Что есть математика?
Click to viewСо времен Пифагора в человечестве появлялось, исчезало и воскресало убеждение, что природный мир скрытым и существенным образом структурирован математически, и человек способен открывать эти структуры [Любищев, Ferguson]. Современным людям, родившимся и выросшим в эпоху научно-технического торжества этого убеждения, оно может показаться самоочевидным или даже банальным. Однако, большую часть двадцати пяти веков, отделяющих нас от Пифагора, эта пифагорейская вера жила в умах и побуждала к размышлениям лишь очень редких людей, в иные же времена и никем не разделялась, изредка лишь поминаясь как нечто неразумное. И действительно, если посмотреть на природу непредвзято, свежим взглядом, то трудно заподозрить, что земля, водные и воздушные просторы, растения, животный мир - все это гигантское разнообразие и богатство может в своем скрытом существе быть задано структурами арифметики или геометрии. Если попытаться стряхнуть с себя привычные догмы технологической цивилизации, то пифагорейский тезис «вещи суть числа» не может не удивить своей странностью, если не сказать безумием. Для тех, кто ощутит странность, успех этой удивительной веры может проиллюстрировать мысль одного из отцов квантовой физики, Нильса Бора, что лишь достаточно безумная теория имеет шанс оказаться истинной.
Целью предлагаемых размышлений является попытка прояснить источник этой веры, в течение веков владевшей редкими великими умами против общепринятых очевидностей здравого смысла. Такая задача требует, прежде всего, внимательного рассмотрения математики самой по себе, ответа на вынесенный в заголовок вопрос.
Хотя с математикой все как-то знакомы со школы, вопрос этот, как правило, либо порождает неудовлетворительные ответы, либо ставит в тупик, притом даже тех, кто знает математику лучше школьного уровня. Рассмотрим некоторые типичные ответы.
Математика есть наука о числах и фигурах. Она изучает их свойства.
Этот популярный ответ, увы, не слишком хорош. Во-первых, область математических исследований числами и фигурами далеко не ограничивается, включая, например, множества, группы, векторные пространства, отображения, много чего еще, и этому списку, наверное, нет конца. Вопрос в том, что же объединяет элементы этого списка. Другой вопрос к этому школьному определению математики - где находятся объекты изучения математики, что они такое, и каким образом мы их рассматриваем?
Отвечая на эти вопросы, часто указывают на абстрагирование:
Предмет математики состоит из абстракций материальной реальности, это абстрактное мышление об универсальных качествах объектов. Абстракции принадлежат общечеловеческому сознанию, миру культуры. Математика есть особый язык абстракций.
Эта попытка пояснения приводит, однако же, к новым недоразумениям. Во-первых, математика занята далеко не всякими абстракциями, но весьма особенными, и остается вопрос, какими именно и почему. Во-вторых, абстракции не выделяются из конкретностей как сок из фрукта или как протоны из воды; число 7 - объект принципиально иного рода, чем стая гусей или группа протонов, даже если этих гусей и протонов по семь. Остается вопрос, что такое тот мир, которому принадлежит число как таковое и другие объекты математики, пусть и абстрагируемые из материальной реальности. Утверждение о том, что таковые принадлежат миру культуры совершенно неудовлетворительно. Рассмотрим, например, теорему Пифагора: корень из двух непредставим отношением целых чисел. Разумеется, со времен Пифагора эта теорема так или иначе принадлежит миру культуры, общечеловеческому знанию. Но только ли ему она принадлежит, да и ему ли, в первую очередь? Что в этой теореме вообще особо человеческого? Разве зависит ее истинность, хоть на йоту, от особенностей нашей биологии или социологии? Нет, конечно же. Совершенно очевидно, что теорема истинна сама по себе, и любое достаточно развитое мышление, где бы оно ни было, способно убедиться в ее истинности тем же способом, что это делаем мы, или любыми иными. Истинность теоремы не зависит не только ни от чего человеческого, но даже от особенностей нашей вселенной, от ее законов она не зависит! Теорема Пифагора, как и все прочие математические теоремы, принадлежит по своей сути не особому пространству человеческой культуры или человеческого разума, а миру разума самого по себе, как такового, называемого еще миром платоновских форм, иначе тут не рассудить.
Таким образом, чтобы дать неабсурдный ответ на вопрос, чему, какому миру, принадлежит математика, мы должны постулировать универсальный разум как таковой, как место ее пребывания. Стоит подчеркнуть, что такой вывод отнюдь не ограничивает универсальный разум ролью вместилища математики, но оставляет за скобками его иные возможные роли. А коли так, то что же мы скажем относительно специфики математических объектов, выделяющей их из всех прочих абстрактных категорий или универсалий, тоже, возможно, входящих в универсальный разум?
Вспомним, что математика не есть лишь набор истинных утверждений о своих объектах, но ее истины выводятся из постулатов, аксиом или первопринципов, притом выводятся с логической несомненностью. Геометрия Евклида, например, состоит из пяти постулатов и в принципе бесконечного числа теорем. Каждая теорема должна доказываться и доказывается логически безупречно. Эта безупречность, строгость, совершенство математики обязаны ее крайне ограниченному лексикону, выход за пределы которого недопустим. Новые понятия могут вводиться лишь как недвусмысленные дефиниции на базе старых и только их. Фактами математики являются только аксиомы и доказанные на их основе теоремы. Иными словами, математика лингвистически замкнута. Каждую математическую дисциплину можно представить в виде некоего конструктора, на базе элементов которого по его четким правилам можно строить всё, что угодно, всё, что для этого конструктора возможно. Тут, собственно, и пролегает граница между миром математики и миром абстрактных универсалий вообще: математика внутренне замкнута и конструктивна, она занята лишь теми универсалиями, в отношении которых возможны абсолютно точные, несомненные доказательства истинности или ложности, притом на базе лишь данного конструктора, не прибегая ни к чему еще. Мир математики самой по себе - замкнутый и черно-белый, там нет оттенков и полутонов, нет места неточностям и приближенностям. Именно поэтому чистая математика, математика сама по себе, подразумевает возможность сколь угодно длинных цепей доказательств: сколь длинными они ни будь, никакая ошибка там не накопится, ибо в каждом отдельном звене ошибки нет совсем, каждое звено сияет абсолютной чистотой вечной истины. Приближения входят в математику лишь там, где она прилагается к материальному миру. Выходя за пределы самой себя, прилагаясь к физической реальности, математика вынуждена жертвовать своей абсолютной точностью, она должна описывать разного рода приближения к материальной реальности, всегда в какой-то мере от нее ускользающей; вот тут, в приложениях, и появляются математические неточности и приближенности.
Итак, математика подобна наборам конструкторов, состоящих из абстрактных идей, с заданными правилами их состывок. Такие конструкторы называются обычно формальными системами. Можно сказать, что математика объединяет в себе всевозможные формальные системы, как свой предмет, но одновременно как и свой язык, не так ли? Нельзя ли определить математику как науку, чей предмет изучения совпадает с языком описания этого предмета? При всей привлекательности столь элегантной дефиниции, она не вполне адекватна. Дело в том, что любую формальную систему можно представить бесконечным числом способов, заменяя аксиомы на теоремы. Например, в геометрии Евклида пятым постулатом можно взять теорему о сумме углов треугольника, а постулат о параллельных тогда доказать уже как теорему. Ньютонова механика, как формальная система, допускает, помимо исходной формулировки Ньютона, еще и Лагранжеву и Гамильтонову формулировки, довольно отличные от известного со школы представления в виде трех законов. Формулировки, конкретные описания, весьма различны, но формальная система-то одна и та же. Так что нет, выходит, не совпадают объекты математики с их языком; одни и те же формальные системы допускают различные средства языкового представления. Если формальную систему уподобить бесконечному лабиринту со множеством входов, то всякое её конкретное представление подобно особому входу, дающему возможность исследовать лабиринт, находить связи между его точками. У одного и того же лабиринта, формальной системы, может быть бесконечное число входов, конкретных представлений. Обязательным условием является непротиворечивость: если в рамках одной и той же системы аксиом можно доказать как истинность, так и ложность некоего утверждения, то такая система отвергается. В 1930 году австрийский математик Курт Гёдель доказал две теоремы об арифметике, расширенные позже на формальные системы вообще. Первая теорема гласит, что если формальная арифметика непротиворечива, то она неполна, то есть в ней существует невыводимая и неопровержимая формула. Вторая теорема утверждает, что если формальная арифметика непротиворечива, то доказать это в ее рамках невозможно. Непротиворечивость арифметики, с другой стороны, очевидна на уровне здравого смысла, ибо её аксиомы очевидно истинны. Такое противоречие между второй теоремой Геделя и здравым смыслом показывает, что суждение здравого смысла о непротиворечивости арифметики опирается на нечто большее, чем ограниченные ресурсы самой формальной арифметики. Теорему о неполноте формальных систем можно проиллюстрировать использованной выше аналогией лабиринта: лабиринт формальной арифметики, как и любой достаточно сложной формальной системы, многосвязен: через какие двери ни входи, всегда часть лабиринта будет недостижимой. Эта теорема подчеркивает риск математика, отправляющегося на поиск доказательств: может так случиться, что ни истинность, ни ложность рассматриваемого утверждения доказать в принципе нельзя, оно может оказаться гёделевским.
Тут мы подходим к следующему вопросу, одному из самых важных и интересных. При бесконечности возможных теорем внутри каждой формальной системы, да еще и при бесконечности возможных формальных систем, что же определяет деятельный интерес математика к каким-то определенным вопросам его науки? Вопросов бесконечно, какой же смысл тратить силы, жизнь, на какую-то ничтожную их долю, да еще и с риском ничего не найти? В принципе, тут есть три варианта. Первый из них банален и работает лишь на низких и средних уровнях: математик берется за те задачи, которые он видит как посильные и за которые ему заплатят заинтересованные люди. Такого рода деятельность, хотя социально и доминирующая, не имела, однако же, отношения ни к рождению математики, ни к ее существенному развитию. Та же теорема Пифагора о корне из двух практически бесполезна: на практике как раз всегда можно найти пару целых чисел, чье отношение приблизится к корню из двух с достаточной степенью точности. То, что доказывалось ведущими математиками в течение веков и даже тысячелетий, не имело никакого отношения к запросам народного хозяйства или войны. Математический анализ, развитый Ньютоном и Лейбницем для целей физики, составляет редкое, да и то довольно условное, исключение: небесная механика и сама отнюдь не заботами о народном хозяйстве или войне была движима. Следующая мотивация - это как раз запросы теорфизики, к которым многие крупные математики были очень чутки. Но есть еще и третья мотивация, собственно математическая, которая и ответственна как за рождение, так и за большинство открытий математики: стремление к красоте. Для людей, далеких от математики, не имевших опыта красивых решений ее задач, эта мотивация будет совершенно непонятной, и я не знаю, как ее им пояснить. Тем же, у кого такой опыт был, кто хотя бы раз нашел красивое решение математической задачи, обрадовался этому, тоже объяснять не надо, они знают, о чем речь. Да и вообще, красоту объяснить нельзя, и математическая красота исключения не составляет. Таким образом, неопределимая математическая красота определяет направления развития математики: развиваются лишь те ее области, где особо одаренные математики видят возможности новой красоты или развития старой. Именно стремлением к красоте идейных узоров математика и движима; в этом отношении она подобна искусству. Разница же с искусством в том, что математики не обладают той свободой игры слов, красок или звуков, что предполагает искусство; математики открывают истины, а не создают их. Впрочем, если посмотреть на шедевры искусства как на совершенные выражения той или иной красоты, то и к ним можно применить слово «открытие», скорее чем «создание», и в этом смысле различие между математикой и искусством становится не слишком отчетливым. Может быть, мадонны Боттичелли или Пьета Микеланджело есть, скорее, великие художественные открытия, чем порождения произвольной фантазии художников. Жан Дьюдонне, один из лидеров выдающейся математической группы прошлого века Николя Бурбаки, назвал сборник своих размышлений «Математика -музыка разума», предпослав ей следующий эпиграф: «Нельзя ли описать музыку как математику чувства, а математику как музыку разума? Не одна ли у них душа? (J. J. Silvester, 1864)» [Dieudonne]. Вообще, связь математики и музыки идет от самого отца математики Пифагора, обнаружившего гармонию звучания струн, чьи длины находились в правильно-пропорциональных отношениях. Именно от этого музыкального открытия ведет начало интуиция пифагорейцев и позже платоников о скрытой числовой гармонии вселенной, о вселенной как космосе. Пифагорейское слово космос соединяет в себе смысл порядка как красоты, гармонии; отсюда, кстати, идет и слово косметика.
Хотя математическую красоту и нельзя определить, вычислить, или доказать, она все же допускает некоторые пояснения. Вот одно из них: красивая теорема не может быть банальной, в ней всегда есть удивительное. Удивительной, например, может быть неожиданная простота доказательства, использующего небанальный ход мысли. Контрастируя с бесконечностью возможных цепочек размышлений, с обычно бесконечным числом элементов формальной системы, такая эффектная победа разума демонстрирует его способность побеждать саму бесконечность, что есть атрибут скорее Бога, чем человека. А коли так, то в подобной победе человек ощущает свое личное богоподобие, и ощущает заслуженно.
Удивительным, а потому особо красивым, может быть продуктивный выход цепочки доказательств за пределы исходной формальной системы в иную систему, с добычей там некоего результата и использованием его для исходной задачи. Видный английский математик прошлого века Годфри Харди, написавший книгу «Апология Математика» [Hardy], называл такие сквозные математические теоремы серьезными, подчеркивая связь серьезности и красоты; на эту же связь указывал и Дьюдонне. Школьным примером одного из самых важных и именно серьезных математических открытий является декартова система координат, позволившая универсально связать геометрию и алгебру, фигуры и числа. Стремление к серьезности есть на самом деле стремление к единству математики, которая, в силу этой интуиции, не должна быть россыпью произвольных, не имеющих ничего общего, конструкторов, но единым конструктором, чьи подсистемы обнаруживают связность. Серьезность, таким образом, исключает произвольность задания формальных систем, требуя от новых генетической связи с существующими, притом такой связи, что беременна новой красотой, или хотя бы внушает такую надежду. В качестве примера несерьезной, хотя и весьма увлекательной, формальной системы можно указать на шахматы как пространство задач.
Резюмируя, можно еще раз подчеркнуть, что математика есть поиск прекрасных узоров в мире вечных, универсальных, совершенных умозрительных истин. Эти качества, совершенная истинность и нетленная красота, есть атрибуты Бога как трансцендентного, запредельного этому миру Единого Всеблагого начала, как Он и понимался платониками и позже христианскими теологами. Математика именно к такому Богу подводила и подводит, порождая философские и теологические вопросы о происхождении времени, мира и человека, о сопряжении вечного и временного.
Скажем напоследок несколько слов о связи математики и физики. Ограничусь именно немногим, потому что писал уже не раз об этой связи [Генезис, Мойра, Разоблачения], комментируя философский шедевр Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» [Wigner 1959]. Начну с самого главного: фундаментальные законы природы, открываемые физикой, выражаются элегантными математическими формами. Собственно, именно поэтому их открытие и было возможно, и в этом же направлении с неизбежностью ведется поиск новых законов. Слово «элегантность» здесь весьма нагружено, означая особую минималистическую красоту, соединение простоты с разными типами симметрий, соответствий и инвариантностей, и вдобавок при достаточном богатстве возможных решений; элегантность есть многое в малом. Фундаментальные законы физики не только математически элегантны, но еще и универсальны, очень точны и, наконец, антропны, то есть открыты возможности появления живых, мыслящих, космически мыслящих, существ, что в свою очередь делает законы познаваемыми (discoverable), а вселенную пифагорейской [Генезис].
Почему так, почему фундаментальные законы вселенной познаваемы? Эйнштейн писал, «Вечная тайна мира - его постижимость... Факт постижимости есть чудо» [Einstein 1936]. Люди, плохо понимающие, как реально делается физика, какую жесткую экспериментальную проверку проходят физические гипотезы, сколь сильна конкуренция внутри физического сообщества и высоко стремление опровергнуть, пошатнуть, расширить или сузить принятые фундаментальные теории, такие люди могут впадать в странное но распространенное заблуждение, что физические законы выражаются элегантно просто потому что физикам это нравится, что им так удобно, что они так себя запрограммировали. Особенно часто подобное объяснение связи физики и математики можно слышать из уст людей, имеющих нулевой опыт в физическом познании, но с претензией в нем разбираться и с возможностью формировать общественное мнение - из уст профессиональных философов науки. Увы, в их цеху совсем немного авторов, понимающих хотя бы самое главное в физике. Человечество бы точно выиграло, если примерно 99% процентов трудов философов науки не было бы никогда написано.
Приведенные слова Эйнштейна передают его отношение к познаваемости физических законов как к величайшему чуду, соединяющему человека с Богом. Джеймс Клерк Максвелл, автор классической электродинамики, видел явный знак высшей разумности вселенной в одинаковых спектрах всех молекул одного и того же вещества: такая тождественность уже указывала на один и тот же образец, одну и ту же идею всех молекул, на строгую подчиненность материи идеям, а стало быть, на первичность разума [Maxwell]. Как бы, думаю, обрадовался Максвелл подтверждению своего рассуждения, если бы узнал, что атомарные спектры даже и весьма удаленных от нас космических объектов не только в точности совпадают с земными, но и строго подчинены математически элегантному уравнению Шредингера, не имеющему никаких подгоночных параметров.
Новоевропейская физика начиналась с поиска простых математических принципов за поверхностью явлений природы. Хотя эта идея присутствовала уже у пифагорейцев, ее реализация заставила себя ждать две тысячи лет. Почему-то на всю античность приходится один-единственный математический физик, Архимед (III век до РХ), у которого до самого конца греко-римской цивилизации, т.е. в течение восьми веков, не нашлось хоть мало-мальски заметных последователей. Возможно, причина этому была в низкой ценности исследования материи для тех, кто только и владел математикой, для платоников древности. В системе Платона материя обладает низким статусом; подлинная реальность принадлежит миру идей, а материальные объекты - лишь их неверные тени на стене пещеры. Задача мудрых в таком случае - не погружаться в изучение теней, а выходить на свет, к подлинной реальности. Ученик Платона Аристотель, любивший, однако же, изучать природу более чем математику, бросил тут вызов своему учителю, и его вызов ставил крест на возможностях математики в естествознании. Математика представлялась Аристотелю чем-то слишком простым, чтобы лежать в основе разнообразия и богатства природы. Именно потому физика Аристотеля и сводилась к типологиям, классификациям, раскладыванию по полочкам, что Стагирит, как и его последователи, не верил в связь сухой цифири с богато цветущим и зеленеющим древом жизни. Плодотворный синтез математического Платона и природолюбивого Аристотеля произошел только в христианскую эпоху. Чтобы понять это, вспомним, что библейская история творения завершает каждый его день прославлением природы: и увидел Бог, что это хорошо. Кроме того, созданный по образу и подобию Творца человек наделен в силу этого высочайшим даром совершенствования, роста в понимании природы и самого Бога. Ветхий завет дополняется Новым: согласно платоническому зачину Евангелия от Иоанна, мир сотворен через божественный Логос, в котором также жизнь и свет человеков. Библия, утверждая высшую ценность природы и божественные возможности человека, в то же время во многом перекликалась с платонизмом, давая возможность синтеза с ним. Отцами новоевропейской физики и были библейские платоники, соединявшие в себе библейское сознание богоподобия человека и божественной ценности природы с пифагорейской верой в ее математичность. Именно к таковым относился и Коперник, и гении XVII века - Кеплер, Галилей, Декарт, Лейбниц, Гюйгенс, Ньютон. Прежде чем породить новую науку, библейско-платонический синтез вызревал многие века. В принципе, однако, он мог и вообще не состояться; всякий плодотворный синтез есть чудо своего рода. История показывает, что цивилизации отнюдь не обречены на прогресс, они могут застывать в вечном повторении, могут и деградировать. Цивилизационный прогресс вообще, и прогресс Запада в частности - не выражение неумолимого закона, а чудо. В числе препятствовавших появлению математической физики факторов следует упомянуть утрату на Западе многих греческих текстов, очень медленное возвращение некоторых из них через арабов и, перед самым ее исчезновением, через Византию. Следует также иметь в виду византийский тоталитарный застой, о котором шла речь в предыдущей лекции. Ну и книгопечатание заработало только в конце XV века, а до того книги были весьма дороги и малодоступны. В частности, блистательный труд античного математика Аполлония Пергского о конических сечениях (ок. 200 г. до РХ) появился на Западе лишь в 1566 году. Кеплер, догадавшийся об эллиптичности планетарных орбит, уже в юные годы изучал этот труд, а вот Коперник, десятилетиями пытавшийся подгонять орбиты кругами, об Аполлонии, скорее всего, и не слышал.
В заключение этого размышления о математике еще раз подчеркну самое главное, без чего не может быть понята ни она сама, ни пифагорейская вера в математичность природы, плодом которой является современная техническая цивилизация. Математика занята красивыми сверхчеловеческими узорами идей. Тем, кто увидел эту красоту, изумился её вечному сиянию, естественно верить, что премудрый Создатель не пренебрег ею и в сотворении мира, что именно она и положена в основание природы, которая, как возвещает Вечная Книга, хороша весьма.
[Любищев] А.А. Любищев, «Линии Демокрита и Платона в истории культуры», Алетейя, 2000.
[Ferguson] K. Ferguson, “The Music of Pythagoras”, Walker Publishing, 2008.
[Dieudonne] J. Dieudonne, “Mathematics - The Music of Reason”, Springer, 1998.
[Hardy] G. H. Hardy, “A Mathematician’s Apology”, Cambridge, 1940.
[Генезис] A. & L. Burov, “Genesis of a Pythagorean Universe”, 2015, https://pythagoreanuniverse.com/ , «Двойная проблема законов природы» https://snob.ru/profile/27355/blog/70026 и далее по линкам.
[Мойра] А. & Л. Буров, «Мойра и Илифия Генезиса», 2017, https://snob.ru/profile/27355/blog/121174 .
[Разоблачения] А. Буров, «Тайны физики и их разоблачения», 2016, https://snob.ru/profile/27355/blog/115065 .
[Wigner 1959] E. Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” Comm. on Pure and Appl. Math. 13, pp. 1-14, 1960, https://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html .
[Einstein 1936] Эйнштейн, цит. A. Robinson, Nature, 30 Apr. 2018 https://www.nature.com/articles/d41586-018-05004-4 .
[Maxwell] J. Clerk Maxwell, “The theory of molecules”, Pop. Sci. Monthly, 4, 1874, https://en.wikisource.org/wiki/Popular_Science_Monthly/Volume_4/January_1874/The_Theory_of_Molecules .