Зачем нужны модельные категории

[siyuv]

Модельные категории были введены Квилленом в конце 60-х и сразу же получили интересные применения: рациональная гомотопическая теория, когомологии Андре-Квиллена. Однако больше Квиллен к ним кажется не возвращался. Даже в большой работе по алгебраической К-теории, принесшей ему медаль Филдса, модельные категории не используются, хотя и

Comments

[siyuv]

Я вспомнил об одном недавнем использовании S-конструкции, связанном с модельными категориями. Вальдхаузен предложил двум своим мастерантам (с разницей в несколько лет) подумать над К-теорией модельной категории. Штефен Сагаве опубликовал статью по своей мастерской диссертации. Проблема в том, что модельные категории как правило большие, поэтому непосредственное применение S-конструкции к категории, скажем, кофибрантных объектов наталкивается на теоретико-множественные трудности. Штефен, правда, указывает (в начале 3-й части), что даже если их игнорировать, то из теоремы аддитивности Вальдхаузена можно извлечь стягиваемость S-конструкции для любой категории с бесконечными суммами. Короче, чтобы получить нетривиальные инварианты нужно как-то ограничивать набор объектов. Сагаве рассматривает конечно-представимые (категорное обобщение компактных) объекты и развивает некую теорию. Остается вопрос, а что будет, если взять больший набор объектов? Изменится от этого К-теория, или нет? Пока на него не будет дан внятный ответ, я не думаю, что этот инвариант приживется.

[aron_turgenev]

Мне кажется, что комбинаторные свойства S-конструкции интересны сами по себе (т.е. их следует изучать еще до перехода к гомотопическим группам). Они, например, связаны с произведениями Масси для расширений первого порядка.

[siyuv]

Об этом я ничего не знаю. А кто этим занимался?

[siyuv]

Спасибо за ссылку. Прочитал Author summary в MathSciNet. Напомнило работу Тибора Беке про промежуточные модельные категории на симплициальных множествах. Интересно посмотреть является ли S-конструкция фибрантной в какой-то из них. Там достаточно применить конечную последовательность Кановских расширений?

[sowa]

C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. (1984)?

[aron_turgenev]

Не могу сразу сказать, давно об этом не думал.