Ноль, числа и множества.
Собираясь разобраться, что такое 0, единица и множество, я забрался в такие дебри бытия, что мое исследование переросло в философский трактат. Пока он не закончен, понимая, что рассуждения о названных терминах имеют самостоятельную ценность, я решил опубликовать их, несмотря на то, что вырезанные из упомянутого трактата, они потеряли в некоторой степени связь с другими разработанными понятиями. Поэтому прошу прощения у читателей за возможные логические нестыковки.
Человек умел считать еще до появления математиков. Количество считаемых предметов ассоциировалось с таким же количеством, например, пальцев на руке. Математики появились с появлением цифр. Говорят, что цифры придумали потому, что пальцев на руке стало не хватать. Но, скорее всего, цифры придумали потому, что за разными количествами заметили некоторые свойства, которые не зависели от самих объектов счёта. Эти свойства решили абстрагировать и обозначить символом для каждого числа. Как бы то ни было, количество считаемых объектов стало ассоциироваться с определенными цифрами. Цифры позволили абстрагироваться от объектов счёта и расширить области счёта. Хотя арифметика считается предшественницей операций с множествами, мы здесь уже ясно видим, что цифры возникли именно для обозначения величины множеств натуральных элементов. Под натуральными элементами мы здесь понимаем объекты, которые нельзя разделить на части, обладающие теми же свойствами.
Появление цифр было только началом математики. Цифры обозначали количество объектов или величину множеств. Сейчас бы это назвали мощностью множества, но в те времена их назвали числами. Вскоре человек научился абстрагировать и другие явления, такие, например, как изменение рассматриваемого множества. Так появились математические операции. В первую очередь это были операции, связанные с обменом. Эти абстракции человек тоже формализовал, то есть обозначил их определенными символами. Так появились операции сложения, вычитания, умножения, деления и соответствующие им математические символы. Появление цифр и знаков арифметических операций положило начало языку математики. В те времена человек еще не задумывался о смысле абстракций, с которыми он работал. Можно сказать, что его абстракции были примитивными и конкретизировались только с течением времени. О том, как конкретизируются абстракции с течением времени, можно наблюдать, изучая математическую культуру в ее развитии у разных народов, в том числе у современных народов, находящихся на ранних стадиях развития. Человек не всегда понимал, что можно абстрагировать любые явления мира, в котором он жил, и можно построить единую систему абстрагирования.
Процесс разработки новых абстракций к настоящему времени зашел уже так далеко, что наверно не многие из математиков могут сказать, что они знают всю математику в смысле разработанных понятий и их символов. А число абстракций, которым пока не нашлось соответствий в реальном мире, неуклонно растет. В настоящее время мы имеем математику, ветвящуюся на отдельные направления, которые часто не имеют точек соприкосновения между собой. Но мы должны помнить, что математика это единый инструмент познания мира через анализ абстракций отдельных явлений. Поэтому важное значение в этой связи получает теория категорий, которая должна построить стройную систему абстракций явлений природы.
"До того, как что-то было, ничего не было". Эта фраза простым языком являет нам две противоположности сущности: бытиё и небытиё. Как ни странно, о небытии мы ничего не можем сказать, кроме того, что чего-то нет. Если ничего не только нет, но и не было, то сказать абсолютно нечего. Если что-то было, а теперь его нет, то уже о нем можно говорить хотя бы в прошедшем времени. Но опять же, говоря о чем-то в прошедшем времени, мы говорим о нем, как о бывшем. О нем, как несуществующем, мы опять же ничего сказать не можем. Состояние небытия в математике имеет обозначения . Абсолютное небытиё, кажется, никак не обозначается, разве что словом небытиё. Впрочем, в математике оно, кажется, не используется. Небытиё, относящееся к конкретным объектам, может иметь обозначения. В отношении к числам это 0 (ноль). В отношении к множествам это { Ø } (пустое множество). В отношении произвольного объекта можно сказать, что его нет или как-то это обозначить.
Цифра 0 обозначает "нисколько". Заметим, что 0 не имеет образа. Коренное отличие 0 от других цифр состоит в том, что она обозначает отсутствие сущности. Все остальные цифры обозначают наличествующие сущности, которым присущи некие свойства. Итак, 0 это цифра, она существует как цифра, имеющая некие свойства, но ею обозначено то, что свойств не имеет. Забегая вперед, можно сказать, что к цифрам относятся 0, как символ отсутствия, и символы чисел.
Говорить об абсолютной пустоте не имеет смысла. Ведь мы всегда знаем, что рядом что-то есть. "Природа не терпит пустоты", - сказал Аристотель. Но мы привлекаем этот афоризм не в силу авторитета автора, а в качестве напоминания о неоспоримом свойстве природы. Его неоспоримость мы тоже ниже рассмотрим. "Ничто" или "нисколько" имеет отношение только к тем свойствам объектов, которые мы в данный момент рассматриваем. Убив последнюю овцу, можно сказать, что стада не стало. Не стало и овцы. Но осталось мясо, которое впоследствии тоже исчезнет, превратившись в элементы строительства других организмов. Мы не знаем таких физических операций, которые привели бы к абсолютной пустоте. Тот 0, который мы получаем в результате математических операций, означает исчезновение только существенных качеств, которые мы рассматривали. В философском и физическом смысле это означает, что объекты в таких случаях утратили рассматриваемые качества. Но материя, их образовывавшая, не прекратила своего существования . Она нашла другие формы.
"И сказал Бог: да будет твердь посреди воды". Этим актом Бог отделил прерывное от непрерывного. В нашем представлении - это отделение понятий, имеющих форму, от бесформенных. Целые числа описывают "твердь", вещественные - "воду". "Твердь" стала обиталищем сущностей, которые мы можем описать как элементарные или единицы, то есть имеющие форму, в отличие от "воды", где обитают сущности, описываемые вещественными числами, к которым мы относим бесконечные объекты . Цифра 1 обозначает "что-то целое и неделимое". В качестве числительного 1 означает "столько, что нельзя разделить". Разделение элементарной сущности приводит к ее исчезновению и появлению новых сущностей. Единица как объект не может состоять из нескольких таких же единиц. Как пример, мы можем взять овцу, которая, если ее разделить, перестанет существовать, но вместо нее появится некоторое количество мяса. Можно сказать, что мясо было и до разделения овцы. Более того, овцу можно разделить, не лишая ее жизни, на, скажем, овцу и клок шерсти. Но, согласитесь, если подходить строго, то стриженая овца и нестриженая это разные овцы. И овца и шерсть это тоже различные понятия, а не одинаковые.
"Твердь посреди воды" может означать, что всё сущее перетекает из одной формы в другую. Каждую форму можно рассматривать как "твердь", то есть объект, существующий некоторое время в определенных границах. Он может исчезнуть при определенных обстоятельствах, но не абсолютно, а перейдя в другие формы. Вместе с тем нужно иметь в виду и то, что форма не всегда может быть четко обозначена. Возьмем такой объект как земная атмосфера. Снизу она имеет четкую границу, сверху - размытую. Но и четкость нижней границы размывается с более пристальным ее рассмотрением. Так же размывается четкость любой границы любой формы с углублением в ее структуру.
Объекты, имеющие форму, могут объединяться в множества. Смысл выделять отдельные множества в том, что они могут оказывать совокупное влияние на другие объекты. Множества, состоящие из нескольких одинаковых элементов, далеко не всегда одинаковы. Для того, чтобы такие множества можно было сравнить, существует понятие количества его элементов. Количество элементов однозначно характеризует некоторые основные качества счетного множества и выражается числом. Число это абстракция, ассоциирующаяся с качествами, которые свойствены множеству одинаковых элементов, связанными только с их количеством. Именно для того, чтобы отличить множества одинаковых элементов, отличающихся между собой только качествами, обусловленными их количеством, и возник счёт. Счёт позволяет абстрагировать множества, выделенные по качествам, определяемым только количеством элементов. Таким образом, счет определяет, каким качеством, присущим только благодаря такому количеству его элементов, обладает данное множество. Натуральное число показывает, сколько элементов с определенным признаком наличествует. Вместе с тем оно однозначно определяет, какими количественными качествами или свойствами это множество обладает. Исходя из этого определения, можно сказать, что 0 это не число. Это символ, показывающий, не сколько единиц наличествует, а то, что их вообще нет.
Итак, строго говоря, 0 числом не является. 0 можно назвать числом, но в этом случае мы должны указать причину, почему мы хотим его так назвать, условия, когда его можно так называть, и впоследствии строго следить за соблюдением этих условий.
Единица тоже особое число. Как мы уже выяснили, числа появились как абстракции, связанные с множествами. Поскольку один объект это не множество, так как нет ему одинаковых или равнозначных в смысле принадлежности множеству, то в этом смысле единица не число. Начиная счет, мы первой взятой сущности присваиваем номер 1. В этом случае единица имеет смысл числительного. То есть, при пересчете числа объектов единица имеет смысл не только "что-то элементарное ", но и "первое". В любом множестве единиц чего-то каждая подсчитываемая единица имеет смысл "что-то элементарное", но смысл "первая" имеет только одна. "Вторая" тоже элементарна и одна и т.д. Следовательно, так же, как и с 0, когда мы работаем с так называемым "единичным множеством", мы должны специально указывать причину, почему мы так делаем, потому что в строгом смысле единица не может быть множеством.
В физическом смысле любая единица всегда есть множество некоторых элементов, но они не могут иметь тех свойств, по которым взятая в качестве единицы сущность рассматривается как элементарная. Вместе с тем, свойства единицы, рассматриваемые в количественном отношении и при этом отличающие ее от других количеств, несомненно существуют объективно. Именно благодаря наличию таких свойств единицу рассматривают как единичное множество.
Можно ли говорить о подобных свойствах нуля? Подобные свойства могут быть только у объектов. Отсутствие это не объект, это понятие, а 0 - символ этого понятия. Ноль может символизировать отсутствие как объектов, так и их свойств. Символ { Ø } говорит нам об отсутствии элементов множества. Если отсутствие элементов множества назвать пустым множеством, оно множеством не станет, оно только будет так называться. Символу { Ø } можно присвоить некие свойства, понятие же, которое он символизирует свойств иметь не может. Это нужно иметь в виду, когда мы оперируем с такими символами как 0 и { Ø }. Пустое множество не может являться множеством, поскольку понятие, которое под ним понимается, не подпадает под следующее определение множества, данное нами: множество это объединение нескольких отдельных объектов, выделенных из бесконечного многообразия объектов по некоторым признакам, позволяющее формировать собственное влияние на внешний объект.
Почему бы не убрать эти символы из теории чисел? Понятия, которые они символизируют, могут явиться результатом некоторых операций и они должны быть обозначены. Операции же с ними не имеют никакого смысла. Но в записях операций эти символы могут присутствовать как результат предыдущей операции. Чтобы не было ошибок в вычислениях это нужно отчетливо себе представлять.
Хотя все сущности для целей счета равнозначны, для того, чтобы их пересчитать, мы должны каждой из них присвоить отличающуюся от остальных цифру. Результат счёта может принять ряд значений. Этот ряд значений назвали числовым рядом, элементы которого обозначили цифрами. Числовой ряд, или ряд натуральных чисел, это строго упорядоченная последовательность, в которой каждый следующий член означает количество, большее предыдущего на 1. В результате счета мы можем получить 0, 1, а также любое другое натуральное число. Поэтому как множество возможных результатов счёта такой ряд состоит из символов абстракций пустоты, единицы и чисел.
0 тоже в некоторых случаях относят к множествам. В частности, к так называемому пустому множеству { Ø }. В этих случаях тоже необходимо определить, чем это "множество" отличается от нормального множества и как будет влиять это отличие на наши вычисления. Здесь уже мы имеем несколько отличий от нормального множества. Первое - элементов этого множества не существует, в отличие от нормального. Второе - элементы этого множества, поскольку их нет, не могут вступить в какую-либо связь не только между собой, но и с элементами других множеств. И третье - множество это источник влияния на другие объекты, а со стороны пустого множества никаких влияний нет. То есть, множества в сущности нет, а мы говорим, что есть. Мы выдаем желаемое за действительное. Если это "множество" посчитать вместе с другими, то мы получим число, не соответствующее действительности. Чтобы этого избежать, говорят: "посчитаем число непустых множеств". Вместе с тем, отсутствие каких-либо свойств, можно считать свойством, отличающим пустоту от других количеств. С этой точки зрения и учитывая, что абсолютной пустоты не бывает, можно иметь дело с пустым множеством. При этом нельзя забывать, что отсутствие это не то, что считают. Иначе можно дойти до такого абсурда, что сказать, будто на столе, на котором лежит три желтых шара, лежит пять желтых шаров, так как посчитали еще два отсутствующих.
Мы разобрали, что такое числа, множества, что обозначают цифры. Каковы отношения между 0, 1 и множеством? Между 0 и 1 отношение следующее: это две противоположности существования. То есть, 1 - это сущность, элементарная в каких-то проявлениях, 0 - это отсутствие сущности, обычно какой-то конкретной.
Между 0 и множеством отношение такое же, как и с единицей: это две противоположности существования. Но, в отличие от 1, множество это не элементарная, а множественная сущность или совокупность. В то же время мы уже видели, что множество может выступать как элементарная сущность, когда определяющим его признаком является число элементов. Как элементарные сущности множества выступают в числовых множествах в качестве чисел.
Между 1 и множеством отношение такое: это две структурные противоположности. Множество - это структура, 1 - это отсутствие структуры. Под структурой мы обычно понимаем некоторое количество компонентов со связями между ними, то есть взаимодействующих компонентов. Если при наличии единицы и какого-то множества нам дадут задание посчитать количество структур, то мы получим 1. А единица, которую мы не посчитали, в этом случае будет служить нулем, то есть объектом, не располагающим тем качеством, которое мы определили для целей счёта. Этот пример еще раз показывает нам, что ноль это не полное отсутствие сущности. Если мы считаем качества, то нулями будут все единицы и множества, не обладающие этим качеством. Последняя фраза в известном смысле вульгарна, но она показывает, как в подобном случае можно спутать понятия или упустить из виду то, что существует.
Человек умел считать еще до появления математиков. Количество считаемых предметов ассоциировалось с таким же количеством, например, пальцев на руке. Математики появились с появлением цифр. Говорят, что цифры придумали потому, что пальцев на руке стало не хватать. Но, скорее всего, цифры придумали потому, что за разными количествами заметили некоторые свойства, которые не зависели от самих объектов счёта. Эти свойства решили абстрагировать и обозначить символом для каждого числа. Как бы то ни было, количество считаемых объектов стало ассоциироваться с определенными цифрами. Цифры позволили абстрагироваться от объектов счёта и расширить области счёта. Хотя арифметика считается предшественницей операций с множествами, мы здесь уже ясно видим, что цифры возникли именно для обозначения величины множеств натуральных элементов. Под натуральными элементами мы здесь понимаем объекты, которые нельзя разделить на части, обладающие теми же свойствами.
Появление цифр было только началом математики. Цифры обозначали количество объектов или величину множеств. Сейчас бы это назвали мощностью множества, но в те времена их назвали числами. Вскоре человек научился абстрагировать и другие явления, такие, например, как изменение рассматриваемого множества. Так появились математические операции. В первую очередь это были операции, связанные с обменом. Эти абстракции человек тоже формализовал, то есть обозначил их определенными символами. Так появились операции сложения, вычитания, умножения, деления и соответствующие им математические символы. Появление цифр и знаков арифметических операций положило начало языку математики. В те времена человек еще не задумывался о смысле абстракций, с которыми он работал. Можно сказать, что его абстракции были примитивными и конкретизировались только с течением времени. О том, как конкретизируются абстракции с течением времени, можно наблюдать, изучая математическую культуру в ее развитии у разных народов, в том числе у современных народов, находящихся на ранних стадиях развития. Человек не всегда понимал, что можно абстрагировать любые явления мира, в котором он жил, и можно построить единую систему абстрагирования.
Процесс разработки новых абстракций к настоящему времени зашел уже так далеко, что наверно не многие из математиков могут сказать, что они знают всю математику в смысле разработанных понятий и их символов. А число абстракций, которым пока не нашлось соответствий в реальном мире, неуклонно растет. В настоящее время мы имеем математику, ветвящуюся на отдельные направления, которые часто не имеют точек соприкосновения между собой. Но мы должны помнить, что математика это единый инструмент познания мира через анализ абстракций отдельных явлений. Поэтому важное значение в этой связи получает теория категорий, которая должна построить стройную систему абстракций явлений природы.
"До того, как что-то было, ничего не было". Эта фраза простым языком являет нам две противоположности сущности: бытиё и небытиё. Как ни странно, о небытии мы ничего не можем сказать, кроме того, что чего-то нет. Если ничего не только нет, но и не было, то сказать абсолютно нечего. Если что-то было, а теперь его нет, то уже о нем можно говорить хотя бы в прошедшем времени. Но опять же, говоря о чем-то в прошедшем времени, мы говорим о нем, как о бывшем. О нем, как несуществующем, мы опять же ничего сказать не можем. Состояние небытия в математике имеет обозначения . Абсолютное небытиё, кажется, никак не обозначается, разве что словом небытиё. Впрочем, в математике оно, кажется, не используется. Небытиё, относящееся к конкретным объектам, может иметь обозначения. В отношении к числам это 0 (ноль). В отношении к множествам это { Ø } (пустое множество). В отношении произвольного объекта можно сказать, что его нет или как-то это обозначить.
Цифра 0 обозначает "нисколько". Заметим, что 0 не имеет образа. Коренное отличие 0 от других цифр состоит в том, что она обозначает отсутствие сущности. Все остальные цифры обозначают наличествующие сущности, которым присущи некие свойства. Итак, 0 это цифра, она существует как цифра, имеющая некие свойства, но ею обозначено то, что свойств не имеет. Забегая вперед, можно сказать, что к цифрам относятся 0, как символ отсутствия, и символы чисел.
Говорить об абсолютной пустоте не имеет смысла. Ведь мы всегда знаем, что рядом что-то есть. "Природа не терпит пустоты", - сказал Аристотель. Но мы привлекаем этот афоризм не в силу авторитета автора, а в качестве напоминания о неоспоримом свойстве природы. Его неоспоримость мы тоже ниже рассмотрим. "Ничто" или "нисколько" имеет отношение только к тем свойствам объектов, которые мы в данный момент рассматриваем. Убив последнюю овцу, можно сказать, что стада не стало. Не стало и овцы. Но осталось мясо, которое впоследствии тоже исчезнет, превратившись в элементы строительства других организмов. Мы не знаем таких физических операций, которые привели бы к абсолютной пустоте. Тот 0, который мы получаем в результате математических операций, означает исчезновение только существенных качеств, которые мы рассматривали. В философском и физическом смысле это означает, что объекты в таких случаях утратили рассматриваемые качества. Но материя, их образовывавшая, не прекратила своего существования . Она нашла другие формы.
"И сказал Бог: да будет твердь посреди воды". Этим актом Бог отделил прерывное от непрерывного. В нашем представлении - это отделение понятий, имеющих форму, от бесформенных. Целые числа описывают "твердь", вещественные - "воду". "Твердь" стала обиталищем сущностей, которые мы можем описать как элементарные или единицы, то есть имеющие форму, в отличие от "воды", где обитают сущности, описываемые вещественными числами, к которым мы относим бесконечные объекты . Цифра 1 обозначает "что-то целое и неделимое". В качестве числительного 1 означает "столько, что нельзя разделить". Разделение элементарной сущности приводит к ее исчезновению и появлению новых сущностей. Единица как объект не может состоять из нескольких таких же единиц. Как пример, мы можем взять овцу, которая, если ее разделить, перестанет существовать, но вместо нее появится некоторое количество мяса. Можно сказать, что мясо было и до разделения овцы. Более того, овцу можно разделить, не лишая ее жизни, на, скажем, овцу и клок шерсти. Но, согласитесь, если подходить строго, то стриженая овца и нестриженая это разные овцы. И овца и шерсть это тоже различные понятия, а не одинаковые.
"Твердь посреди воды" может означать, что всё сущее перетекает из одной формы в другую. Каждую форму можно рассматривать как "твердь", то есть объект, существующий некоторое время в определенных границах. Он может исчезнуть при определенных обстоятельствах, но не абсолютно, а перейдя в другие формы. Вместе с тем нужно иметь в виду и то, что форма не всегда может быть четко обозначена. Возьмем такой объект как земная атмосфера. Снизу она имеет четкую границу, сверху - размытую. Но и четкость нижней границы размывается с более пристальным ее рассмотрением. Так же размывается четкость любой границы любой формы с углублением в ее структуру.
Объекты, имеющие форму, могут объединяться в множества. Смысл выделять отдельные множества в том, что они могут оказывать совокупное влияние на другие объекты. Множества, состоящие из нескольких одинаковых элементов, далеко не всегда одинаковы. Для того, чтобы такие множества можно было сравнить, существует понятие количества его элементов. Количество элементов однозначно характеризует некоторые основные качества счетного множества и выражается числом. Число это абстракция, ассоциирующаяся с качествами, которые свойствены множеству одинаковых элементов, связанными только с их количеством. Именно для того, чтобы отличить множества одинаковых элементов, отличающихся между собой только качествами, обусловленными их количеством, и возник счёт. Счёт позволяет абстрагировать множества, выделенные по качествам, определяемым только количеством элементов. Таким образом, счет определяет, каким качеством, присущим только благодаря такому количеству его элементов, обладает данное множество. Натуральное число показывает, сколько элементов с определенным признаком наличествует. Вместе с тем оно однозначно определяет, какими количественными качествами или свойствами это множество обладает. Исходя из этого определения, можно сказать, что 0 это не число. Это символ, показывающий, не сколько единиц наличествует, а то, что их вообще нет.
Итак, строго говоря, 0 числом не является. 0 можно назвать числом, но в этом случае мы должны указать причину, почему мы хотим его так назвать, условия, когда его можно так называть, и впоследствии строго следить за соблюдением этих условий.
Единица тоже особое число. Как мы уже выяснили, числа появились как абстракции, связанные с множествами. Поскольку один объект это не множество, так как нет ему одинаковых или равнозначных в смысле принадлежности множеству, то в этом смысле единица не число. Начиная счет, мы первой взятой сущности присваиваем номер 1. В этом случае единица имеет смысл числительного. То есть, при пересчете числа объектов единица имеет смысл не только "что-то элементарное ", но и "первое". В любом множестве единиц чего-то каждая подсчитываемая единица имеет смысл "что-то элементарное", но смысл "первая" имеет только одна. "Вторая" тоже элементарна и одна и т.д. Следовательно, так же, как и с 0, когда мы работаем с так называемым "единичным множеством", мы должны специально указывать причину, почему мы так делаем, потому что в строгом смысле единица не может быть множеством.
В физическом смысле любая единица всегда есть множество некоторых элементов, но они не могут иметь тех свойств, по которым взятая в качестве единицы сущность рассматривается как элементарная. Вместе с тем, свойства единицы, рассматриваемые в количественном отношении и при этом отличающие ее от других количеств, несомненно существуют объективно. Именно благодаря наличию таких свойств единицу рассматривают как единичное множество.
Можно ли говорить о подобных свойствах нуля? Подобные свойства могут быть только у объектов. Отсутствие это не объект, это понятие, а 0 - символ этого понятия. Ноль может символизировать отсутствие как объектов, так и их свойств. Символ { Ø } говорит нам об отсутствии элементов множества. Если отсутствие элементов множества назвать пустым множеством, оно множеством не станет, оно только будет так называться. Символу { Ø } можно присвоить некие свойства, понятие же, которое он символизирует свойств иметь не может. Это нужно иметь в виду, когда мы оперируем с такими символами как 0 и { Ø }. Пустое множество не может являться множеством, поскольку понятие, которое под ним понимается, не подпадает под следующее определение множества, данное нами: множество это объединение нескольких отдельных объектов, выделенных из бесконечного многообразия объектов по некоторым признакам, позволяющее формировать собственное влияние на внешний объект.
Почему бы не убрать эти символы из теории чисел? Понятия, которые они символизируют, могут явиться результатом некоторых операций и они должны быть обозначены. Операции же с ними не имеют никакого смысла. Но в записях операций эти символы могут присутствовать как результат предыдущей операции. Чтобы не было ошибок в вычислениях это нужно отчетливо себе представлять.
Хотя все сущности для целей счета равнозначны, для того, чтобы их пересчитать, мы должны каждой из них присвоить отличающуюся от остальных цифру. Результат счёта может принять ряд значений. Этот ряд значений назвали числовым рядом, элементы которого обозначили цифрами. Числовой ряд, или ряд натуральных чисел, это строго упорядоченная последовательность, в которой каждый следующий член означает количество, большее предыдущего на 1. В результате счета мы можем получить 0, 1, а также любое другое натуральное число. Поэтому как множество возможных результатов счёта такой ряд состоит из символов абстракций пустоты, единицы и чисел.
0 тоже в некоторых случаях относят к множествам. В частности, к так называемому пустому множеству { Ø }. В этих случаях тоже необходимо определить, чем это "множество" отличается от нормального множества и как будет влиять это отличие на наши вычисления. Здесь уже мы имеем несколько отличий от нормального множества. Первое - элементов этого множества не существует, в отличие от нормального. Второе - элементы этого множества, поскольку их нет, не могут вступить в какую-либо связь не только между собой, но и с элементами других множеств. И третье - множество это источник влияния на другие объекты, а со стороны пустого множества никаких влияний нет. То есть, множества в сущности нет, а мы говорим, что есть. Мы выдаем желаемое за действительное. Если это "множество" посчитать вместе с другими, то мы получим число, не соответствующее действительности. Чтобы этого избежать, говорят: "посчитаем число непустых множеств". Вместе с тем, отсутствие каких-либо свойств, можно считать свойством, отличающим пустоту от других количеств. С этой точки зрения и учитывая, что абсолютной пустоты не бывает, можно иметь дело с пустым множеством. При этом нельзя забывать, что отсутствие это не то, что считают. Иначе можно дойти до такого абсурда, что сказать, будто на столе, на котором лежит три желтых шара, лежит пять желтых шаров, так как посчитали еще два отсутствующих.
Мы разобрали, что такое числа, множества, что обозначают цифры. Каковы отношения между 0, 1 и множеством? Между 0 и 1 отношение следующее: это две противоположности существования. То есть, 1 - это сущность, элементарная в каких-то проявлениях, 0 - это отсутствие сущности, обычно какой-то конкретной.
Между 0 и множеством отношение такое же, как и с единицей: это две противоположности существования. Но, в отличие от 1, множество это не элементарная, а множественная сущность или совокупность. В то же время мы уже видели, что множество может выступать как элементарная сущность, когда определяющим его признаком является число элементов. Как элементарные сущности множества выступают в числовых множествах в качестве чисел.
Между 1 и множеством отношение такое: это две структурные противоположности. Множество - это структура, 1 - это отсутствие структуры. Под структурой мы обычно понимаем некоторое количество компонентов со связями между ними, то есть взаимодействующих компонентов. Если при наличии единицы и какого-то множества нам дадут задание посчитать количество структур, то мы получим 1. А единица, которую мы не посчитали, в этом случае будет служить нулем, то есть объектом, не располагающим тем качеством, которое мы определили для целей счёта. Этот пример еще раз показывает нам, что ноль это не полное отсутствие сущности. Если мы считаем качества, то нулями будут все единицы и множества, не обладающие этим качеством. Последняя фраза в известном смысле вульгарна, но она показывает, как в подобном случае можно спутать понятия или упустить из виду то, что существует.