Re: непрухаmancunianSeptember 7 2003, 11:52:50 UTC
Спасибо!
Что ж, всё таково, каково оно есть. Тем более что в этом есть сермяжная правда: мультиначии - хорошо, но золотое сечение среди них занимает особое положение.
Я как-то краем уха слышал, что корни любого уравнения третьей степени можно выразить через синусы и косинусы. Но вот найти точное описание этого никак не удается. Но формулы должны быть, поскольку Эрмит вроде сделал такое для 5-ой степени через эллиптические функции, именно по аналогии с тригонометрическими.
Я посмотрел у Клейна в "Лекциях об икосаэдре", что сделал Эрмит. Там речь идёт о преобразовании общего вида уравнения к удобной форме. Для уравнений 5-й степени -- это форма Бринга. Для этого используются эллиптические функции.
То, что предлагаю я, это метод распознавания, когда корни уравнения могут быть выражены через числа весьма специфического вида -- вида cos(2*Pi*k/n), где k,n -- целые. И далеко не всякий многочлен обладает такими хорошими корнями, а только тот, у которого группа Галуа абелева.
Например, x^3+x+1 не такой. У него группа Галуа=S(3) -- неабелева порядка 6.
Нет, на самом деле, вы сделали очень хорошую вещь. Мой большой респект! Во всяком случае я почувствовал, что нелюбимая мною теория Галуа это очень полезная штука.
Я же имел ввиду, что изучение корней полиномов эта какая-то забытая ветка математики, причем забытая незаслуженно.
У меня вот в дипломе появлялось уравнение четвертой степени, коэффициенты которого зависели от кучи функций и параметров. При выражении корней с помощью Mathematica было выдано несколько экранов. Что-то сделать с этим выражением дальше было невозможно, посему мне пришлось вернутся на один шаг назад и работать только с квадратным уравнением, корни которого можно выразить и проанализировать.
Вот с этого момента у меня и есть интерес к возможности выражения корней третей и четвертой степени через что-то еще, не обязательно рациональное. К сожалению пока конкретики не встречалось.
и опыт, сын ошибок трудных...ignatSeptember 26 2003, 19:30:01 UTC
Вы правы! Спасибо! Уже исправил. К счастью, менять пришлось немного. :-)
Кстати, Вы, часом, не знаете конструктивного доказательства теоремы Кронекера-Вебера? По сути дела, мой алгоритм тупо перебирает все подходящие по группе Галуа циклотомические поля. Если бы мы могли вычислить явно кондуктор (т.е. степень первообразного корня) поля разложения нашего многочлена, то можно было бы обойтись без перебора.
Re: и опыт, сын ошибок трудных...posicSeptember 27 2003, 06:13:32 UTC
Не знаю... Может быть, надо локально смотреть. В полях p-адических чисел, то-се. Как я понимаю, расширение поля Q корнями m-й степени из 1 разветвлено ровно в тех простых, которые делят m. Так что достаточно вычислить дискриминант нашего расширения полей. Но как это правильно делать, я тоже не знаю.
Но, может быть, точно вычислять его и не обязательно -- если найти просто какое-нибудь число, которое на него делится, и перебирать только подполя такого кругового поля, уже будет экономия. Для этого достаточно привести наше уравнение к виду с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1 и посчитать дискриминант получившегося многочлена. Вроде так.
Для уравнений третьей степени можно предложить упростить критерий: дискриминант должен быть полным квадратом. А вообще ситуация любопытная, спасибо за расследование. Возможно, Вам пригодится такой пример:
Comments 13
Кстати, для "фракталов мультиначчи" соответствующее уравнение будет
x - xm = 1/3, m≥4.
Как с ним? Было бы здорово, если бы тоже какие-нибудь простые косинусы вылезли... что говорит Maple по поводу его группы Галуа?
Reply
Reply
Что ж, всё таково, каково оно есть. Тем более что в этом есть сермяжная правда: мультиначии - хорошо, но золотое сечение среди них занимает особое положение.
Reply
Reply
То, что предлагаю я, это метод распознавания, когда корни уравнения могут быть выражены через числа весьма специфического вида -- вида cos(2*Pi*k/n), где k,n -- целые. И далеко не всякий многочлен обладает такими хорошими корнями, а только тот, у которого группа Галуа абелева.
Например, x^3+x+1 не такой. У него группа Галуа=S(3) -- неабелева порядка 6.
Reply
Я же имел ввиду, что изучение корней полиномов эта какая-то забытая ветка математики, причем забытая незаслуженно.
У меня вот в дипломе появлялось уравнение четвертой степени, коэффициенты которого зависели от кучи функций и параметров. При выражении корней с помощью Mathematica было выдано несколько экранов. Что-то сделать с этим выражением дальше было невозможно, посему мне пришлось вернутся на один шаг назад и работать только с квадратным уравнением, корни которого можно выразить и проанализировать.
Вот с этого момента у меня и есть интерес к возможности выражения корней третей и четвертой степени через что-то еще, не обязательно рациональное. К сожалению пока конкретики не встречалось.
Reply
А задачка интересная.
Reply
Кстати, Вы, часом, не знаете конструктивного доказательства теоремы Кронекера-Вебера? По сути дела, мой алгоритм тупо перебирает все подходящие по группе Галуа циклотомические поля. Если бы мы могли вычислить явно кондуктор (т.е. степень первообразного корня) поля разложения нашего многочлена, то можно было бы обойтись без перебора.
Reply
Но, может быть, точно вычислять его и не обязательно -- если найти просто какое-нибудь число, которое на него делится, и перебирать только подполя такого кругового поля, уже будет экономия. Для этого достаточно привести наше уравнение к виду с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1 и посчитать дискриминант получившегося многочлена. Вроде так.
Reply
3 2
2 x - x - 5 x + 2 = 0
корни такие:
cos(pi/31)+cos(15pi/31)+cos(23pi/31)+cos(27pi/31)+cos(29pi/31)
cos(3pi/31)+cos(7pi/31)+cos(17pi/31)+cos(19pi/31)+cos(25pi/31)
cos(5pi/31)+cos(9pi/31)+cos(11pi/31)+cos(13pi/31)+cos(21pi/31)
Reply
Reply
Reply
Видимо, вот так: http://math.stackexchange.com/a/31600/152
Reply
Leave a comment