Пример строгой моноидальной категории
У нас на семинаре как-то обсуждалось, какие можно придумать примеры строгих моноидальных категорий. Известно, что их мало в сравнении с моноидальными категориями. Напомню, что «моноидальность» заключается в ведении операции, обычно обозначаемой ⊗, на объектах (и морфизмах, поскольку ⊗ должно быть бифунктором) категории; она превращает множество объектов в моноид в случае строгой м.к. «Снятие строгости» состоит в том, что от ⊗ требуется некое более слабое условие вместо ассоциативности (ассоциативность «с точностью» до действия фиксированного натурального преобразования, называемого ассоциатором), свойство единицы ослабляется аналогичным образом. Другими словами, можно сказать, что все равенства в аксиомах моноида заменяются на изоморфизмы. Кроме того, от этих изоморфизмов требуются так называемые «условия согласования». В общем, довольно громоздкая конструкция получается.
Так вот, как я сказал, в реальной жизни («строгой») ассоциативности чаще всего нет - примеров строгих м.к. не так уж много (в отличие от м.к., примеров которых очень много). Самым популярным примером является категория эндоморфизмов. Вот в книжке Кассела и др. Квантовые группы и инварианты узлов есть ещё один, весьма искусственный, правда, пример.
Советую всем не очень искушённым в теории категорий тщательно проследить, почему выполняются все необходимые условия для строгой м.к. (то, о чём написано в последних строчках).
Так вот, как я сказал, в реальной жизни («строгой») ассоциативности чаще всего нет - примеров строгих м.к. не так уж много (в отличие от м.к., примеров которых очень много). Самым популярным примером является категория эндоморфизмов. Вот в книжке Кассела и др. Квантовые группы и инварианты узлов есть ещё один, весьма искусственный, правда, пример.
Советую всем не очень искушённым в теории категорий тщательно проследить, почему выполняются все необходимые условия для строгой м.к. (то, о чём написано в последних строчках).