Оптимальная шкала масштабов
В предыдущей серии:
И кстати, порог различимости размера и насыщенности цвета для двух значков, не находящихся в непосредственной близости, зависит от конкретного человека, но в норме составляет 20-25%. То есть 10-12 ступеней на 10-кратный диапазон высот. Децибел - он не зря децибел.
___
Довелось мне по долгу службы иметь дело с одним картографическим сервисом. В нем, конечно, имелась функция масштабирования геоизображения; шкала "зума" была геометрической с шагом ровно 1,1 (увеличение на 10%). В углу отображался текущий масштаб, рассчитанный от дефолтного (единицы):
0,751... - 0,826... - 0,909... - 1 - 1,1 - 1,21 - 1,331 - 1,464... - 1,610... - 1,771... - 1,948... - 2,143...
Согласитесь, выглядит так себе. Естественную человеческую тягу к круглым числам - или хотя бы к максимально "коротким" в своей записи - никуда не деть. Во-первых, это красиво (с), а главное - проще для восприятия. И с другой стороны, шаги очевидно должны быть равномерными, хотя бы внешне.
Учитывая неискоренимый " десятичный шовинизм" с одной стороны и естественное преимущество двоичных градаций (что может быть проще деления пополам или складывания с самим собой один раз) - с другой, совсем неудивительно, что человеческая деятельность по всевозможным округлениям чисел и прикидками порядка значений в подавляющем большинстве случаев связана с целочисленными степенями 10 и 2 (и их комбинациями). Денежные номиналы, к примеру.
Как же степени 10 и 2 увязываются друг с другом? Рассмотрим логарифм - само собой, иррациональное число: lg 2 = 0,30103... Методом цепных дробей находятся рациональные приближения: 1/3 - довольно грубо, а вот 3/10 - уже вполне. Примерное равенство 10^3 и 2^10, собственно, обыгрывается во всем известных кило-мега-гигабайтах (которые друг с другом соотносятся как степени 1024, а не 1000). 2,4% разницы - незаметно на глаз. Таким образом, 10 шагов на 10-кратный диапазон значений шкалы и 3 шага на 2-кратный - примерно одно и то же, и шаг при этом близок... к 25%, упомянутым в начале поста. Тот самый децибел (вернее, децилог) - 10^0,1.
Разница в линейных размерах на четверть без труда воспринимается подавляющим большинством людей, а вот при меньших уже могут быть проблемы. Знаменитое правило "семь плюс-минус два" имеет сходную природу: "кучи" из 7 и 8 элементов в мозгу уже могут путаться, а из 4 и 5 - еще нет.
"Равномерно темперированная" шкала (если вы понимаете, о чем я) при этом выглядит следующим образом:
1 - 1,2589... - 1,5848... - 1,9952... - 2,5118... - 3,1622... - 3,9810... - 5,0118... - 6,3095... - 7,9432... - 10.
Причем применяется она не только при измерении уровня звука (децибелы), но и например для расчета звездных величин - звезда 1,000 m величины ярче звезды 2,000 m в 10^0,4 раза (примерно 2,5). Короче, там, где присутствует психофизический закон Вебера-Фехнера.
Умножая или деля изначальную единицу на 2, и затем при необходимости сдвигая запятую (т.е. умножая/деля на 10), чтобы полученные мантиссы укладывались в интервал (1; 10), получим оптимальные - достаточно хорошие - приближения равномерных шагов более "естественными", с минимальными знаменателями. Остается вопрос - как далеко продвигаться в обе стороны (фактически по степеням 2 и 5):
- 4 шага влево и 5 вправо, от 625 (6,25) до 32 (3,2);
- 3 влево и 6 вправо, от 125 (1,25) до 64 (6,4);
- 2 влево и 7 вправо, от 25 (2,5) до 128 (1,28)...
Практически очевидно, что средний вариант лучше остальных: 6,25 - очень громоздкая мантисса, резко выбивающаяся среди остальных (хоть она и чуть ближе к значению 6,3095... из равномерной шкалы), а 1,28 - дробь с 25 в знаменателе (32/25), когда как все остальные дроби имеют знаменатели 2, 4 или 5 (ну или 1).
К тому же в шкале неизбежно возникнет аналог "волчьей квинты", когда из-за тех самых 2,4% разницы в одной из пар ступеней N и N+3 отношение будет не 2 ровно, а 125/64=1,953125. Лучше всего загнать ее в место, где она будет совпадать с перескоком через десятичный порядок - а это как раз 64 и 125. В "Кто хочет стать миллионером" до инфляции (теперь цель - не 1, а 3 млн, и ступени другие) пользовались именно этим.
Итак, оптимальная шкала масштабирования выглядит так:
...0,5 - 0,64 - 0,8 - 1 - 1,25 - 1,6 - 2 - 2,5 - 3,2 - 4 - 5 - 6,4 - 8 - 10 - 12,5 - 16 - 20...
Соотношения между соседними ступенями равны 1,25 в 7 случаях и 1,28 в 3 случаях. Максимальное отклонение от равномерной - менее 1,5%, что без специальных средств, на глаз, не засечь. Более мелкие шаги вряд ли имеют практическую выгоду (см. предисловие). Кстати, порог в 25% даже "защитил" в диссертации при разработке шкал размеров условных знаков.
И в заключение упомяну такой метрологический термин, как ряды предпочтительных чисел - все вышесказанное имеет к ним непосредственное отношение.
И кстати, порог различимости размера и насыщенности цвета для двух значков, не находящихся в непосредственной близости, зависит от конкретного человека, но в норме составляет 20-25%. То есть 10-12 ступеней на 10-кратный диапазон высот. Децибел - он не зря децибел.
___
Довелось мне по долгу службы иметь дело с одним картографическим сервисом. В нем, конечно, имелась функция масштабирования геоизображения; шкала "зума" была геометрической с шагом ровно 1,1 (увеличение на 10%). В углу отображался текущий масштаб, рассчитанный от дефолтного (единицы):
0,751... - 0,826... - 0,909... - 1 - 1,1 - 1,21 - 1,331 - 1,464... - 1,610... - 1,771... - 1,948... - 2,143...
Согласитесь, выглядит так себе. Естественную человеческую тягу к круглым числам - или хотя бы к максимально "коротким" в своей записи - никуда не деть. Во-первых, это красиво (с), а главное - проще для восприятия. И с другой стороны, шаги очевидно должны быть равномерными, хотя бы внешне.
Учитывая неискоренимый " десятичный шовинизм" с одной стороны и естественное преимущество двоичных градаций (что может быть проще деления пополам или складывания с самим собой один раз) - с другой, совсем неудивительно, что человеческая деятельность по всевозможным округлениям чисел и прикидками порядка значений в подавляющем большинстве случаев связана с целочисленными степенями 10 и 2 (и их комбинациями). Денежные номиналы, к примеру.
Как же степени 10 и 2 увязываются друг с другом? Рассмотрим логарифм - само собой, иррациональное число: lg 2 = 0,30103... Методом цепных дробей находятся рациональные приближения: 1/3 - довольно грубо, а вот 3/10 - уже вполне. Примерное равенство 10^3 и 2^10, собственно, обыгрывается во всем известных кило-мега-гигабайтах (которые друг с другом соотносятся как степени 1024, а не 1000). 2,4% разницы - незаметно на глаз. Таким образом, 10 шагов на 10-кратный диапазон значений шкалы и 3 шага на 2-кратный - примерно одно и то же, и шаг при этом близок... к 25%, упомянутым в начале поста. Тот самый децибел (вернее, децилог) - 10^0,1.
Разница в линейных размерах на четверть без труда воспринимается подавляющим большинством людей, а вот при меньших уже могут быть проблемы. Знаменитое правило "семь плюс-минус два" имеет сходную природу: "кучи" из 7 и 8 элементов в мозгу уже могут путаться, а из 4 и 5 - еще нет.
"Равномерно темперированная" шкала (если вы понимаете, о чем я) при этом выглядит следующим образом:
1 - 1,2589... - 1,5848... - 1,9952... - 2,5118... - 3,1622... - 3,9810... - 5,0118... - 6,3095... - 7,9432... - 10.
Причем применяется она не только при измерении уровня звука (децибелы), но и например для расчета звездных величин - звезда 1,000 m величины ярче звезды 2,000 m в 10^0,4 раза (примерно 2,5). Короче, там, где присутствует психофизический закон Вебера-Фехнера.
Умножая или деля изначальную единицу на 2, и затем при необходимости сдвигая запятую (т.е. умножая/деля на 10), чтобы полученные мантиссы укладывались в интервал (1; 10), получим оптимальные - достаточно хорошие - приближения равномерных шагов более "естественными", с минимальными знаменателями. Остается вопрос - как далеко продвигаться в обе стороны (фактически по степеням 2 и 5):
- 4 шага влево и 5 вправо, от 625 (6,25) до 32 (3,2);
- 3 влево и 6 вправо, от 125 (1,25) до 64 (6,4);
- 2 влево и 7 вправо, от 25 (2,5) до 128 (1,28)...
Практически очевидно, что средний вариант лучше остальных: 6,25 - очень громоздкая мантисса, резко выбивающаяся среди остальных (хоть она и чуть ближе к значению 6,3095... из равномерной шкалы), а 1,28 - дробь с 25 в знаменателе (32/25), когда как все остальные дроби имеют знаменатели 2, 4 или 5 (ну или 1).
К тому же в шкале неизбежно возникнет аналог "волчьей квинты", когда из-за тех самых 2,4% разницы в одной из пар ступеней N и N+3 отношение будет не 2 ровно, а 125/64=1,953125. Лучше всего загнать ее в место, где она будет совпадать с перескоком через десятичный порядок - а это как раз 64 и 125. В "Кто хочет стать миллионером" до инфляции (теперь цель - не 1, а 3 млн, и ступени другие) пользовались именно этим.
Итак, оптимальная шкала масштабирования выглядит так:
...0,5 - 0,64 - 0,8 - 1 - 1,25 - 1,6 - 2 - 2,5 - 3,2 - 4 - 5 - 6,4 - 8 - 10 - 12,5 - 16 - 20...
Соотношения между соседними ступенями равны 1,25 в 7 случаях и 1,28 в 3 случаях. Максимальное отклонение от равномерной - менее 1,5%, что без специальных средств, на глаз, не засечь. Более мелкие шаги вряд ли имеют практическую выгоду (см. предисловие). Кстати, порог в 25% даже "защитил" в диссертации при разработке шкал размеров условных знаков.
И в заключение упомяну такой метрологический термин, как ряды предпочтительных чисел - все вышесказанное имеет к ним непосредственное отношение.