Очень древнегреческое
А знаете, как древние греки квадратные корни вычисляли? До Ньютона было ещё далеко, поэтому любые "квадраты" мыслились как вполне себе "материальные" плошшадЯ. И самая удобная фигура для вычисления площади, конечно, прямоугольник. Стало быть, найти корень из S для древнего грека значило найти такую сторону квадрата x, что x*x=S. Цель ясна, но как к ней идти?
Итак, дана площадь S. Пусть это будет площадь некоторого прямоугольника. Если мы каким-то образом преобразуем его в квадрат той же площади, то длина стороны этого квадрата и будет ответом. Ну, хорошо, пусть более длинная (для определённости, вообще же это без разницы) сторона этого прямоугольника имеет длину x0. Тогда длина другой (короткой) стороны, очевидно, равна S/x0. Будем шаг за шагом "оквадрачивать" наш прямоугольник, для чего нам нужно постепенно укорачивать длинную сторону (но без того, чтобы она стала короче искомой стороны квадрата) и удлинять короткую (с аналогичным ограничением, но "сверху"), сохраняя при этом площадь фигуры. Как это осуществить?
А давайте возьмём за новое значение длинной стороны среднее арифметическое длин текущих сторон!
x1 = (x0 + S/x0) / 2
В самом деле, новая "длинная" сторона короче (не длиннее, во всяком случае) прежней, но не короче прежней короткой. Тогда новая длина короткой стороны, из условия сохранения площади, будет S/x1. Повторим процедуру:
x2 = (x1 + S/x1) / 2
и т.д, и т.д., до достижения нужной точности. С каждым шагом алгоритма длины сторон прямоугольника "стягиваются" к длине стороны квадрата, а общая формула для (n+1)-го приближения будет
xn+1 = (xn + S/xn) / 2
А за нулевое приближение (x0) можно брать любое положительное число, хотя бы само значение S.
Гениально! "Телесно" (что для греков было важно)! И чертовски эффективно даже сегодня (алгоритм быстро сходится).
[ original post ] [
comments ]