О тотализаторах, стратегии выигрыша в них и "проклятии баланса"
Дождавшись закрытия приема ставок в ежегодном опросе " Что будет" в блоге yakov_a_jerkov - потому что зачем давать советы конкурентам - публикую этот пост.
"Что будет" - своеобразный конкурс прогнозов, проходящий в формате тотализатора: участники, внося свой прогноз, таким образом делают ставку, а в итоге вся поставленная сумма делится между всеми выигравшими пропорционально их ставкам (угадавшими исход). Ставки на разные события независимы, не влияют друг на друга, а итоги всего конкурса подводятся простой суммой выигрышей и проигрышей. Единственное уточнение - размер ставки здесь зафиксирован и равен 1 условной единице (либо ставишь 1, либо 0, т.е. не участвуешь), когда как в классическом тотализаторе можно ставить различные ненулевые суммы, в теории любые (на практике часто существуют лимиты).
Закономерный вопрос - как максимизировать свой выигрыш?
Само собой, выигрывает тот, кто лучше всего оценивает вероятность исходов и угадывает максимальное их число. Но секрет успеха не только в этом. Первым приходит в голову соображение - всегда ставить на исходы, оцененные как наиболее вероятные? Звучит парадоксально, но нет, это не оптимальная стратегия для описанных правил.
Рассмотрим математическое ожидание выигрыша на отдельно взятой линии ставок (порадовавшись, что не рассчитываем экспрессы и т.д., что сложнее в разы) Обозначим размер собственной ставки за N, сумму остальных ставок на тот же самый исход - A, сумму ставок на все остальные исходы - B (N, A, B ≥ 0), а также введем собственную оценку вероятности выбранного исхода - P в промежутке (0; 1). Матожидание, согласно правилам расчета ставок, равно
M = ( (A+B+N) * N / (A+N) ) * P - N
и является положительным при P > (A+N) / (A+B+N), то есть в случае, когда доля итоговой суммы ставок на какой-либо исход в общем банке меньше, чем ожидаемая вероятность этого исхода. В переводе на человеческий - оптимальной стратегией является ставка не на наиболее вероятный, а на наиболее недооцененный игроками исход.
В частности, на не-международных тотализаторах по международным соревнованиям очевидным образом доля ставок на "наших" больше, чем реальная вероятность их победы, ввиду чего имеет смысл ставить на выигрыш "чужих". Заодно получая моральную компенсацию, если вы болеете за "наших" и они действительно проигрывают.
Другой пример: если чужие ставки на орел и решку распределились поровну, то на что бы вы ни поставили, M станет отрицательным - в половине случаев вы проиграете свою ставку N, а в другой половине - выиграете (2A+N) * N / (A+N), что меньше 2N, необходимых для нулевого матожидания выигрыша.
Как же оценивать P? Разбираться в теме, подключать статистику и интуицию - все в ваших руках...
Возникает соблазн напрямую воспользоваться "коллективным разумом" - посчитать, что поставленные суммы на исходы строго сбалансированы, пропорциональны их вероятностям (т.е. Pi = Ai / (Ai+Bi) для любого i-го исхода). Однако, подставив P = A / (A+B) в формулу для M, выясняем, что при любых числах M < 0 для N > 0 (и ноль при нуле, конечно). То есть делать любую ставку в сбалансированный банк невыгодно - неизбежно приводит к проигрышу на длинной дистанции, что называю "проклятием баланса". Если вы считаете, что ставки всех остальных адекватно оценивают вероятности исходов - не входите в игру. А чтобы чего-нибудь урвать, дисбаланс принципиально необходим.
Итак, нам удалось из каких-то своих соображений расставить Pi, узнать Ai (и соответственно Bi). А точнее - опять же спрогнозировать окончательные Ai и Bi, а не текущие - параллельно с вами продолжают ставить и другие, а зачтется итоговый расклад.
Какая же ставка среди всевозможных наиболее выгодна? Нужно вычислить максимумы M для каждого исхода и выбрать среди них наибольший - при отсутствии идеального баланса крупнейший из максимумов (а возможно и несколько) будет положительным. Повозившись с формулой и составив квадратное уравнение, мы получаем на осях (N, M) график зависимости матожидания от ставки - параболу с ветвями вниз, искомый максимум соответствует ее вершине. Формула для нахождения оптимального N проста и запоминаема:
N' = (AP+BP-A) / (2-2P)
Итак,
1) считаем N' для каждого исхода,
2) оставляем все положительные N',
3) подставляем их в формулу для M и находим соответствующие M',
4) находим наибольшее из полученных M' = Mmax,
5) ???
6) PROFIT в размере Mmax!
Что же касается упрощенного варианта в "Что будет" с фиксированной ставкой - вариантов столько, сколько исходов, плюс неучастие - первые два шага с нахождением N' пропускаются и вместо них в формулу для M во все исходы подставляется эта самая фиксированная условная единица. С такой дискретностью "проклятие баланса" будет уже не в точке, а в диапазоне значений P - а именно от A/(A+B+N) до (A+N)/(A+B+N). А принцип остается тот же - ставить на недооцененный ставками исход, если такой имеется (эта недооценка за пределами "мертвого диапазона"). Если вероятность исхода вы оценили как 90%, но ставок на него 95% от всех - выгоднее поставить на маловероятный исход, надеясь сорвать большой куш.
Ну и контролировать, как меняются A и B в процессе приема ставок, и конечно же корректировать P, если тому есть основания: можно еще успеть переставить, пока прием не закрыт. Собственно, я дважды корректировал свои прогнозы - один, увидев соотношение A и B, другой - скорректировав свое ожидание вероятностей P. Посмотрим, что выйдет...
Тема поста может быть интересна kireev, spamsink и всем остальным, участвующим в тотализаторах и/или умеющих в тервер.