Об оптимальном размере турнирной "элиты"
Решил математически вывести оптимальный размер "элиты" в турнире с N игроков. Практически это может быть выражено или как размер призовой зоны (допустим, в крупном покерном турнире, где вылетающие один за другим игроки обеспечивают своими взносами призовой фонд для группы лидеров), либо же как количество участников финальной (основной) стадии чемпионата мира или континентального первенства - в зависимости от количества участников квалификационного этапа.
Как к этому подступиться? Сразу же очевидно, что E(N) - так обозначим итоговое количество отбираемых игроков/команд - явно меньше, чем N/2, и чуть менее очевидно, что зависимость нелинейная - не фиксированный процент. Степенная ли, логарифмическая - уже с наскока не понять. И здесь в голову приходит известный и универсальный закон Ципфа, он же - правило "ранг-размер": относительные величины чего угодно (однородных элементов с одинаковыми критериями роста), выстроенные по убыванию, в пределе стремятся к гармоническому ряду 1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/K - ... Предположим, что объективная оценка относительной силы (и как следствие, потенциальных вознаграждений) участников турнира также подчиняется этому закону.
1) Рассмотрим первые N чисел гармонического ряда - их сумма называется гармоническим числом H(N). "Элитой" при этом является та верхушка, числа которой больше среднего значения H(N)/N. Допустим, сумма первых 100 чисел равна ~5,187, среднее 1/20 < ~0,05187 < 1/19, таким образом E(100)=19. Интерпретация - сколько игроков выйдет в плюс, если в общий фонд все скинулись поровну, а распределен он на всех "по заслугам" в соответствии с гармоническим рядом.
2) В первом способе мы отталкивались от гармонического распределения на всех N участников, теперь попробуем поступить наоборот - подчиним этому закону именно "награждаемую" элиту, и найдем обратную зависимость возможных N от фиксированного E. Допустим, шестое гармоническое число H(6)=1+1/2+...+1/6=2,45 (угадайте, почему выбрал для примера именно его). Общее количество участников для E=6 должно быть таким, чтобы взнос каждого был строго меньше, чем минимальная из наград - 1/6, то есть N > H(E)*E, в данном случае больше 2,45*6=14,7, то есть хотя бы 15. Для E=7 минимальное N уже равно 19, потому что H(7)*7=18,15, то есть шесть призовых мест соответствуют N от 15 до 18.
Да, зависимость таки логарифмическая, поскольку H(N) приближается к ln(1,781...*N).
Ниже - таблица рассчитанных оптимальных размеров "элиты" E двумя способами для N от 3 до 230.
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
3
1
1
41
9
12
79
15
21
117
21
29
155
27
36
193
33
44
4
1
2
42
9
13
80
16
21
118
22
29
156
27
37
194
33
44
5
2
2
43
9
13
81
16
21
119
22
29
157
27
37
195
33
44
6
2
3
44
10
13
82
16
22
120
22
30
158
27
37
196
33
44
7
2
3
45
10
13
83
16
22
121
22
30
159
28
37
197
33
44
8
2
3
46
10
14
84
16
22
122
22
30
160
28
37
198
33
45
9
3
4
47
10
14
85
16
22
123
22
30
161
28
38
199
33
45
10
3
4
48
10
14
86
17
23
124
22
30
162
28
38
200
34
45
11
3
4
49
10
14
87
17
23
125
23
31
163
28
38
201
34
45
12
3
5
50
11
15
88
17
23
126
23
31
164
28
38
202
34
45
13
4
5
51
11
15
89
17
23
127
23
31
165
29
38
203
34
45
14
4
5
52
11
15
90
17
23
128
23
31
166
29
39
204
34
46
15
4
6
53
11
15
91
17
24
129
23
31
167
29
39
205
34
46
16
4
6
54
11
15
92
18
24
130
23
32
168
29
39
206
34
46
17
4
6
55
11
16
93
18
24
131
24
32
169
29
39
207
35
46
18
5
6
56
12
16
94
18
24
132
24
32
170
29
39
208
35
46
19
5
7
57
12
16
95
18
24
133
24
32
171
29
39
209
35
47
20
5
7
58
12
16
96
18
25
134
24
32
172
30
40
210
35
47
21
5
7
59
12
17
97
18
25
135
24
33
173
30
40
211
35
47
22
5
8
60
12
17
98
18
25
136
24
33
174
30
40
212
35
47
23
6
8
61
12
17
99
19
25
137
24
33
175
30
40
213
35
47
24
6
8
62
13
17
100
19
25
138
25
33
176
30
40
214
35
47
25
6
8
63
13
18
101
19
26
139
25
33
177
30
41
215
36
48
26
6
9
64
13
18
102
19
26
140
25
33
178
30
41
216
36
48
27
6
9
65
13
18
103
19
26
141
25
34
179
31
41
217
36
48
28
7
9
66
13
18
104
19
26
142
25
34
180
31
41
218
36
48
29
7
9
67
13
18
105
20
26
143
25
34
181
31
41
219
36
48
30
7
10
68
14
19
106
20
27
144
25
34
182
31
42
220
36
49
31
7
10
69
14
19
107
20
27
145
26
34
183
31
42
221
36
49
32
7
10
70
14
19
108
20
27
146
26
35
184
31
42
222
37
49
33
8
10
71
14
19
109
20
27
147
26
35
185
31
42
223
37
49
34
8
11
72
14
20
110
20
28
148
26
35
186
32
42
224
37
49
35
8
11
73
14
20
111
20
28
149
26
35
187
32
42
225
37
50
36
8
11
74
15
20
112
21
28
150
26
35
188
32
43
226
37
50
37
8
11
75
15
20
113
21
28
151
26
36
189
32
43
227
37
50
38
8
12
76
15
20
114
21
28
152
27
36
190
32
43
228
37
50
39
9
12
77
15
21
115
21
29
153
27
36
191
32
43
229
38
50
40
9
12
78
15
21
116
21
29
154
27
36
192
32
43
230
38
50
Частный вывод: чемпионаты Европы и Азии по футболу (N = 55 и 47) не следовало расширять с 16 до 24 команд, тем более что 16 - наиболее удобное число с точки зрения турнирных схем для "дуэльных" видов спорта (2^2^2). А вот расширение ЧМ (N = 211) с 32 до 48 команд - вполне, хотя можно было и до 40; в любом случае схема турнира сложнее, и это уже отдельный вопрос.
Как к этому подступиться? Сразу же очевидно, что E(N) - так обозначим итоговое количество отбираемых игроков/команд - явно меньше, чем N/2, и чуть менее очевидно, что зависимость нелинейная - не фиксированный процент. Степенная ли, логарифмическая - уже с наскока не понять. И здесь в голову приходит известный и универсальный закон Ципфа, он же - правило "ранг-размер": относительные величины чего угодно (однородных элементов с одинаковыми критериями роста), выстроенные по убыванию, в пределе стремятся к гармоническому ряду 1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/K - ... Предположим, что объективная оценка относительной силы (и как следствие, потенциальных вознаграждений) участников турнира также подчиняется этому закону.
1) Рассмотрим первые N чисел гармонического ряда - их сумма называется гармоническим числом H(N). "Элитой" при этом является та верхушка, числа которой больше среднего значения H(N)/N. Допустим, сумма первых 100 чисел равна ~5,187, среднее 1/20 < ~0,05187 < 1/19, таким образом E(100)=19. Интерпретация - сколько игроков выйдет в плюс, если в общий фонд все скинулись поровну, а распределен он на всех "по заслугам" в соответствии с гармоническим рядом.
2) В первом способе мы отталкивались от гармонического распределения на всех N участников, теперь попробуем поступить наоборот - подчиним этому закону именно "награждаемую" элиту, и найдем обратную зависимость возможных N от фиксированного E. Допустим, шестое гармоническое число H(6)=1+1/2+...+1/6=2,45 (угадайте, почему выбрал для примера именно его). Общее количество участников для E=6 должно быть таким, чтобы взнос каждого был строго меньше, чем минимальная из наград - 1/6, то есть N > H(E)*E, в данном случае больше 2,45*6=14,7, то есть хотя бы 15. Для E=7 минимальное N уже равно 19, потому что H(7)*7=18,15, то есть шесть призовых мест соответствуют N от 15 до 18.
Да, зависимость таки логарифмическая, поскольку H(N) приближается к ln(1,781...*N).
Ниже - таблица рассчитанных оптимальных размеров "элиты" E двумя способами для N от 3 до 230.
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
N
E
3
1
1
41
9
12
79
15
21
117
21
29
155
27
36
193
33
44
4
1
2
42
9
13
80
16
21
118
22
29
156
27
37
194
33
44
5
2
2
43
9
13
81
16
21
119
22
29
157
27
37
195
33
44
6
2
3
44
10
13
82
16
22
120
22
30
158
27
37
196
33
44
7
2
3
45
10
13
83
16
22
121
22
30
159
28
37
197
33
44
8
2
3
46
10
14
84
16
22
122
22
30
160
28
37
198
33
45
9
3
4
47
10
14
85
16
22
123
22
30
161
28
38
199
33
45
10
3
4
48
10
14
86
17
23
124
22
30
162
28
38
200
34
45
11
3
4
49
10
14
87
17
23
125
23
31
163
28
38
201
34
45
12
3
5
50
11
15
88
17
23
126
23
31
164
28
38
202
34
45
13
4
5
51
11
15
89
17
23
127
23
31
165
29
38
203
34
45
14
4
5
52
11
15
90
17
23
128
23
31
166
29
39
204
34
46
15
4
6
53
11
15
91
17
24
129
23
31
167
29
39
205
34
46
16
4
6
54
11
15
92
18
24
130
23
32
168
29
39
206
34
46
17
4
6
55
11
16
93
18
24
131
24
32
169
29
39
207
35
46
18
5
6
56
12
16
94
18
24
132
24
32
170
29
39
208
35
46
19
5
7
57
12
16
95
18
24
133
24
32
171
29
39
209
35
47
20
5
7
58
12
16
96
18
25
134
24
32
172
30
40
210
35
47
21
5
7
59
12
17
97
18
25
135
24
33
173
30
40
211
35
47
22
5
8
60
12
17
98
18
25
136
24
33
174
30
40
212
35
47
23
6
8
61
12
17
99
19
25
137
24
33
175
30
40
213
35
47
24
6
8
62
13
17
100
19
25
138
25
33
176
30
40
214
35
47
25
6
8
63
13
18
101
19
26
139
25
33
177
30
41
215
36
48
26
6
9
64
13
18
102
19
26
140
25
33
178
30
41
216
36
48
27
6
9
65
13
18
103
19
26
141
25
34
179
31
41
217
36
48
28
7
9
66
13
18
104
19
26
142
25
34
180
31
41
218
36
48
29
7
9
67
13
18
105
20
26
143
25
34
181
31
41
219
36
48
30
7
10
68
14
19
106
20
27
144
25
34
182
31
42
220
36
49
31
7
10
69
14
19
107
20
27
145
26
34
183
31
42
221
36
49
32
7
10
70
14
19
108
20
27
146
26
35
184
31
42
222
37
49
33
8
10
71
14
19
109
20
27
147
26
35
185
31
42
223
37
49
34
8
11
72
14
20
110
20
28
148
26
35
186
32
42
224
37
49
35
8
11
73
14
20
111
20
28
149
26
35
187
32
42
225
37
50
36
8
11
74
15
20
112
21
28
150
26
35
188
32
43
226
37
50
37
8
11
75
15
20
113
21
28
151
26
36
189
32
43
227
37
50
38
8
12
76
15
20
114
21
28
152
27
36
190
32
43
228
37
50
39
9
12
77
15
21
115
21
29
153
27
36
191
32
43
229
38
50
40
9
12
78
15
21
116
21
29
154
27
36
192
32
43
230
38
50
Частный вывод: чемпионаты Европы и Азии по футболу (N = 55 и 47) не следовало расширять с 16 до 24 команд, тем более что 16 - наиболее удобное число с точки зрения турнирных схем для "дуэльных" видов спорта (2^2^2). А вот расширение ЧМ (N = 211) с 32 до 48 команд - вполне, хотя можно было и до 40; в любом случае схема турнира сложнее, и это уже отдельный вопрос.