От простого - к несложному ч.1
Что бы ни говорили физиологи, философы и физики, мы видим окружающий нас Мир все-таки в виде плоскости - как экран в кинотеатре. А вот воспринимаем его трехмерным потому, что третью координату дорисовывает мозг, исходя из нашего опыта. Недаром мы прекрасно понимаем объекты планиметрии, но с восприятием трехмерных фигур у нас возникают сложности. Простой пример:
Рис.1
В кубе 5x5x5 выполнена секущая плоскость. Вопрос: сколько кубиков она разрежет?
Для упрощения задачи попробуйте посмотреть на кубик Рубика. Он меньше и его можно легко крутить в руках, пытаясь понять прохождение плоскости через невидимые нам внутренние кубики.
Я сам начал решать эту задачу с помощью детских кубиков своей трехлетней дочки.
И решил, с чем и хочу вас познакомить.
О теореме Пифагора
Начнем с самого простейшего случая - рассмотрим геометрическое представление теоремы Пифагора.
Возьмем решение этого уравнения в наименьших целых числах.
Это означает, что вычитая (или лучше - вырезая) из большего квадрата меньший, мы из оставшейся части (в древности математики называли ее гномоном) можем сложить квадрат, сторона которого будет соизмерима со сторонами первых двух.
Рис.2 Решение через гномон
Считаем квадратики во всех фигурах и убеждаемся в правильности такого подхода. Весь вопрос состоит в том, как вы их считали? Обычно мы считаем слева направо, сверху вниз - как пишем.
Я же предлагаю считать иначе. Попробуйте посчитать за мной. Я их пронумеровал в нужном порядке.
Рис.3 Давайте считать так
Ничего нового не замечаете? А если я разобью квадрат на слои квадратиков вот так:
Рис.4 И это тоже квадрат
Считаем количество квадратиков в каждом слое: 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1
Отсюда получаем такой счет большого квадрата: 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
А если последовательно суммировать слои, то такую последовательность:
1, 3, 6, 10, 15, 19, 22, 24, 25 (1)
Кто помнит из школы бином Ньютона, может узнать в последовательности (1) некоторые из чисел. Да, заслуживает внимания их первая пятерка. Ее можно увидеть и на левом столбце пронумерованного квадрата (рис.3).
Эта пятерка чисел представляет собой биномиальные коэффициенты, которые очень наглядно представляются треугольником Паскаля.
Треугольник Паскаля
Смотрите - наша пятерка расположилась по второму направлению этого арифметического треугольника. Далее в последовательности (1) идут не интересные для нас цифры и мы их отбросим. То есть, мы отрежем вторую половину большого квадрата и тогда наше геометрическое представление будет выглядеть так:
Рис.5 Посмотрим на треугольник Пифагора таким образом
Уравнение Пифагора в числах приобретает, соответственно, другой вид:
А послойный счет квадратиков и их половинок будет выглядеть так:
Ну и что же тут интересного? Вместо целых квадратиков появились еще их половинки и считать стало, вроде бы, сложнее.
Для наглядности, чтобы логичнее представить переход в 3D, изобразим еще раз слои квадратиков:
Продолжение во второй части