Подробнее о коте Шредингера

[rotozeev]

Этот пост будет попыткой еще раз показать отличие квантовых вероятностей от классических. Надеюсь, что эта заметка сможет помочь какому нибудь третьекурснику разобраться в дираковских <бра| и |кет> обозначениях.



Итак, пусть имеется некая квантовая система (например, атомное ядро), которая может находиться в двух разных состояниях (|распалось>, |еще_не_распалось>). Основной постулат квантовой механики гласит о том, что если система может находиться в двух указанных выше состояниях, то она может находиться и в состоянии a|распалось> + b|еще_не_распалось>, где a и b - численные коэффициенты (возможно, комплексные). Если эта квантовая система посредством некоего устройства (ампулы с ядом) связана с котом так, что одно из состояний системы соответствует тому, что устройство не сработало и кот жив, а другое состояние системы отвечает тому, что кот мертв (ядро распалось и ампула разбилась), то и кот, таким образом, вместе запертой вместе с ним квантовой системой находится в двух состояниях одновременно. Состояние кота
может быть:

1)
- кот живой
2)
- кот мертвый

и, как было указано выше, кот может быть одновременно живым и мертвым:

(1)  

Где,
и
- некие комплексные числа. При этом, при «открытии коробки» (измерении состояния кота) мы обнаружим его живым с вероятностью
и мертвым с вероятностью
Естественно, что
. Весь этот пост посвящен тому, чтобы объяснить разницу между утверждениями:

1) Измерение состояния кота даст результат
с вероятностью
и
с вероятностью
.
2) Кот в закрытой коробке находится в состоянии:
с вероятностью
или
с вероятностью
.


Быстрый ответ для тех, кому лень продираться пусть и через простую, но математику.

В первом случае («квантовая вероятность») мы можем (хотя бы чисто теоретически) измерить состояние кота в другом базисе так, чтобы отвечать не на вопрос «состояние кота живой или мертвый?», а отвечать на вопрос типа «состояние кота полуживой или полумертвый?». И если мы правильно подберем вопрос (степень полуживости или полумертвости), то мы будем получать результат со 100% вероятностью - никакой случайности в результатах измерения не останется. Во втором же варианте никаким изменением постановки вопроса добиться исчезновения случайности невозможно - это суть классическое незнание и классические вероятности.

А теперь, информация для тех, кому не лень и для вышеупомянутых третьекурсников

1. Квантовый кот.



Каждому состоянию кота $\ketr{cat}, \ketr{alive}, \ketr{dead}$ можно сопоставить, как бы это выразиться - «отражения» этих состояний: $\brar{cat}, \brar{alive}, \brar{dead}$. Как, скажем, каждому человеку можно сопоставить его отражение в зеркале и наоборот. Но в нашем случае, действуют следующие математические правила взаимодействия состояний и их «отражений» (или «отражений» других состояний). Если умножить отражение какого то состояния на другое состояние, то получится какое то число:
$$\brar{cat}\times\ketr{alive} = c$$
Здесь число $c$ это результат умножения «отражения» состояния $\ketr{cat}$ на состояние $\ketr{alive}$. Значок умножения $\times$ принято не писать:
$$\braketr{cat|alive} = c$$
«Состояние» и число - это объекты разной природы, но это не должно смущать, ведь из двух векторов точно также можно получить обыкновенное число путем скалярного умножения. Если мы поменяем местами «отражение» и состояние в приведенном выше примере, то число изменится на комплексно-сопряженное (звездочка):
$$\braketr{alive|cat} = c^*$$
А если мы перемножим состояние с собственным «отражением», то получим не просто какое то число, а единицу:
\begin{equation}\label{norm_1}
\braketr{alive|alive} =\braketr{dead|dead}=\braketr{cat|cat}=1
\end{equation}
А если перемножим состояние и отражение «ортогонального» состояния, то получим ноль:
\begin{equation}\label{norm_0}
\braketr{alive|dead} =\braketr{dead|alive}=0
\end{equation}
В этом смысле «жизнь» и «смерть» ортогональны друг другу.

Минуточку, а как расписать подробнее вид «отражения» для состояния $\ketr{cat}$, зная как оно зависит от состояний $\ketr{alive}$ и $\ketr{dead}$? - очень просто:
Если
$$\ketr{cat}=a\ketr{alive} + b\ketr{dead},$$
то
$$\brar{cat}=a^*\brar{alive} + b^*\brar{dead}.$$
Перемножить состояние $\ketr{cat}$ (??) с собственным «отражением» тоже легко:

\begin{multline*}
\braketr{cat|cat}=\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\brar{alive} + b^*\brar{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ketr{alive} + b\ketr{dead}\right)=\\
= \vphantom{\frac{1}{1}}a^*a\braketr{alive|alive} + a^*b\braketr{alive|dead} + b^*a\braketr{dead|alive} + b^*b\braketr{dead|dead} = \\
= \vphantom{\frac{1}{1}}a^*a1 + 0 + 0 + b^*b1 = |a|^2 + |b|^2 = 1
\end{multline*}
При этом были использованы соотношения (??), (??).

Итак, если состояние кота в закрытой коробке квантовое и равно $\ketr{cat}$, то вероятность $P_{alive}$ при открытии коробки обнаружить кота в состоянии «живой» $\ketr{alive}$ равна:
\begin{equation}\label{probabil_1}
P_{alive}=|\braketr{cat|alive}|^2=|\braketr{alive|cat}|^2=\braketr{cat|alive}\braketr{alive|cat}\leq 1
\end{equation}
При этом вероятность $P_{cat}$ при открытии коробки обнаружить кота в его же текущем состоянии $\ketr{cat}$ равна:
$$ P_{cat}=|\braketr{cat|cat}|^2=1 $$
Если в закрытой коробке лежит мертвый кот, т.е. $\ketr{cat}=\ketr{dead}$, то согласно формуле (??), вероятность в этом случае обнаружить его живым при открытии коробки равна:
$$ P_{alive}=|\braketr{cat|alive}|^2=|\braketr{dead|alive}|^2=0 $$

А если состояние кота не $\ketr{cat}=\ketr{alive}$, а $\ketr{cat}=-\ketr{alive}$, то, как легко увидеть из формулы (??), вероятность обнаружить кота живым - по прежнему 100%. Общий минус перед состоянием ни на что не влияет.

Представим себе, что из-за взаимодействия внутри коробки с квантовой системой состояние кота стало таким:
\begin{equation}\label{cat05}
\ketr{cat} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ketr{alive} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ketr{dead}
\end{equation}
Легко проверить, что корни из двойки взялись не просто так, а для того, чтобы все было согласовано с данными выше определениями и постулатами. Действительно:
$$
\braketr{cat|cat}=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 + \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1
$$
Вероятности обнаружить кота живым или мертвым равны 1/2. Используем указанное выше правило (??) и найдем вероятность обнаружить кота в состоянии (??) живым:
\begin{multline*}
P_{alive}=|\braketr{cat|alive}|^2=\left|\left(\vphantom{\frac{1}{1}} \frac{1}{\sqrt{2}}\brar{alive} + \frac{1}{\sqrt{2}}\brar{dead} \right)\ketr{alive}\right|^2= \\
= \left| \frac{1}{\sqrt{2}}\braketr{alive|alive} + \frac{1}{\sqrt{2}}\braketr{dead|alive} \right|^2 = \left| \frac{1}{\sqrt{2}}1 + \frac{1}{\sqrt{2}}0 \right|^2 = \\
= \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 = \frac{1}{2}
\end{multline*}

Введем следующие обозначения «полуживого» ($\ketr{half\,life}$) и «полумертвого» ($\ketr{half\,dead}$) кота:
\begin{equation}
\ketr{half\,life} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ketr{alive} + \frac{1}{\sqrt{2}}\ketr{dead}
\end{equation}
\begin{equation}
\ketr{half\,dead} = \frac{1}{\sqrt{2}}\ketr{alive} - \frac{1}{\sqrt{2}}\ketr{dead}
\end{equation}
Легко убедиться, что состояния $\ketr{half\,life}$ и $\ketr{half\,dead}$ ведут себя также как и $\ketr{alife}$ и $\ketr{dead}$ (см. формулы (??), (??) ):
\begin{equation}
\braketr{half\,life|half\,life} = \braketr{half\,dead|half\,dead} = 1
\end{equation}
\begin{equation}
\braketr{half\,life|half\,dead} = \braketr{half\,dead|half\,life} = 0
\end{equation}
То есть, состояниями «полуживой» и «полумертвый» точно так же можно описывать кота, как и состояниями «живой» и «мертвый». Точно также, как в случае, когда состояние кота является «мертвый», его невозможно обнаружить в состоянии «живой», так и теперь, в случае, если состояние кота «полуживой», то имеется нулевая вероятность обнаружить его в состоянии «полумертвый». Однако, если состояние кота «мертвый», то вероятность обнаружить его в состоянии «полуживой» (или «полумертвый») равна 1/2. Если же кот находится в состоянии «полумертвый», и мы не будем измерять «жив кот или мертв», а будем измерять «полужив кот или полумертв», то мы со 100% вероятностью получим ответ «полумертв». В этом и заключается суть «квантовых» вероятностей: одно и то же состояние может давать либо разные результаты при измерениях с какими-то вероятностями, либо же один предсказуемый результат, если измерять специально подобранную величину.

Для лучшего понимания предлагаю посмотреть на картинку:



2. Обычный кот с налетом квантовости.



Въедливый читатель может задуматься, а почему это он «умножает» состояния и «отражения» так, что слева всегда идет «отражение», а состояние справа? А если написать наоборот, то что будет? Напишем наоборот:
$$
\hat C = \ketr{dead}\brar{alive}
$$
Вышеуказанный объект $\hat C$ это не число, не состояние кота и не «отражение», а оператор, который можно приписать рядом с состоянием или «отражением» так, чтобы изменить состояние или «отражение» на другие. Например, было состояние кота живой $\ketr{alive}$ и на него подействовали оператором $\hat C$, так что получилось:
$$
\hat C\ketr{alive} = \ketr{dead}\brar{alive}\;\ketr{alive} = \ketr{dead}\braketr{alive|alive} = \ketr{dead}\,1 = \ketr{dead}
$$
Вот так, оператор $\hat C$ убил кота (подумайте, как записать оператор, который будет наоборот «оживлять» кота?). Можно задастся вопросом, а почему мы прилепили $\hat C$ слева от состояния $\ketr{alive}$, а не справа? Не так:
$$
\ketr{alive}\hat C = \ketr{alive}\;\ketr{dead}\brar{alive}
$$
Дело в том, что если так написать, то мы получим два идущих подряд состояния: $\ketr{alive}\;\ketr{dead}$, а это в данной науке принимается как состояния двух разных котов. Когда мы описываем одного кота, то состояния, должны чередоваться с отражениями в произведениях. Легко понять, что оператор $\hat C$ может менять не только состояния, но и «отражения». При этом оператор $\hat C$ записывается справа от «отражения», на которое он действует:
$$
\brar{dead}\hat C = \brar{dead}\;\ketr{dead}\brar{alive} = \braketr{dead|dead}\brar{alive} = 1\, \brar{alive} = \brar{alive}
$$
Заметьте, тот же самый оператор $\hat C$, который «убивал кота», «оживляет» «отражение» мертвого кота, превращая его в отражение живого.

Важно: оказывается, состояния можно описывать не только вот такими векторами $\ketr{cat}$, но и операторами. Например, состоянию $\ketr{cat}$ (из формулы (??)) соответствует такой оператор:
$$
\hat \rho = \ketr{cat}\brar{cat}
$$
Оператор $\hat\rho$ называется «матрица плотности». Ну да, скажете вы, что тут такого, приписали к состоянию его же «отражение» и получился оператор. И что дальше? А дальше можно заметить интересное свойство $\hat\rho$:

\begin{multline}\label{rho_trace}
\Tr{\hat\rho} = \brar{dead}\hat\rho\ketr{dead}+ \brar{alive}\hat\rho\ketr{alive} = \\
\\ = \brar{dead}\ketr{cat}\brar{cat}\ketr{dead}+ \brar{alive}\ketr{cat}\brar{cat}\ketr{alive} = \\
= \brar{dead}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ketr{alive} + b\ketr{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\brar{alive} + b^*\brar{dead}\right)\ketr{dead} + \\
+ \brar{alive}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ketr{alive} + b\ketr{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\brar{alive} + b^*\brar{dead}\right)\ketr{alive} = \\
= \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\braketr{dead|alive} + b\braketr{dead|dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\braketr{alive|dead} + b^*\braketr{dead|dead}\right) + \\
+ \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\braketr{alive|alive} + b\braketr{alive|dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\braketr{alive|alive} + b^*\braketr{dead|alive}\right) = \\
= \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\,0 + b\,1\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\,0 + b^*\,1\right) + \\
+ \left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\,1 + b\,0\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\,1 + b^*\,0\right) = \\
= b^*b + a^*a = |a|^2+|b|^2=1
\end{multline}

Точно так же, как и в случае формулы (??) высчитывать вероятности обнаружения кота живым в результате измерения его состояния. Итак, если мы знаем состояние кота, заданное матрицей плотности $\hat\rho$ , то вероятность найти кота живым, в состоянии $\ketr{alive}$ равна:
\begin{multline}\label{rho_probabil}
P_{alive} = \Tr{(\hat\rho\ketr{alive}\brar{alive})} = \\
=\brar{dead}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}\hat\rho \ketr{alive}\brar{alive}\right)\ketr{dead}+ \brar{alive}\left(\vphantom{\frac{1}{1}}\hat\rho \ketr{alive}\brar{alive}\right)\ketr{alive} = \\
= \braketr{dead|\hat\rho|alive}\braketr{alive|dead} + \braketr{alive|\hat\rho|alive}\braketr{alive|alive} = \\
= \braketr{dead|\hat\rho|alive}\, 0 + \braketr{alive|\hat\rho|alive}\, 1 = \\
= \brar{alive}(\ketr{cat}\brar{cat})\ketr{alive} = \braketr{alive|cat}\braketr{cat|alive} = |\braketr{cat|alive}|^2
\end{multline}
Результат получился в точности, как в формуле (??). Ну и зачем было все это нагромождать, если результат получается таким же? А затем, что с помощью матрицы плотности можно описывать не только квантовые состояния кота, но и классические. Например, мы хотим описать состояние кота, которому соответствует фраза:

Кот в закрытой коробке находится в состоянии: $\ketr{alive}$ с вероятностью $|a|^2$ или $\ketr{dead}$ с вероятностью $|b|^2$

Это состояние не квантовое, а классическое. Кот в коробке не жив и мертв одновременно, про что рассказывалось ранее, а вполне обыденно жив или мертв, только с какой то вероятностью. Вот какая матрица плотности соответствует этому состоянию:
$$
\hat\rho = |a|^2\ketr{alive}\brar{alive} + |b|^2\ketr{dead}\brar{dead}
$$
Сравните это выражение с матрицей плотности для квантового кота $\ketr{cat}\brar{cat}$ (формула (??)):
\begin{multline}
\hat\rho = \ketr{cat}\brar{cat} =\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a\ketr{alive} + b\ketr{dead}\right)\left(\vphantom{\frac{1}{1}}a^*\brar{alive} + b^*\brar{dead}\right)=\\
= |a|^2\ketr{alive}\brar{alive} + ab^*\ketr{alive}\brar{dead} + ba^*\ketr{dead}\brar{alive} + |b|^2\ketr{dead}\brar{dead}
\end{multline}
Видите, в квантовом случае матрица плотности содержит больше слагаемых, чем в классическом. Хотя, вероятность увидеть кота в состоянии $\ketr{alive}$ одинакова и равна $|a|^2$ для двух, описанных выше примеров. Разница состоит в том, что если в случае квантового кота можно было (хотя бы умозрительно) проводить измерение не в базисе живой/мертвый, а в базисе полуживой/полумертвый, и таким образом можно было избавиться от случайности в результатах. А в в случае классического, не квантового кота, такой финт не пройдет - вероятности и случайности никуда не денутся.

Автоматически перепечатано с моего блога rotozeev.net.