На форуме мехмата. Континуум миф. Нет континуума нет проблемы континуума

[vsounder]

Тема сообщения: Счетность R методом Кантора
От: Кантор
Отправлено: Вт янв 08, 2008 16:09:05
Кому: MOPO3OB
Сообщение
Теорема. Множество действительных чисел счетно.
Доказательство. Возьмем интервал (0, 1). Предположим, что множество действительных чисел несчетно. Тогда мы не можем числа интервала выстроить в натуральный ряд. Поэтому мы будем извлекать их из интервала тождественной функцией (согласно Аксиоме выбора: А8). Согласно этой аксиоме мы сможем выбрать все числа из интервала (0, 1). Далее строим число X методом Кантора.
Это число не может принадлежать интервалу, так как оно отличается от любого числа интервала хотя бы одним значением разряда. Но это число принадлежит интервалу по построению. Итак: мы получили число, которое и принадлежит интервалу, и не принадлежит ему. Противоречие. Значит, предположив несчетность, мы пришли к противоречию. Отсюда следует, что множество действительных чисел счетно. Теорема доказана.