В защиту десятичной системы
Конечно, шестеричная система ван лав, с некоторых пор, но нашел одно частное преимущество десятичной системы, не связанное со слепой эволюцией приматов.
Каковы максимально "естественные", легко воспринимаемые рубежи внутри единичной шкалы (от 0 до 1, от 0% до 100%) чего бы то ни было? Возьмем для простоты классический пример - урна с белыми и черными шарами (расисты, молчать). В первую очередь, разумеется, выделяется середина интервала - 0,5 (50%): когда белых и черных поровну ;-)
Далее, понятие долевого содержания (доля белых/черных шаров в общей сумме) гораздо менее интуитивно, чем непосредственно соотношение белых и черных: второе оценивается невооруженным взглядом, для первого уже необходимо выйти на уровень абстракции. А также, Вебер с Фехнером не дадут соврать, "интенсивность ощущения пропорциональна логарифму раздражения", или упрощая - "естественной", психологически равномерной ощущается шкала, построенная на геометрической прогрессии - соседние ступени различаются не НА столько-то пунктов, а ВО столько-то раз. Разница между 10 и 20 воспринимается такой же, как между 30 и 60, а не как между 40 и 50.
Вернемся к шкале. Вместо процентной доли шаров нужного цвета (X) рассмотрим соотношение X/(100%-X). Края шкалы - ноль и бесконечность, середина - единица. Очевидно, что естественная шкала будет той самой геометрической прогрессией a^Z, где Z - целые числа. Осталось найти основание a, для чего нужна еще хотя бы одна отсечка - вернее, две, симметричные относительно 50%.
И здесь не менее очевидно, что такой отсечкой будут точки 25% и 75%. Во-первых, все-таки арифметическая равномерность 0-25-50-75-100 на изначальной долевой (процентной) шкале. Во-вторых, вспомним матстат: недаром особое внимание уделяют квартилям (точкам, делящим упорядоченный по возрастанию массив значений на 4 равномощные части; второй квартиль широко известен как медиана выборки).
25%-75% - это трехкратная разница между двумя частями общего множества (белые и черные шары). Итак, основание найдено: a=3. На нулевом шаге a^0=1, что дает отсечку в 50%, на 1-м шаге a^1=3 и 25-75%, что же дальше? А дальше a^2=9, не что иное, как процентовка 10-90%. После верхнего и нижнего квартилей - верхний и нижний децили, именно децили, а не что-либо еще.
Таким образом, выведена следующая шкала интервалов: (0) ... 0,1 - 0,25 - 0,5 - 0,75 - 0,9 ... (1). Следующие ступени соответствуют a^3=27, то есть 1/28 и 27/28, далее - 1/82 и 81/82... Но, как известно, чем менее сопоставимы друг с другом два множества, тем сильнее наш встроенный анализатор может "сбоить" при определении их соотношения. Так что остановимся на втором шаге, который привел нас к порогу в 10%, который изначально ощущался естественным по совсем другой причине - из-за общепринятой системы счисления.
Резюме: впредь для градуировки каких-либо параметров, распределенных от 0% до 100% (в первую очередь при создании карт) буду использовать шкалу 0% - 10% - 25% - 50% - 75% - 90% - 100%, чья гармония поверена алгеброй в этом посте.
Если кто-нибудь что-нибудь понял...
Каковы максимально "естественные", легко воспринимаемые рубежи внутри единичной шкалы (от 0 до 1, от 0% до 100%) чего бы то ни было? Возьмем для простоты классический пример - урна с белыми и черными шарами (расисты, молчать). В первую очередь, разумеется, выделяется середина интервала - 0,5 (50%): когда белых и черных поровну ;-)
Далее, понятие долевого содержания (доля белых/черных шаров в общей сумме) гораздо менее интуитивно, чем непосредственно соотношение белых и черных: второе оценивается невооруженным взглядом, для первого уже необходимо выйти на уровень абстракции. А также, Вебер с Фехнером не дадут соврать, "интенсивность ощущения пропорциональна логарифму раздражения", или упрощая - "естественной", психологически равномерной ощущается шкала, построенная на геометрической прогрессии - соседние ступени различаются не НА столько-то пунктов, а ВО столько-то раз. Разница между 10 и 20 воспринимается такой же, как между 30 и 60, а не как между 40 и 50.
Вернемся к шкале. Вместо процентной доли шаров нужного цвета (X) рассмотрим соотношение X/(100%-X). Края шкалы - ноль и бесконечность, середина - единица. Очевидно, что естественная шкала будет той самой геометрической прогрессией a^Z, где Z - целые числа. Осталось найти основание a, для чего нужна еще хотя бы одна отсечка - вернее, две, симметричные относительно 50%.
И здесь не менее очевидно, что такой отсечкой будут точки 25% и 75%. Во-первых, все-таки арифметическая равномерность 0-25-50-75-100 на изначальной долевой (процентной) шкале. Во-вторых, вспомним матстат: недаром особое внимание уделяют квартилям (точкам, делящим упорядоченный по возрастанию массив значений на 4 равномощные части; второй квартиль широко известен как медиана выборки).
25%-75% - это трехкратная разница между двумя частями общего множества (белые и черные шары). Итак, основание найдено: a=3. На нулевом шаге a^0=1, что дает отсечку в 50%, на 1-м шаге a^1=3 и 25-75%, что же дальше? А дальше a^2=9, не что иное, как процентовка 10-90%. После верхнего и нижнего квартилей - верхний и нижний децили, именно децили, а не что-либо еще.
Таким образом, выведена следующая шкала интервалов: (0) ... 0,1 - 0,25 - 0,5 - 0,75 - 0,9 ... (1). Следующие ступени соответствуют a^3=27, то есть 1/28 и 27/28, далее - 1/82 и 81/82... Но, как известно, чем менее сопоставимы друг с другом два множества, тем сильнее наш встроенный анализатор может "сбоить" при определении их соотношения. Так что остановимся на втором шаге, который привел нас к порогу в 10%, который изначально ощущался естественным по совсем другой причине - из-за общепринятой системы счисления.
Резюме: впредь для градуировки каких-либо параметров, распределенных от 0% до 100% (в первую очередь при создании карт) буду использовать шкалу 0% - 10% - 25% - 50% - 75% - 90% - 100%, чья гармония поверена алгеброй в этом посте.
Если кто-нибудь что-нибудь понял...