Занимательная физика :)
Задача:
Допустим, пешеход подошел к проезжей части. Слева время от времени появляются автомобили. Как переходить дорогу, чтобы вероятность попасть под для него автомобиль была наименьшей?
Предположения простейшей модели:
Автомобиль движется по прямой с постоянной скоростью, его форму сверху можно считать прямоугольной.
Пешеход движется с постоянной скоростью по прямой под некоторым углом относительно перпендикуляра к пути автомобиля.
Обозначения:
a - ширина автомобиля
v1 - скорость автомобиля
v2 - скорость пешехода
x1 - координата автомобиля
x2 - координата пешехода вдоль проезжей части
x01 - координата автомобиляв момент, когда пешеход подошел к краю проезжей части (проезжей частью считаем полосу, которую заметает автомобиль по ходу движения)
x02 - координата пешехода в момент, когда он подошел к проезжей части
alpha - угол, под которым пешеход идет через проезжую часть. отсчитывается от перпендикуляра
Решение:
время, за которое пешеход переходит дорогу - tau=a/(v2cos(alpha
критерий оптимальности выбранного угла - x2(tau)-x1(tau)=max ( x2(tau) < x1(tau) )
x1(tau) = x01 + v1a/(v2cos(alpha
x2(tau) = x02 + v2sin(alpha)a/(v2cos(alpha= x02 + atan(alpha)
x02 - x01 + atan(alpha) - v1a/(v2cos(alpha=max
берем производную по alpha
a(1+tan(alpha)2)-v1/v2a/cos(alpha)2sin(alpha)=0
рашаем полученное уравнение относительно alpha
alpha1 = arctan(v2/v1,v22+v12)(1/2)/v1),
alpha2 = arctan(v2/v1,-v22+v12)(1/2)/v1)
физический смысл имеет только первое решение.
пусть скорость автомобиля - 60 км/ч, скорость пешехода - 5 км/ч
тогда оптимальный угол перехода составит примерно 4.8
Допустим, пешеход подошел к проезжей части. Слева время от времени появляются автомобили. Как переходить дорогу, чтобы вероятность попасть под для него автомобиль была наименьшей?
Предположения простейшей модели:
Автомобиль движется по прямой с постоянной скоростью, его форму сверху можно считать прямоугольной.
Пешеход движется с постоянной скоростью по прямой под некоторым углом относительно перпендикуляра к пути автомобиля.
Обозначения:
a - ширина автомобиля
v1 - скорость автомобиля
v2 - скорость пешехода
x1 - координата автомобиля
x2 - координата пешехода вдоль проезжей части
x01 - координата автомобиляв момент, когда пешеход подошел к краю проезжей части (проезжей частью считаем полосу, которую заметает автомобиль по ходу движения)
x02 - координата пешехода в момент, когда он подошел к проезжей части
alpha - угол, под которым пешеход идет через проезжую часть. отсчитывается от перпендикуляра
Решение:
время, за которое пешеход переходит дорогу - tau=a/(v2cos(alpha
критерий оптимальности выбранного угла - x2(tau)-x1(tau)=max ( x2(tau) < x1(tau) )
x1(tau) = x01 + v1a/(v2cos(alpha
x2(tau) = x02 + v2sin(alpha)a/(v2cos(alpha= x02 + atan(alpha)
x02 - x01 + atan(alpha) - v1a/(v2cos(alpha=max
берем производную по alpha
a(1+tan(alpha)2)-v1/v2a/cos(alpha)2sin(alpha)=0
рашаем полученное уравнение относительно alpha
alpha1 = arctan(v2/v1,v22+v12)(1/2)/v1),
alpha2 = arctan(v2/v1,-v22+v12)(1/2)/v1)
физический смысл имеет только первое решение.
пусть скорость автомобиля - 60 км/ч, скорость пешехода - 5 км/ч
тогда оптимальный угол перехода составит примерно 4.8