К единой теории фруктов
В комментариях к предыдущему посту знакомая картина: едва заикнешься про вероятностное распределение, и все уверены, что оно должно быть нормальное. А если без предубеждений?
Раз, прогуливаясь осенью вдоль озера, я заметил, что ягоды боярышника, упавшие на землю, образовывали четкое кольцо вокруг ствола. Я ожидал более равномерное распределение. Но я не отверг это наблюдение с порога, как некоторые, а поверил его разумом.
Пусть крона дерева сферическая (в вакууме!) единичного радиуса, а ягоды равномерно распределены (а) по объему или (б) по поверхности. Если Ф(r) - распределение ягод на земле, то в случае (a) получаем Ф(r)=3rz, a в случае (б) Ф(r)=r/z, где z=sqrt(1-r^2). Первое распределение имеет максимум в 1/sqrt(2) и обнуляется при r=0 и 1, а второе сначала линейно растет с r, но начинает расходиться для r близкого к единице, т.е. оно визуально должно давать кольцо того же радиуса, что и дерево. "Кольцо" свидетельствует о том, что ягоды боярышника преимущественно растут в узком слое у поверхности. Чем равномернее радиальное распределение в кроне, тем визуально д.б. более равномерно радиальное распределение на земле, причем его пик должен падать между 0.71 и 1. Это распределение Ф(r) - прямое преобразование Абеля сферического распределения ягод, и последнее можно восстановить обратным преобразованием Абеля.
http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_transform
Я был уверен, что найду такого рода данные, но ничего не нашел. Очевиднейшая вещь, но ботаникам, судя по всему, матчасть еще учить и учить.
Тогда я задумался: каким образом лучше всего дереву распределять фрукты и ягоды в кроне? Если фрукты-ягоды маленькие и предназначаются для птиц, их лучше всего иметь близко к поверхности, где их легко склевать. Если для животных, то лучше всего сделать так, чтобы тем было легко заглотать побольше упавших ягод зараз, чем собирать их на земле по штучке, т.е. у Ф(r) должен быть четкий максимум, а лучше полюс. Равномерное распределение по поверхности достигает этих целей.
Теперь возьмем фрукты побольше. Клевать их уже нельзя; годятся только для больших животных. Ну, одно яблоко животное съест зараз, ну два - нет смысла иметь острый пик плотности на земле. Напротив, если падающее яблоко шарахнет по упавшему, то они оба побьются и сгниют до того, как их съедят. Получаем, что распределение Ф(r) должно быть б/м равномерное. Почему б/м? Потому, что совсем равномерное плохо, если желательно, чтобы некоторые яблоки откатывались в сторону (на что еще можно надеяться, если животные не придут). Для этого плотность распределения должна стремиться к нулю при r=1, иначе уже упавшие яблоки будут мешать другим откатываться. Соединяя требования, имеем равномерное распределение в объеме.
Рассуждение показывает, что для ягод и маленьких фруктов наиболее выгодным является равномерное распределение по поверхности, а для больших - по объему и, если присмотреться, то так оно и есть.
Разумное я посеял, теперь можно посмотреть, как оно будет разноситься...
Раз, прогуливаясь осенью вдоль озера, я заметил, что ягоды боярышника, упавшие на землю, образовывали четкое кольцо вокруг ствола. Я ожидал более равномерное распределение. Но я не отверг это наблюдение с порога, как некоторые, а поверил его разумом.
Пусть крона дерева сферическая (в вакууме!) единичного радиуса, а ягоды равномерно распределены (а) по объему или (б) по поверхности. Если Ф(r) - распределение ягод на земле, то в случае (a) получаем Ф(r)=3rz, a в случае (б) Ф(r)=r/z, где z=sqrt(1-r^2). Первое распределение имеет максимум в 1/sqrt(2) и обнуляется при r=0 и 1, а второе сначала линейно растет с r, но начинает расходиться для r близкого к единице, т.е. оно визуально должно давать кольцо того же радиуса, что и дерево. "Кольцо" свидетельствует о том, что ягоды боярышника преимущественно растут в узком слое у поверхности. Чем равномернее радиальное распределение в кроне, тем визуально д.б. более равномерно радиальное распределение на земле, причем его пик должен падать между 0.71 и 1. Это распределение Ф(r) - прямое преобразование Абеля сферического распределения ягод, и последнее можно восстановить обратным преобразованием Абеля.
http://en.wikipedia.org/wiki/Abel_transform
Я был уверен, что найду такого рода данные, но ничего не нашел. Очевиднейшая вещь, но ботаникам, судя по всему, матчасть еще учить и учить.
Тогда я задумался: каким образом лучше всего дереву распределять фрукты и ягоды в кроне? Если фрукты-ягоды маленькие и предназначаются для птиц, их лучше всего иметь близко к поверхности, где их легко склевать. Если для животных, то лучше всего сделать так, чтобы тем было легко заглотать побольше упавших ягод зараз, чем собирать их на земле по штучке, т.е. у Ф(r) должен быть четкий максимум, а лучше полюс. Равномерное распределение по поверхности достигает этих целей.
Теперь возьмем фрукты побольше. Клевать их уже нельзя; годятся только для больших животных. Ну, одно яблоко животное съест зараз, ну два - нет смысла иметь острый пик плотности на земле. Напротив, если падающее яблоко шарахнет по упавшему, то они оба побьются и сгниют до того, как их съедят. Получаем, что распределение Ф(r) должно быть б/м равномерное. Почему б/м? Потому, что совсем равномерное плохо, если желательно, чтобы некоторые яблоки откатывались в сторону (на что еще можно надеяться, если животные не придут). Для этого плотность распределения должна стремиться к нулю при r=1, иначе уже упавшие яблоки будут мешать другим откатываться. Соединяя требования, имеем равномерное распределение в объеме.
Рассуждение показывает, что для ягод и маленьких фруктов наиболее выгодным является равномерное распределение по поверхности, а для больших - по объему и, если присмотреться, то так оно и есть.
Разумное я посеял, теперь можно посмотреть, как оно будет разноситься...