, в какой точке делается удар. Древнекитайские мастера сумели добиться максимального разделения по высоте двух тонов колокола чжун.
Древнекитайские мастера создали такие колокола, в которых два набора мод колебаний отличаются акустически, но сравнимы в музыкальном отношении. В каждом колоколе им удалось разделить по высоте два тона методом исключения. Например, при ударении по участку суй передняя, задняя и боковые части колокола колеблются с наибольшей амплитудой, тогда как в участках гу возникают «безмолвные» и неподвижные узлы. Однако при извлечении звука гу узлами становятся участки суй. Таким образом, одна ударная позиция возбуждена в наименьшей степени, когда удар производится по другой позиции, и наоборот.
Древнекитайские мастера, вероятно, обладали теоретическими познаниями в акустике (с помощью которых они могли определять положения узловых меридианов на поверхности колокола, соответствующих двум основным модам колебания) гораздо в большей степени, чем полагали историки. Имея такую теоретическую основу, можно относительно прямым, хотя и не легким способом найти на поверхности колокола точки удара для получения двух основных тонов, отличающихся по высоте. Для наилучшего разрешения между высотами необходимо, однако, разделять как обертоны, так и основные тона. Узловые меридианы, соответствующие основным обертонам гу, сходятся в ударной позиции суй, поэтому они не участвуют в создании тона суй. Меридианы, соответствующие обертонам суй, не сходятся в позиции гу, поэтому следы составляющих суй могут интерферировать, когда возникает звук гу. Именно поэтому кромка колокола имеет аркообразную форму.
При исследовании двух видов нормальных колебаний было установлено что аркообразная кромка колокола соответствует изменению формы колеблющейся модели - пластины, а также изменяет узловые картины главных обертонов суй. Поскольку кромка имеет форму арки, меридианы обертонов суй сходятся в точке, обозначаемой вовсе не случайно как гу. Обычно она удалена на три пятых расстояния от позиции суй до стыка сянь. Место удара является столь важным для получения звука необходимой высоты и качества, что на колоколах делались специальные надписи, обозначающие позиции суй и гу. Ни изогнутая форма кромки, ни точность схождения узловых линий не являются случайными.
Рис.5 УЗЛОВЫЕ КАРТИНЫ для тонов суй (вверху) и гу (внизу) описывают моды колебания основной частот и главных обертонов. Рисунок над каждым колоколом соответствует колебанию пластины с соответствующим числом радиусов и колец. Горизонтальные линии соответствуют кольцам даже если они не окружают колокол, однако вблизи плеч колокола они не влияют на качество звучания и ими можно пренебречь. Как видно из рис.8, тон суй имеет два основных обертона, а тон гу - три
Рис.6 ЛАЗЕРНЫЕ ГОЛОГРАММЫ, на которых видны основные моды колебания для тонов суй (слева) и гу (справа). Широкие белые области соответствуют узлам, темные линии - области интенсивного колебания. На голограммах заметно схождение узловых линий. Изображения получены методом дифференциального отражения света
Рис.7 СХОДИМОСТЬ узловых линий для трех главных частотных составляющих тона суй является важной особенностью конструкции колоколов набора. Если бы кромка колокола лежала в одной плоскости, узлы суй никогда бы не пересекались, и удар в любую часть колокола порождал бы лишь один тон суй. Изогнутая кромка колокола чжун распределяет узловые линии таким образом, что они сходятся в позиции гу (кружок). За счет этого тон гу отделяется от тона суй.
Выступы мэй в верхней части всех колоколов, кроме колоколов самого высокого регистра, также предназначены не только для украшения. Они позволяют сбалансировать амплитуды двух тонов так, чтобы они были сравнимы по громкости. Кроме того, что более важно, мэй также служат для разделения двух тонов. Недавние лабораторные исследования показали, что выступы изменяют полную структуру обертонов или частотный спектр тонов суй и гу. Мэй создают дополнительный вес вокруг плечей колокола, изменяя узловые картины в верхней его части. Поэтому эти выступы наиболее крупные у больших колоколов. Без выступов мэй основные тона суй и гу легко различимы, однако они имеют некоторые общие высокочастотные обертоны. При использовании этих выступов частоты обертонов сдвигаются так, что между обертонами появляется небольшое перекрытие.
Интервал между двумя высотами колокола чжун зависит от способа литья и настройки. Выбор интервала произволен, однако он должен соответствовать мелодической последовательности исполняемого
музыкального сочинения. Кроме того, интервал не должен вносить диссонанс, поскольку, несмотря на усилия создателей колоколов, отзвук вторичного тона может появляться после затухания первичного тона. Мастера эпохи Чжоу настраивали свои колокола так, чтобы ннтервазы обертонов, а также интервалы основных тонов были гармоническими. Например, вторая гармоника тона гу всегда
выше тона суй на октаву и большую или малую терцию; частотные составляющие колокола чжун с малой терцией, разделяющей два тона, находятся в отношении 1 : 1,2 : 2,4 : 2,81 : 3, а составляющие колокола с интервалом в большую терцию - в отношении 1 : 1,25 : 2,5 : 2,81 : 3.
Рис.8 ГРАФИКИ ЧАСТОТНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ подчеркивают важность выступов мэй в разделении тонов суй (синий) и гу (красный). Частоты колоколов без выступов мэй (слева), почти идентичны для двух позиций. Значительно выделяются лишь основные частоты. При использовании выступов (справа) узловые картины в верхней части колокола перегруппировываются, изменяя некоторые частоты и исключая другие. Почти все «следы» тонов гу исчезают с профиля суй, и только «следы» частотных составляющих суй присутствуют в тоне гу. Выступы мэй служат также для увеличения громкости основной составляющей
При сравнении интервалов в наборах колоколов, относящихся к последующим историческим периодам, становится очевидной тенденция использовать интервалы, равные большой и малой терциям, которые существуют в коллекции колоколов Цзэнхоу И. В отсутствие примеров древнекитайской музыки можно лишь предполагать, что эта тенденция связана с тем, что в музыкальных сочинениях того времени отдавалось предпочтение большой и малой терциям. В Европе эти интервалы не считались гармоническими до XII в.
После исследования набора бянь-чжун было установлено, что его колокола почти полностью настроены, несмотря на длительный период захоронения. Второй набор из 36 колоколов, обнаруженный в 1981 г. в том же районе Цзэн, был настроен даже еще лучше. Вибрирующая пластина обычно настраивается путем добавления или удаления материала, однако с помощью этого метода, видимо, невозможно настраивать одну высоту колокольного тона без изменения другой, поскольку обе порождаются одним сплошным физическим телом. Как же настраивался колокол чжун?
И здесь древние мастера использовали свою изумительную способность находить узловые линии. Они могли настраивать по одной высоте, срезая бронзу с внутренней поверхности колокола, тщательно следуя узловым линиям, соответствующим тону другой высоты. Таким образом, настройка высоты суй осуществлялась путем удаления металла вдоль узловых линий гу, и наоборот. В то же время некоторые колокола были отлиты столь тщательно, что они не требовали каких-либо изменений.
Метод бронзового литья с использованием секционной литейной глиняной формы был хорошо развит в Древнем Китае. Однако изготовление колокола чжун нижнего регистра представляло очень сложную задачу. Большие, сложные по форме предметы изготавливались литьем частями с последующим соединением компонентов в окончательной литейной форме. Однако бронзовый китайский колокол, какой бы большой он ни был, всегда отливался как единое целое.
Скульптура из набора Цзэнхоу И:
бронзовый воин, держащий деревянную раму.
(Фото музея Хубэй)
Набор Цзэнхоу И:
Инкрустация золотом на одном из колоколов
(Фото музея Хубэй)
* * *
С древних времен китайские музыканты очень чувствительны к малейшим различиям в качестве звука, и это проявляется во многих их музыкальных инструментах. Возможно, такое отношение к тональной структуре заставило древнекитайских мастеров экспериментировать с конструкцией колоколов овальной формы, в которых возникает большее число видов колебания и имеется более широкий диапазон обертонов.
Музыкальное искусство имеет длительную и замечательную историю, неотделимую от истории человеческой цивилизации. Принципы, использованные в наборе колоколов Цзэнхоу И, свидетельствуют о
том, что наука о музыке имеет столь же длительную и не менее интересную историю. Древнекитайские мастера эпох Шан и Чжоу имели представления об акустике, достаточные для развития музыкального искусства в то время. Ученые и мастера совместно работали над совершенствованием духовых, струнных и ударных инструментов, и благодаря их усилиям была создана оркестровая музыка. О результатах их труда свидетельствуют современные музыкальные инструменты. Колокола же большого набора, издающие два звука разной высоты, не имеют аналога в современном музыкальном мире.
Набор колоколов Цзэнхоу И в гробнице в 1978 году
(Фото музея Хубэй)
КАРТА, на которой отмечены места, где были обнаружены наборы колоколов (на конец 20-го века).
Находки были сделаны только в восточных и южных провинциях Китая. С 1900 г. обнаружено более 50 наборов.
Треугольником с кружком отмечено место находки коллекции Цзэнхоу И.
Читайте далее о настройке звукоряда колоколов Цзэнхоу И в сообщении
Настройка колоколов древнего Китая: основанная на квинтах и терциях шкала в 12-тоновой системе
Использованная литература
- Shen, Sinyan, Acoustics of Ancient Chinese Bells, Scientific American, 256, 94 (1987)
- Синьян Шень, Акустика древних китайских колоколов, "В мире науки", 1987 №6, стр.70-79
- Martin Braun. "Bell tuning in ancient China: a six-tone scale in a 12-tone system based on fifths and thirds", 2003
- Rechiming China's Legendary Bell. China Plus, published: 2018-12-28
- Liu Yang, Eternal Offerings: Chinese Ritual Bronzes from the Erlitou Period to the Eastern Zhou Dynasty (in Cast for Eternity: Ancient Ritual Bronzes from the Shanghai Museum, Williamstown & New Haven: Sterling and Francine Clark Art Institute and Yale University Press, 2014)