Вопрос про ультрафильтры

[posic]

Какую логическую силу имеет утверждение о существовании для любого кардинала каппа множества X (произвольной мощности) вместе с каппа-аддитивным ультрафильтром на нем? Это как существование измеримого кардинала или это доказуемо в ZFC?

Comments

[oblomov_jerusal]

По-моему, существование нетривиального счетно-аддитивного ультрафильтра равносильно существованию измеримого кардинала.

[flaass]

ага

[posic]

А почему?

[posic]

Прочитал у Chen, пользуясь "search inside" на amazon.com. Там доказывается, что если каппа -- максимальный кардинал, такой что данный ультрафильтр D каппа-аддитивен (т.е., замкнут относительно пересечений семейств мощности строго меньшей каппа), то кардинал каппа измерим.

[marina_p]

У вас тут пропущено условие, что каппа бесконечнен :-)

Вообще странная формулировка. Что значит "максимальный кардинал, такой что ..."? В ограниченном сверху отрезке кардиналов совсем не обязательно есть максимальный. Или там доказывается, что для данного условия максимальный кардинал существует?
По-моему, та формулировка (из Куратовского-Мостовского), которую я ниже привела, лучше.

[posic]

У меня подразумевается терминология, в которой счетный кардинал измерим. Да, конечно, там доказывается, что для данного условия максимальный кардинал существует.

[marina_p]

"У меня подразумевается терминология, в которой счетный кардинал измерим

Ммм... И как же при этом он (измеримый кардинал) определяется?
Со стандартной терминологией, где кардинал измерим, если на нём существует нетривиальная сигма-аддитивная двузначная мера, это не согласуется.

[posic]

Кардинал каппа называется измеримым, если на нем существует нетривиальный каппа-аддитивный (т.е. замкнутый относительно пересечений мощности строго меньшей каппа) ультрафильтр. Это стандартная терминология.

[marina_p]

Нет-нет. Это не стандартная терминология, более того, она бессмысленна, поскольку при таком определении измеримых кардиналов не существует вовсе. Возьмите для каждого x \in \kappa множество M_x = \kappa-{x}. Каждое из этих множеств принадлежит ультрафильтру, но их пересечение пусто.

[posic]

Я же написал: замкнутый относительно пересечений мощности строго меньшей каппа.

См. http://en.wikipedia.org/wiki/Measurable_cardinal
Although it follows from ZFC that every measurable cardinal is inaccessible <...>

[marina_p]

Да, я это уже поняла.

Ссылка на Википедию меня не убеждает в ситуации, когда я знакома с определением данного термина (существенно иным) по книгам классиков данной науки. Возможно, конечно, что с тех пор терминология поменялась (хотя не очень понятно, с чего бы? почему просто не назвать новое понятие новым словом, а не использовать старое, задействованное совсем для другого), но хотелось бы увидеть это определение в стандартном учебнике.

[posic]

Это не "совсем другое понятие". Просто вы называете "измеримым" то, что я называю "не меньше первого измеримого".

И ссылка на Википедию не убеждает в чем -- в стандартности данной терминологии? Ну, оставайтесь неубежденной.

[marina_p]

вы называете "измеримым" то, что я называю "не меньше первого измеримого"

Приверно так: моё "измеримое" -- это любое, не меньшее первого несчётного вашего "измеримого".

В принципе, "ваше" определение чем-то удобнее (несёт больше информации о кардиналах). Но вот то, что ему удовлетворяет \sigma, мне не нравится. Ну и то, что раньше этим словом называлось другое. Как-то нехорошо на ходу менять названия.

"ссылка на Википедию не убеждает в чем -- в стандартности данной терминологии?"

Ага :-) Мало ли что там в Википедии написано.
Книжки сейчас попробую посмотреть.

[posic]

Такова участь названий, на ходу меняться. Терминология должна быть удобной.

сигма -- это нулевой измеримый кардинал :)

Кажется, в совсем уж стандартной современной терминологии измеримым называется несчетный кардинал каппа с каппа-аддитивным ультрафильтром на нем. Но бывает удобно считать и счетный кардинал измеримым, каковым он по существу является.

[marina_p]

Да, в Шенфилде счётный кардинал не называется измеримым.

[marina_p]

Пардон, я опять забыла, что у вас -- "мощности строго меньшей каппа". Тогда мой пример не подходит.

При вашем определении получается, что "измеримым кардиналом" является первый "измеримый кардинал" в моём понимании (моё определение -- из Куратовского-Мостовского, например. Ну и не только оттуда).

А что значит "стандартная терминоология"? Где такое определение даётся?