Неевклидова геометрия
Из популярных книжек я смутно помнил, что в неевклидовой геометрии сумма углов треугольника отличается от 180° на величину, зависящую от площади, но всегда считал, что это как-то необыкновенно сложно. Оказывается, для сферической геометрии соответствующий факт называется теоремой Жирара и доказывается совсем элементарно (см. тут или тут с подробностями). Сумма углов сферического треугольника в радианах превышает π на величину S/R2.
Можно сказать, именно это мешает передаче поверхности Земли на карте: если сферический треугольник передаётся треугольником, то у него будут неправильные углы. Поэтому приходится либо углы портить, либо отказываться от передачи дуг большого круга отрезками (кратчайший путь между двумя точками на карте будет пролегать не по прямой). Однако, если площадь мала, то это ничаво: уклонение от 180° будет несущественно. (Если треугольник длинненький, то избыток тоже мал: понятно, что там будут два угла, близких к нулю, и один близкий к развёрнутому.)
Подсчитаем же избыток для разных треугольников на этой планете. Расстояния между городами по дуге большого круга ("as the crow flies") можно взять, например, тут. Площадь треугольника можно примерно подсчитать по плоской формуле Герона, а честно по формуле L'Huilier (затрудняюсь это прочитать), приводимой тут (как я понимаю, формула дана для единичного шара, т.е. все длины надо делить на R).
Для треугольника Нижний Новгород-Санкт-Петербург-Киев получаем избыток в 37 угловых минут (причём приближение формулой Герона даёт ошибку в десяток угловых секунд). Думаю, европейскую часть России можно считать плоской.
В треугольнике Лондон-Рим-Санкт-Петербург набегает 2°6′ избытка, причём формула Герона ошибается на минуту, так что Европа всё равно в общем плоская. Если добавить Средиземноморье и посмотреть на треугольник Лондон-Санкт-Петербург-Каир, там набежит почти 5 градусов, это уже что-то.
Чтобы кривизна поверхности проявилась всерьёз, надо выйти за пределы Европы. В треугольнике Лондон-Буэнос-Айрес-Кейптаун избыток почти доходит до 65°, причём Герон даёт только 46 с половиной. И наконец в треугольнике Кейптаун-Бомбей-Сидней избыток составляет около 82°, а это без малого лишний прямой угол.
Так выпьем же за шарообразность.
Можно сказать, именно это мешает передаче поверхности Земли на карте: если сферический треугольник передаётся треугольником, то у него будут неправильные углы. Поэтому приходится либо углы портить, либо отказываться от передачи дуг большого круга отрезками (кратчайший путь между двумя точками на карте будет пролегать не по прямой). Однако, если площадь мала, то это ничаво: уклонение от 180° будет несущественно. (Если треугольник длинненький, то избыток тоже мал: понятно, что там будут два угла, близких к нулю, и один близкий к развёрнутому.)
Подсчитаем же избыток для разных треугольников на этой планете. Расстояния между городами по дуге большого круга ("as the crow flies") можно взять, например, тут. Площадь треугольника можно примерно подсчитать по плоской формуле Герона, а честно по формуле L'Huilier (затрудняюсь это прочитать), приводимой тут (как я понимаю, формула дана для единичного шара, т.е. все длины надо делить на R).
Для треугольника Нижний Новгород-Санкт-Петербург-Киев получаем избыток в 37 угловых минут (причём приближение формулой Герона даёт ошибку в десяток угловых секунд). Думаю, европейскую часть России можно считать плоской.
В треугольнике Лондон-Рим-Санкт-Петербург набегает 2°6′ избытка, причём формула Герона ошибается на минуту, так что Европа всё равно в общем плоская. Если добавить Средиземноморье и посмотреть на треугольник Лондон-Санкт-Петербург-Каир, там набежит почти 5 градусов, это уже что-то.
Чтобы кривизна поверхности проявилась всерьёз, надо выйти за пределы Европы. В треугольнике Лондон-Буэнос-Айрес-Кейптаун избыток почти доходит до 65°, причём Герон даёт только 46 с половиной. И наконец в треугольнике Кейптаун-Бомбей-Сидней избыток составляет около 82°, а это без малого лишний прямой угол.
Так выпьем же за шарообразность.