Любопытно...
А вот любопытно, не являются ли однокоренными слова "легкий", "польза", "нельзя" и "льгота"?..
Фасмер нам на этот вопрос отвечает не сразу, хотя про "легкий" рассказывает много интересного:
"лёгкий, лёгок, легка́, легко́, укр. легки́й, блр. лёгкi, др. русск., ст.-слав. льгъкъ ἐλαφρός (Супр.), болг. лек, ж. ле́ка, сербохорв. ла̏к, словен. láhǝk, ж. láhka, lǝhâk, чеш. lehký, слвц. l'аhký, польск. lekki, в.-луж. lohki, н.-луж. lekki, letki. || Праслав. *lьgъkъ родственно лат. levis «легкий, быстрый», др.-инд. laghúṣ, raghúṣ «грубый, легкий, незначительный», авест. raɣu-, ж. rǝvī (*ragvī) «проворный», др. ирл. сравн. степ. laigiu «меньше, хуже», корн. lе - то же (пракельт. *lagiōs; см. Педерсен, Kelt. Gr. 1, 39, 69), греч. ἐλαχύς «малый», ἐλαφρός «легкий». Наряду с этим существуют формы с носовым инфиксом: авест. rǝnǰyō «легче, ловчее» от raɣu-, д.-в.-н. lungar, лтш. liêgs, гот. leihts (: д.-в.-н. gilingan «удаваться»); см. Бернекер 1, 753 и сл.: М.-Э. 2, 493; Траутман, ВSW 158 и сл. Исходной слав. формой является форма не на n̥, а без носового, вопреки Вондраку (ВВ 29, 114); см. Миккола, RS 1, 16; Бернекер, там же." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BB/%D0%BB%D1%91%D0%B3%D0%BA%D0%B8%D0%B9 )
Вот когда дело доходит до производных (исходным, как мы видим, было "легкий"), то говорит, что
"льго́та, укр. льго́та, вiльго́та, блр. iльго́та, др.-русск. льгота. От лёгкий." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BB/%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%B0 )
"по́льза диал. по́льга - то же, арханг. (Подв.), укр. пíльга «облегчение, успокоение», ср. польск. ulgа - то же; др.-русск. польза (начиная с Остром.; см. Срезн. II, 1149), русск.-цслав. пользевати «быть полезным» и пользовати, ст.-слав. польѕа, польза, полаб. рü᾽ölgа «польза». Из ро- и *lьgа; ср. лёгкий (Мейе, ét. 165 и сл.; 254; Зубатый, Sb. filol. 1, 147; Бернекер 1, 753; Траутман, ВSW 158 и сл.) Ввиду отвердевшего характера -з- Дурново (ZfslPh 1, 487) предполагает цслав. влияние (ср. нельзя́)." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BF/%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%B0 )
"нельзя́ укр. не́льга, нiльга́, нельзя́; не́льга «холодная, сырая погода со снегопадом», блр. нельга́, нiльга́ «нельзя», др.-русск. нельзѣ (Изб. Святосл. 1073 г.) наряду с нельга «не дозволено», Илья Новгор. (см. Срезн. II, 64), нельзя, Румянц. псалт. (ХVI в.), Ипатьевск. летоп., нельза, Лютеранский катехизис 1562 г. (см. Соболевский, Лекции 87), льзѣ «можно», Смол. грам. 1229 г., часто (Напьерский, 444 и сл.), ст.-слав. не льзѣ οὑκ ἐνόν (Супр.), льзѣ (Клоц.), др.-серб. ѥ льза, слвц. nielza, др.-польск. nielza. Первонач. *lьgа, откуда дат. ед. lь(d)zě аналогично трѣбѣ при отрицаниях; см. Мейе, ét. 254; Соболевский, Лекции 249; РФВ 6, 215. Дат. -льзѣ вытесняется формой льзя аналогично случаям: не ме́сто, не досу́г, не вре́мя. Исходное *lьga связано с лёгкий. Ср. по́льза наряду с по́льга, о котором см. Мейе, ét. 165." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BD/%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F )
Шанский про "пользу" говорит, что
"Заимств. из ст.-сл. яз., где оно является преф. производным от льга (см. легкий); г > з по третьему смягчению заднеязычных." ( https://lexicography.online/etymology/shansky/%D0%BF/%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%B0 )
Про "льготу" он же говорит, что "Общеслав. Суф. производное от льга «свобода, легкость», в диалектах еще известного. См. легкий." ( https://lexicography.online/etymology/shansky/%D0%BB/%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%B0 )
Фасмер нам на этот вопрос отвечает не сразу, хотя про "легкий" рассказывает много интересного:
"лёгкий, лёгок, легка́, легко́, укр. легки́й, блр. лёгкi, др. русск., ст.-слав. льгъкъ ἐλαφρός (Супр.), болг. лек, ж. ле́ка, сербохорв. ла̏к, словен. láhǝk, ж. láhka, lǝhâk, чеш. lehký, слвц. l'аhký, польск. lekki, в.-луж. lohki, н.-луж. lekki, letki. || Праслав. *lьgъkъ родственно лат. levis «легкий, быстрый», др.-инд. laghúṣ, raghúṣ «грубый, легкий, незначительный», авест. raɣu-, ж. rǝvī (*ragvī) «проворный», др. ирл. сравн. степ. laigiu «меньше, хуже», корн. lе - то же (пракельт. *lagiōs; см. Педерсен, Kelt. Gr. 1, 39, 69), греч. ἐλαχύς «малый», ἐλαφρός «легкий». Наряду с этим существуют формы с носовым инфиксом: авест. rǝnǰyō «легче, ловчее» от raɣu-, д.-в.-н. lungar, лтш. liêgs, гот. leihts (: д.-в.-н. gilingan «удаваться»); см. Бернекер 1, 753 и сл.: М.-Э. 2, 493; Траутман, ВSW 158 и сл. Исходной слав. формой является форма не на n̥, а без носового, вопреки Вондраку (ВВ 29, 114); см. Миккола, RS 1, 16; Бернекер, там же." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BB/%D0%BB%D1%91%D0%B3%D0%BA%D0%B8%D0%B9 )
Вот когда дело доходит до производных (исходным, как мы видим, было "легкий"), то говорит, что
"льго́та, укр. льго́та, вiльго́та, блр. iльго́та, др.-русск. льгота. От лёгкий." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BB/%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%B0 )
"по́льза диал. по́льга - то же, арханг. (Подв.), укр. пíльга «облегчение, успокоение», ср. польск. ulgа - то же; др.-русск. польза (начиная с Остром.; см. Срезн. II, 1149), русск.-цслав. пользевати «быть полезным» и пользовати, ст.-слав. польѕа, польза, полаб. рü᾽ölgа «польза». Из ро- и *lьgа; ср. лёгкий (Мейе, ét. 165 и сл.; 254; Зубатый, Sb. filol. 1, 147; Бернекер 1, 753; Траутман, ВSW 158 и сл.) Ввиду отвердевшего характера -з- Дурново (ZfslPh 1, 487) предполагает цслав. влияние (ср. нельзя́)." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BF/%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%B0 )
"нельзя́ укр. не́льга, нiльга́, нельзя́; не́льга «холодная, сырая погода со снегопадом», блр. нельга́, нiльга́ «нельзя», др.-русск. нельзѣ (Изб. Святосл. 1073 г.) наряду с нельга «не дозволено», Илья Новгор. (см. Срезн. II, 64), нельзя, Румянц. псалт. (ХVI в.), Ипатьевск. летоп., нельза, Лютеранский катехизис 1562 г. (см. Соболевский, Лекции 87), льзѣ «можно», Смол. грам. 1229 г., часто (Напьерский, 444 и сл.), ст.-слав. не льзѣ οὑκ ἐνόν (Супр.), льзѣ (Клоц.), др.-серб. ѥ льза, слвц. nielza, др.-польск. nielza. Первонач. *lьgа, откуда дат. ед. lь(d)zě аналогично трѣбѣ при отрицаниях; см. Мейе, ét. 254; Соболевский, Лекции 249; РФВ 6, 215. Дат. -льзѣ вытесняется формой льзя аналогично случаям: не ме́сто, не досу́г, не вре́мя. Исходное *lьga связано с лёгкий. Ср. по́льза наряду с по́льга, о котором см. Мейе, ét. 165." ( https://lexicography.online/etymology/vasmer/%D0%BD/%D0%BD%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D1%8F )
Шанский про "пользу" говорит, что
"Заимств. из ст.-сл. яз., где оно является преф. производным от льга (см. легкий); г > з по третьему смягчению заднеязычных." ( https://lexicography.online/etymology/shansky/%D0%BF/%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%B7%D0%B0 )
Про "льготу" он же говорит, что "Общеслав. Суф. производное от льга «свобода, легкость», в диалектах еще известного. См. легкий." ( https://lexicography.online/etymology/shansky/%D0%BB/%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%B0 )