Неразрешимый вопрос. 6
Вопрос о шаре-капли и шаре-планете я украл у Пойя.
По первому чтению книжка мне не очень понравилась: было немало перекрытий с Курантом-Роббинсом. Но было место, где щелкнуло в голове, и это была кака раз изопериметрическая задача. Там она решается стандартно (штейнеровской симметризацией), и меня убило не доказательство, а то, что ему предшествовало.
Пойя писал, что обилие круглых предметов вокруг, включая пузыри и планеты, ведет нас к правдоподобному суждению, что утверждение верно. И это то, что пишут всюду. Но далее он давал другой пример:
...Я думаю вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность. Он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой. Лучше осведомленный кот должен был бы делать минимальной не поверхность своего тела, а его теплопроводность или, что сводится к тому же, его электростатическую емкость. Однако в силу одной теоремы Пуанкаре эта другая задача на минимум имеет то же решение, шар. http://tlf.msk.ru/school/poja.htm#s185
Я слышал рассуждение про клубок сотни раз, но это соображение мне не приходило в голову. Кот решал другую оптимизационную задачу, ответом к которой тоже был шар! Шаром был и ответ к задаче об электростатической емкости.
Почему у всех этих задач ответом был шар?
Дальше начиналась мистика. Из всех форм барабана круг давал самый низкий тон. И это было не все
...Рассмотрим однородную пластинку постоянной толщины. Рассмотрим момент инерции этой пластинки относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через ее центр тяжести. Этот момент инерции, который мы назовем «полярным моментом инерции», зависит при прочих равных условиях от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьший полярный момент имеет круглая пластинка. Эта пластинка, если она является проводником электричества, может также вместить электрический заряд, пропорциональный ее электростатической емкости. Емкость также зависит от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьшую емкость имеет круглая пластинка. Пусть теперь область является поперечным сечением однородного упругого бруса. Если мы попытаемся закрутить такой брус вокруг его оси, то сможем заметить, что он сопротивляется скручиванию. Это сопротивление, или «жесткость на кручение» бруса зависит при прочих равных условиях от размера и формы поперечного сечения. Из всех поперечных сечений с данной площадью наибольшую «жесткость на кручение» имеет круглое поперечное сечение. Почему круг является решением такого большого числа таких различных задач на максимум и минимум? В чем «причина»? Не является ли «истинной причиной» «совершенная симметрия» круга? Такие туманные вопросы могут быть стимулирующими и плодотворными, если только вы не просто с удовольствием занимаетесь туманными разговорами и размышлениями, но серьезно пытаетесь спуститься к чему-нибудь более точному или более конкретному.
На этом поучение заканчивалось. Со всех сторон меня окружали круглые предметы, причины округлости которых могли сильно различаться, но это было неважно. Я не мог понять, почему. Правдоподобное рассуждение вело к откровенной чертовщине.
***
Годы спустя, я узнал, что был в хорошей компании. Гипотезу о емкости выдвинул Пуанкаре, но не смог доказать; на это ушло 30 лет. В 1945-м году Пойя придумал общий метод, как использовать штейнеровскую симметризацию, для решения ВСЕХ задач, которые он перечисляет. Итогом "правдоподобных рассуждений" были не три странички, а книга
https://books.google.com/books?id=z1jQCwAAQBAJ
в которой Пойя дает свой ответ на туманный вопрос. Ответ этот не прост и не тривиален.
По первому чтению книжка мне не очень понравилась: было немало перекрытий с Курантом-Роббинсом. Но было место, где щелкнуло в голове, и это была кака раз изопериметрическая задача. Там она решается стандартно (штейнеровской симметризацией), и меня убило не доказательство, а то, что ему предшествовало.
Пойя писал, что обилие круглых предметов вокруг, включая пузыри и планеты, ведет нас к правдоподобному суждению, что утверждение верно. И это то, что пишут всюду. Но далее он давал другой пример:
...Я думаю вы видели, что делает кот, когда в холодную ночь он приготовляется ко сну: он поджимает лапы, свертывается и таким образом делает свое тело насколько возможно шарообразным. Он делает так, очевидно, чтобы сохранить тепло, сделать минимальным выделение тепла через поверхность своего тела. Кот, не имеющий ни малейшего намерения уменьшить свой объем, пытается уменьшить свою поверхность. Он решает задачу о теле с данным объемом и наименьшей поверхностью, делая себя возможно более шарообразным. Судя по всему, он имеет некоторое знакомство с изопериметрической теоремой. Лучше осведомленный кот должен был бы делать минимальной не поверхность своего тела, а его теплопроводность или, что сводится к тому же, его электростатическую емкость. Однако в силу одной теоремы Пуанкаре эта другая задача на минимум имеет то же решение, шар. http://tlf.msk.ru/school/poja.htm#s185
Я слышал рассуждение про клубок сотни раз, но это соображение мне не приходило в голову. Кот решал другую оптимизационную задачу, ответом к которой тоже был шар! Шаром был и ответ к задаче об электростатической емкости.
Почему у всех этих задач ответом был шар?
Дальше начиналась мистика. Из всех форм барабана круг давал самый низкий тон. И это было не все
...Рассмотрим однородную пластинку постоянной толщины. Рассмотрим момент инерции этой пластинки относительно перпендикулярной к ней оси, проходящей через ее центр тяжести. Этот момент инерции, который мы назовем «полярным моментом инерции», зависит при прочих равных условиях от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьший полярный момент имеет круглая пластинка. Эта пластинка, если она является проводником электричества, может также вместить электрический заряд, пропорциональный ее электростатической емкости. Емкость также зависит от размера и формы пластинки. Из всех пластинок с данной площадью наименьшую емкость имеет круглая пластинка. Пусть теперь область является поперечным сечением однородного упругого бруса. Если мы попытаемся закрутить такой брус вокруг его оси, то сможем заметить, что он сопротивляется скручиванию. Это сопротивление, или «жесткость на кручение» бруса зависит при прочих равных условиях от размера и формы поперечного сечения. Из всех поперечных сечений с данной площадью наибольшую «жесткость на кручение» имеет круглое поперечное сечение. Почему круг является решением такого большого числа таких различных задач на максимум и минимум? В чем «причина»? Не является ли «истинной причиной» «совершенная симметрия» круга? Такие туманные вопросы могут быть стимулирующими и плодотворными, если только вы не просто с удовольствием занимаетесь туманными разговорами и размышлениями, но серьезно пытаетесь спуститься к чему-нибудь более точному или более конкретному.
На этом поучение заканчивалось. Со всех сторон меня окружали круглые предметы, причины округлости которых могли сильно различаться, но это было неважно. Я не мог понять, почему. Правдоподобное рассуждение вело к откровенной чертовщине.
***
Годы спустя, я узнал, что был в хорошей компании. Гипотезу о емкости выдвинул Пуанкаре, но не смог доказать; на это ушло 30 лет. В 1945-м году Пойя придумал общий метод, как использовать штейнеровскую симметризацию, для решения ВСЕХ задач, которые он перечисляет. Итогом "правдоподобных рассуждений" были не три странички, а книга
https://books.google.com/books?id=z1jQCwAAQBAJ
в которой Пойя дает свой ответ на туманный вопрос. Ответ этот не прост и не тривиален.