Зачем нужны модельные категории

[siyuv]

Модельные категории были введены Квилленом в конце 60-х и сразу же получили интересные применения: рациональная гомотопическая теория, когомологии Андре-Квиллена. Однако больше Квиллен к ним кажется не возвращался. Даже в большой работе по алгебраической К-теории, принесшей ему медаль Филдса, модельные категории не используются, хотя и

Comments

[abhyasa]

Понятно почти все, кроме последнего предложения. О каких вычислениях идет речь? Нестабильные спектралки Адамса записывались уже давно: и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом (он ничего не опубликовал, к сожалению). То, что сложилась некая мотивная наука, позволяющая об арифметике судить универсально и триангулировано - не удивительно, арифметика слишком богата. Попробуйте найти спектралку, существенно использующую модельные категории, которая позволит вам вычислить K_4(Z).

[siyuv]

Понятно почти все, кроме последнего предложения -- это плохо, ради него все и писалось.

О каких вычислениях идет речь? -- о вычислениях гомотопических групп пространств отображений между объектами абстрактной модельной категории.

Нестабильные спектралки Адамса записывались уже давно -- для пространств, да.

и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом -- Стовер ученик Кана, последнего не знаю.

...сложилась некая мотивная наука, позволяющая об арифметике судить универсально и триангулировано - не удивительно, арифметика слишком богата -- этого предложения я не понял.

Попробуйте найти спектралку, существенно использующую модельные категории, которая позволит вам вычислить K_4(Z) -- это не так-то просто сделать. Доказательство Рогнеса не простое и я уверен, что там не одна спектральная последовательность. Вообще же по Квиллену высшие К-группы это гомотопические группы некоего пространства, поэтому новой модельной категории тут не требуется. Просто наличие спектральной последовательности это не панацея. Если удается что-то посчитать, то это

[abhyasa]

> и школой Кана, и Стовером, и Дрэкманом -- Стовер ученик Кана, последнего не знаю.

Дрэкман - ученик Бауэса, написал всего пару статей. В своей диссертации построил интересную спектралку, похожую на спектралку Стовера, с помощью которой гомотопические группы пространств Мура вычисляются. Но это не опубликовано.

Рогнес на идеях Суле все построил, если насчет K_4(Z)=0 говорить. Там хорошая спектралка оказалась, К_3(Z) также считалось.

Вообще, спасибо, интересно.

[abhyasa]

Перечитал постинг более внимательно. Абстрактная теория гомотопий - вещь замечательная, но интересует такой вопрос: есть ли утверждения классической теории гомотопий, для док-ва которых существенно требуется использование модельных категорий? Вы написали о Дваере-Кане. А можно привести "чистые" утверждения? Типа даны две категории (не модельные, а "чистые", приходящие из классического опыта, типа категории к.п. абелевых групп, гомотопические группы которой и есть К-функторы от Z), мы вычисляем (!) гомотопический тип пр-ва отображений между ними, используя какие-то модельные категории. Просто довелось как-то слышать от одного очень авторитетного математика, что модельные категории просто не нужны и являются надуманной абстракцией. Ведь есть еще кофибрантные категории Бауэса, да и еще куча всего. Вопрос прост: зачем нужны модельные категории с точки зрения классической теории гомотопий?

[siyuv]

есть ли утверждения классической теории гомотопий, для док-ва которых существенно требуется использование модельных категорий? -- например построение гомотопических локализаций. Если стремиться к функториальным конструкциям, то без техники модельных категорий не обойтись. Можно, конечно, притвориться, что мы не пользуемся модельными категориями, а всего лишь применяем small object argument, как это сделал Боусфилд в работе про локализацию пространств по отношению к гомологиям, но это самообман, поскольку реально все равно приходится работать в стандартной модельной категории пространств

[abhyasa]

Спасибо. Вы хорошо объясняете. Если происходит некоторое непонимание с моей стороны, то оно связано скорее с проблемой восприятия, а не с проблемой изложения. Дело в том, что я слышал, что сам Квиллен относился к той категории авторитетов, которые считали модельные категории надуманными. Может, я не так понял? Еще раз спасибо за подробные ответы на нечетко сформулированные вопросы.

[siyuv]

Про это мнение Квиллена мне слышать не доводилось. Он писал что-нибудь об этом?

Спасибо за интерес к моему посту.