Можно ли обойтись без «чертовой лестницы»?
Поскольку данный материал изучается в школе в обязательном порядке, то есть - для всех будущих и физиков и лириков, я позволил себе небольшое отступление от исключительной математической строгости изложения, добавив совсем чуть-чуть литературной приправы, которая должна помочь и лирикам разобраться в достаточно несложном для физиков материале.
Если у вас хорошая зрительная память и вы не лишены некоторой способности к математическому мышлению, то наверняка помните самое непонятное и странное из школьного курса геометрии. Речь идет о рисунке с запоминающимся названием: «Чертова лестница».
Рис.1
Это метод исчерпывания (бесконечного приближения), открытый в античные времена, доказывающий равенство объемов двух пирамид с равновеликими основаниями и одинаковыми высотами. В конечном итоге эта лемма позволяет строго доказать, что:
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту (1).
Можно использовать для вывода этой формулы и интегральное исчисление.
В формулировке своей III проблемы Гильберт, опираясь на письма Гаусса Кристиану Герлингу, ставит вопрос:
Можно ли отказаться от предельного перехода в выводе формулы объема треугольной пирамиды и ограничиться только методом равносоставленности.
Первым ответ дал Макс Дeн, и ответ этот отрицательный. Сегодня III проблема Гильберта считается окончательно закрытой.
А если математикам просто не удалось найти доказательство формулы (1) без перехода к пределу? (именно так ставит вопрос в своей книжке «Третья проблема Гильберта» В.Болтянский). Эта проблема всегда, начиная с античных времен и до наших дней, рассматривалась в свете взаимоотношения исключительно двух объектов - треугольных призмы и пирамиды.
Сейчас мы сделаем дерзкий шаг и усложним задачу - добавим еще одну призму в качестве объекта и посмотри, что из этого выйдет. Ведь иногда усложнение исходных условий может приводить к упрощению процесса решения (вспоминаем Д.Пойа).
Добавим такую треугольную призму, чтобы она, касаясь исходной, образовывала бы параллелепипед (см.рис.2) - к треугольной призме ABDMNC пристыковываем вторую призму APBMQN. Площадь их соединения ABNM выделена красным цветом по периметру. В сумме они образуют параллелепипед DQ.
Замечаем, что в этом случае она должна быть симметрична имеющейся призме, и поэтому будет иметь равный ей объем, что уже достаточно давно доказано без привлечения интегралов и «чертовых лестниц».
Теперь выведем формулу объема треугольной пирамиды - тетраэдра без традиционного перехода к пределу.
Тетраэдр ABCD - исходный, объем которого надо определить.
Рис. 2 ABCD - произвольный тетраэдр
Дополним его до параллелепипеда следующим образом: выберем вершину D в качестве основной, а через вершины A, B и C проведем плоскости, параллельные противоположным граням тетраэдра. И продолжим эти грани тетраэдра до пересечения с новыми плоскостями.
Получаем параллелепипед DQ, состоящий из двух симметричных призм. Одна целиком содержит тетраэдр ABCD, вторая его не содержит.
Разделим ребра параллелепипеда AD, CD, BD пополам точками K, L, M соответственно. Через них проведем новые плоскости, параллельные граням параллелепипеда. Получаем параллелепипед DQ, разбитый на восемь конгруэнтных параллелепипедов (элементов), и все они подобны параллелепипеду DQ.
Несложно видеть, что также конгруэнтны тетраэдры AEFK, EBGM и FGCL, которые занимают определенную часть t соответствующих элементов (параллелепипедов AO, BO, CO). Точно в таком же отношении (иначе можно прийти к противоречию) находятся исходный тетраэдр ABCD и параллелепипед DQ, ибо тетраэдры и параллелепипеды соответственно подобны.
Из анализа чертежа также следует, что тетраэдр EGFO (на рисунке выделен зеленым цветом) не конгруэнтен вышеописанным тетраэдрам, а симметричен им. Однако Герлингу удалось доказать равенство объемов симметричных многогранников при помощи разбиения их на конгруэнтные части.
Итак, объем искомого тетраэдра составлен из объемов следующих многогранников:
Примем объем элемента за единицу.
Тогда:
Откуда:
То есть, любой тетраэдр занимает 1/6 часть объема параллелепипеда, имеющего с ним общие вершину и выходящие из нее три ребра. Вспоминая, что параллелепипед составлен из двух симметричных призм одинакового объема, а так же, что площадь основания тетраэдра ABD составляет половину от верхней плоскости параллелепипеда, получаем искомое:
Объем тетраэдра равен трети объема призмы, имеющей с тетраэдром общие основание и высоту, что и требовалось доказать.
Несложно заметить, что ребра построенного параллелепипеда DQ можно разбивать на любое число k одинаковых отрезков и, используя Метод послойного разбиения, прийти к аналогичному результату. Только процесс построения в этом случае будет несколько более сложным и менее наглядным.
Мы с вами получили не совсем ординарное доказательство, которое просто обязано быть критически проанализировано профессионалами и, особенно, - специалистами по аксиоматике.