Понял, что забыл вложить в книги задачи и решения этого года.
Вот здесь https://kpfu.ru/lobachevolymp/2024/problems всё. Результаты (командные и личные) там же, если посмотреть на них все ясно, оставлю без комментариев, первый раз такое, чтоб кто-то все 11 задач решил на ненулевые баллы, причем 9 из них - чистые решения.
Мне очень понравилась задача номер 6 Дамира Абзалилова (изначально там были матрицы второго порядка, и персонаж фильма, смотрящий на вот такое произведение матриц два на два первая с элементами 3, 4, 8, 7 вторая с элементами 7, 2, 4, 9 а произведение 37, 42, 84, 79 с возгласом "Не ожидал я такого от матрицы!"). Дамир заметил, что сомножители коммутируют. Решение там мое. Было еще одно решение через собственные вектора, но его не удавалось довести до конца из-за того, что у матрицы не всегда есть базис из (комплексных) собственных векторов. Потом А. Н. Абызов предложил другое решение: ______ Задача. Если AB = aА+bB для ненулевых a и b, то BA=AB.
Решение. Докажем более общее утверждение о том, что A=f(B), где f является многочленом от B. В частности, F[A]=F[B], где F[A] это алгебра операторов, порожденная A.
Сперва отметим, что $a$ не может быть собственным значением B. Рассуждаем от противного. Если $a$ это собственное значение, то Bv=av, но тогда ABv=Aav=aAv+bav=aAv+bBv. Значит, bav = 0, что дает противоречие.
Из начального равенства имеем, что AB = aA (mod F[B]), тогда AB^n = a^nA (mod F[B]).
Пусть h(x) - это характеристический многочлен B. Тогда суммируя AB^i с соответствующими коэффициентами, имеем Ah(B) = 0. С другой стороны получаем Ah(a) (где h(a) не равно нулю, т.к. $a$ не собственное значение B), а также элемент из алгебры F[B]. Другими словами имеем, что A = 0 (mod F[B]), а это значит, что A=f(B), или является некоторым многочленом от B, а значит и коммутирует с B. _____
Вот здесь https://kpfu.ru/lobachevolymp/2024/problems всё. Результаты (командные и личные) там же, если посмотреть на них все ясно, оставлю без комментариев, первый раз такое, чтоб кто-то все 11 задач решил на ненулевые баллы, причем 9 из них - чистые решения.
Мне очень понравилась задача номер 6 Дамира Абзалилова (изначально там были матрицы второго порядка, и персонаж фильма, смотрящий на вот такое произведение матриц два на два
первая с элементами 3, 4, 8, 7
вторая с элементами 7, 2, 4, 9
а произведение 37, 42, 84, 79
с возгласом "Не ожидал я такого от матрицы!").
Дамир заметил, что сомножители коммутируют.
Решение там мое. Было еще одно решение через собственные вектора, но его не удавалось довести до конца из-за того, что у матрицы не всегда есть базис из (комплексных) собственных векторов. Потом А. Н. Абызов предложил другое решение:
______
Задача. Если AB = aА+bB для ненулевых a и b, то BA=AB.
Решение. Докажем более общее утверждение о том, что A=f(B), где f является многочленом от B. В частности, F[A]=F[B], где F[A] это алгебра операторов, порожденная A.
Сперва отметим, что $a$ не может быть собственным значением B. Рассуждаем от противного. Если $a$ это собственное значение, то Bv=av, но тогда ABv=Aav=aAv+bav=aAv+bBv. Значит, bav = 0, что дает противоречие.
Из начального равенства имеем, что AB = aA (mod F[B]), тогда AB^n = a^nA (mod F[B]).
Пусть h(x) - это характеристический многочлен B. Тогда суммируя AB^i с соответствующими коэффициентами, имеем Ah(B) = 0. С другой стороны получаем Ah(a) (где h(a) не равно нулю, т.к. $a$ не собственное значение B), а также элемент из алгебры F[B]. Другими словами имеем, что A = 0 (mod F[B]), а это значит, что A=f(B), или является некоторым многочленом от B, а значит и коммутирует с B.
_____
Reply
презентации и прочие материалы от Алексея Ракши!!!!!!!
Так что ты прям дважды неправ :-))))
Reply
Leave a comment