Флоренский о числах
«Глубочайшие философы, особенно на вершинах своих размышлений, всегда тяготели к спекуляциям над числами»
П.А. Флоренский
В платонизме математике и, в особенности, проблеме числа всегда уделялось много внимания. Русские религиозные философы, близкие к платонизму, наследуют эту традицию. Сильнее всего философия математики развита у П.А. Флоренского и А.Ф. Лосева. Флоренский, к тому же, получил профессиональное математическое образование. Взгляды Флоренского на математику как на способ познания мира позволяют понять его представления о научном познании в целом, а значит - увидеть внутреннюю мотивацию его естественнонаучной деятельности (особенно, в 20-30-е гг.). Эта проблема рассматривается в статье В.А. Шапошникова «Категория числа в конкретной метафизике Павла Флоренского» (2009). Приводим выдержки из работы:
«Философия о. Павла Флоренского, представляя собою современную версию платонизма, естественно отводит заметную роль ЧИСЛУ. Особое место число занимало в онтологической иерархии уже у Платона; не менее значима именно эта категория в диалектических построениях Плотина и Прокла.
«Числа, - пишет Флоренский в связи с разговором о догмате Троичности, - вообще оказываются невыводимыми ни из чего другого, и все попытки на такую дедукцию терпят решительное крушение, а, в лучшем случае, когда по-видимому к чему-то приводят, страдают petitio principii. Число выводимо лишь из числа же - не иначе. А т. к. глубочайшая характеристика сущностей связана именно с числами, то сам собою напрашивается пифагоровско-платоновский вывод, что числа - основные, за-эмпирические корни вещей, своего рода вещи в себе. В этом смысле опять-таки напрашивается вывод, что вещи, в известном смысле, суть явления абсолютных, трансцендентных чисел»…
В 1923 г. Флоренский планировал выпустить книгу «Число как форма» (издание не состоялось), так же как для «Мнимостей в геометрии» (1922) обложка к ней была нарисована В. А. Фаворским. В написанном для этой книги программном введении «Пифагоровы числа» (1922) о. Павел говорит: «Совершенно незаметно для себя наука возвращается к пифагорейскому представлению о выразимости всего целым числом и, следовательно, - о существенной характерности для всего - свойственного ему числа».
Тем не менее, продолжает о. Павел, нет ясности с самим понятием о числе. Число не есть просто набор единиц, для нас важна его целостность, его индивидуальная форма. «Число есть некоторый прототип, идеальная схема, первичная категория мышления и бытия. Оно есть некоторый умный первоорганизм, качественно отличный от других таких же организмов - чисел». Важнейшее продвижение в сторону такого понимания числа Флоренский видит в учении Г. Кантора о «типах порядка» (= идеальных числах), которые как и натуральные числа понимаются как абстракции, возникающие в результате отвлечения от природы элементов множества. Тип порядка - это «некоторое единое органическое целое, состоящее из различных единиц, сохраняющих между собой - в одном или нескольких отношениях - определенный взаимный порядок». Это материал - абстрактные единицы, подчиненный некоторой форме (устанавливающей определенный порядок между ними). Резюме Флоренского о теории порядковых типов Кантора такое: «Если бы теория кратно-протяженных типов порядка была достаточно разработана, то одним числом выражалось бы сложнейшее строение объектов природы, и познанию действительности, как царству форм, было бы выковано могущественное орудие».
Флоренский говорит в этой работе о структурности числа. Простейшая форма структурирования числа - запись его по системе счисления с тем или иным основанием. Флоренский называет это «изображением числа». Если число понимается как имеющее форму, то не все равно по какой системе его изображать. Какая-то система может быть естественна, какая-то - нет. Если у нас достаточно богатый выбор оснований, в том числе и переменных, то это «позволяет самими числами выразить внутренний ритм и строй обсуждаемого явления». «Если бы счет действительно производился правильно, т.е. без искажения структуры считаемого, а значит - по свойственной данному явлению системе счисления, то тогда числом действительно выражалась бы суть явления, - прямо по Пифагору. Отсюда понятна глубочайшая необходимость изучать числа, - конкретные, изображенные числа, - как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенного и организованного».
Другой вопрос, который интересует о. Павла, - это вопрос об инвариантах при изменении основания системы счисления. В работе «Число как форма» Флоренский исследует два простейших алгоритма, которые уже применялись исторически, но без обоснования, а порой и неосознанно: приведение чисел и повышение чисел. Это, говорит о. Павел, простейшие из приемов «улавливающих внутренний ритм числа, его пифагорейскую музыку». Итак, математика предстает в этих рассуждениях Флоренского как наука о ЧИСЛЕ, а число-форма как универсальный предмет математики…
Платонизм о. Павла предстает как имяславие, с одной стороны, и пифагореизм - с другой. Все для него имеет, как внутреннюю (ноуменальную, духовную), так и внешнюю (феноменальную, материальную) стороны. Явление идеи всегда антиномично: единый эйдос предстает и как имя, и как число, являет себя и как вещь, и как личность. Понимание числа у Флоренского есть попытка продемонстрировать правильность основных интуиций пифагорейско-платонического подхода к природе числа. Так вывод, к которому пришел Оскар Беккер, что греческое понятие «аритмос» не уже, как обычно считают, а шире, чем наше понятие «числа», находит разностороннее подтверждение у о. Павла. Число-сеть, число-структура оказывается у Флоренского универсальным предметом математики: каждое целостное явление должно быть охарактеризовано математически целостным объектом - «типом порядка», пифагорейским числом-формой. Именно в этом направлении чает он развития математики.
Математика предстает для о. Павла как основа «отрицательной философии», философии возможного, - без должного развития которой, без этого знания «прототипов всяких отношений между бытиями» невозможно построить положительную философию, философию реального, конкретную метафизику. Схемы чистой математики - сами по себе абстрактные, жесткие, «мертвые», - захваченные диалектическим движением мысли - «конкретизируются», утрачивают жесткость, «оживают», кости покрываются плотью и начинают двигаться и действовать. Диалектика же имеет дело с пограничными явлениями, с тем, что происходит на границе - зеркальной поверхности - месте встречи и размежевания внутреннего и внешнего, ноуменального и феноменального, духовного и материального, личности и вещи и т. д. Существующее на границе есть символ. Именно здесь открывается подлинное значение математики - математические схемы, будучи поставленными на границу, раскрывают свой смысл как символы, живущие только в точке встречи дольнего с горним»
П.А. Флоренский
В платонизме математике и, в особенности, проблеме числа всегда уделялось много внимания. Русские религиозные философы, близкие к платонизму, наследуют эту традицию. Сильнее всего философия математики развита у П.А. Флоренского и А.Ф. Лосева. Флоренский, к тому же, получил профессиональное математическое образование. Взгляды Флоренского на математику как на способ познания мира позволяют понять его представления о научном познании в целом, а значит - увидеть внутреннюю мотивацию его естественнонаучной деятельности (особенно, в 20-30-е гг.). Эта проблема рассматривается в статье В.А. Шапошникова «Категория числа в конкретной метафизике Павла Флоренского» (2009). Приводим выдержки из работы:
«Философия о. Павла Флоренского, представляя собою современную версию платонизма, естественно отводит заметную роль ЧИСЛУ. Особое место число занимало в онтологической иерархии уже у Платона; не менее значима именно эта категория в диалектических построениях Плотина и Прокла.
«Числа, - пишет Флоренский в связи с разговором о догмате Троичности, - вообще оказываются невыводимыми ни из чего другого, и все попытки на такую дедукцию терпят решительное крушение, а, в лучшем случае, когда по-видимому к чему-то приводят, страдают petitio principii. Число выводимо лишь из числа же - не иначе. А т. к. глубочайшая характеристика сущностей связана именно с числами, то сам собою напрашивается пифагоровско-платоновский вывод, что числа - основные, за-эмпирические корни вещей, своего рода вещи в себе. В этом смысле опять-таки напрашивается вывод, что вещи, в известном смысле, суть явления абсолютных, трансцендентных чисел»…
В 1923 г. Флоренский планировал выпустить книгу «Число как форма» (издание не состоялось), так же как для «Мнимостей в геометрии» (1922) обложка к ней была нарисована В. А. Фаворским. В написанном для этой книги программном введении «Пифагоровы числа» (1922) о. Павел говорит: «Совершенно незаметно для себя наука возвращается к пифагорейскому представлению о выразимости всего целым числом и, следовательно, - о существенной характерности для всего - свойственного ему числа».
Тем не менее, продолжает о. Павел, нет ясности с самим понятием о числе. Число не есть просто набор единиц, для нас важна его целостность, его индивидуальная форма. «Число есть некоторый прототип, идеальная схема, первичная категория мышления и бытия. Оно есть некоторый умный первоорганизм, качественно отличный от других таких же организмов - чисел». Важнейшее продвижение в сторону такого понимания числа Флоренский видит в учении Г. Кантора о «типах порядка» (= идеальных числах), которые как и натуральные числа понимаются как абстракции, возникающие в результате отвлечения от природы элементов множества. Тип порядка - это «некоторое единое органическое целое, состоящее из различных единиц, сохраняющих между собой - в одном или нескольких отношениях - определенный взаимный порядок». Это материал - абстрактные единицы, подчиненный некоторой форме (устанавливающей определенный порядок между ними). Резюме Флоренского о теории порядковых типов Кантора такое: «Если бы теория кратно-протяженных типов порядка была достаточно разработана, то одним числом выражалось бы сложнейшее строение объектов природы, и познанию действительности, как царству форм, было бы выковано могущественное орудие».
Флоренский говорит в этой работе о структурности числа. Простейшая форма структурирования числа - запись его по системе счисления с тем или иным основанием. Флоренский называет это «изображением числа». Если число понимается как имеющее форму, то не все равно по какой системе его изображать. Какая-то система может быть естественна, какая-то - нет. Если у нас достаточно богатый выбор оснований, в том числе и переменных, то это «позволяет самими числами выразить внутренний ритм и строй обсуждаемого явления». «Если бы счет действительно производился правильно, т.е. без искажения структуры считаемого, а значит - по свойственной данному явлению системе счисления, то тогда числом действительно выражалась бы суть явления, - прямо по Пифагору. Отсюда понятна глубочайшая необходимость изучать числа, - конкретные, изображенные числа, - как индивидуальности, как первоорганизмы, схемы и первообразы всего устроенного и организованного».
Другой вопрос, который интересует о. Павла, - это вопрос об инвариантах при изменении основания системы счисления. В работе «Число как форма» Флоренский исследует два простейших алгоритма, которые уже применялись исторически, но без обоснования, а порой и неосознанно: приведение чисел и повышение чисел. Это, говорит о. Павел, простейшие из приемов «улавливающих внутренний ритм числа, его пифагорейскую музыку». Итак, математика предстает в этих рассуждениях Флоренского как наука о ЧИСЛЕ, а число-форма как универсальный предмет математики…
Платонизм о. Павла предстает как имяславие, с одной стороны, и пифагореизм - с другой. Все для него имеет, как внутреннюю (ноуменальную, духовную), так и внешнюю (феноменальную, материальную) стороны. Явление идеи всегда антиномично: единый эйдос предстает и как имя, и как число, являет себя и как вещь, и как личность. Понимание числа у Флоренского есть попытка продемонстрировать правильность основных интуиций пифагорейско-платонического подхода к природе числа. Так вывод, к которому пришел Оскар Беккер, что греческое понятие «аритмос» не уже, как обычно считают, а шире, чем наше понятие «числа», находит разностороннее подтверждение у о. Павла. Число-сеть, число-структура оказывается у Флоренского универсальным предметом математики: каждое целостное явление должно быть охарактеризовано математически целостным объектом - «типом порядка», пифагорейским числом-формой. Именно в этом направлении чает он развития математики.
Математика предстает для о. Павла как основа «отрицательной философии», философии возможного, - без должного развития которой, без этого знания «прототипов всяких отношений между бытиями» невозможно построить положительную философию, философию реального, конкретную метафизику. Схемы чистой математики - сами по себе абстрактные, жесткие, «мертвые», - захваченные диалектическим движением мысли - «конкретизируются», утрачивают жесткость, «оживают», кости покрываются плотью и начинают двигаться и действовать. Диалектика же имеет дело с пограничными явлениями, с тем, что происходит на границе - зеркальной поверхности - месте встречи и размежевания внутреннего и внешнего, ноуменального и феноменального, духовного и материального, личности и вещи и т. д. Существующее на границе есть символ. Именно здесь открывается подлинное значение математики - математические схемы, будучи поставленными на границу, раскрывают свой смысл как символы, живущие только в точке встречи дольнего с горним»