Константин Викторович Мануйлов прислал свою заметку
Среди прочего в ней решение теоремы знаменитой Ферма. Но вот беда, то, что в труде Божественного Константина Викторовича все расставлено и разъяснено, я не сомневаюсь. Но это не летописное о, например, Максимилиане Волошине, а математическое сочинение Кости. В нем имеются алгебраические формулы и математические построения. А я их ставить в ЖЖ не умею. Меж тем, задача, поставленная мне Костей, проста и ясна:
-- Покажи своим алгебраистам.
Помятуя историю с Григорием Яковлевичем Перельманом, решил исполнить волю Кости так. Выставлю здесь кусочки пространные без алгебры. А алгебру вышлю по требованию лиц, которых заинтересует.
От себя добавлю пожелание другу, корешку и учителю Константину Викторовичу Мануйлову: Костя! Выздоравливай!
К.В.Мануйлов.
Об отличии восприятия математиками XVII столетия геометрии эллинов от ее же восприятия их коллегами в более позднее время
Цель нашего краткого исторического экскурса состоит в выделении из ныне существующей «математической какофонии», заглушившей почти все чистые тона, извлеченные из инструмента, именуемого Природой, замечательными эллинскими музыкантами (творцами) (ибо каждого математика наиболее естественно соотнести с творцом стиха или музыки), и восстановлении посредством обращения к истории (см., например, [1-3]) полноты звучания традиционной ветви, взлетающей подобно полифонической музыкальной фразе Баха несущей в перекличке внутренних созвучий проникновенность чистого пламени Моцарта, рожденной из теории классических конических сечений в процессе ее развития, над которой работали наиболее яркие (композиторы) геометры XVII - XIX века, ведомые безошибочным внутренним зрением и слухом (непрерывностью взора геометра (см. Ж.В.Понселе [4])), а именно, над теорией абелевых функций {Adversus Matematicus - против математиков, полагающих, что можно изучать эту науку в переложениях переложений. Так, например, бывший меломаном, очень симпатичный человек Е.М.Полищук, автор ряда математических трудов и нескольких исторических, в частности, о С. Ли, писал в последнем: «Методы нового времени, конечно, наложили свой отпечаток на эту дисциплину радикально преобразив её сравнению с прошлым: топология, функциональный анализ, меры на группах, современная алгебра… Ли совершенно не узнал бы теперь свою теорию (хорошо ли это?). Но наука этим и отличается от искусства, например, от музыки: (что) произведениями Баха, Шопена, Рахманинова… мы продолжаем наслаждаться в их первозданном виде.» (см. [5], стр.7), тогда как, по мнению Е.М.Полищука, математику, в частности, геометрию эллинов, теорию абелевых функций Б.Римана и теорию групп С.Ли можно изучать только по трудам современных авторов, подавляющее большинство которых совершенно забыло о том, чему была посвящена данная область математики (или теоретической механики) в момент своего создания, т.е., на самом деле, не знают - не слышат ее, ибо она похоронена, заглушена какофонией, отделена от изучающего её человека многослойными перекрытиями, состоящими, по преимуществу, из полуистин}.
Мы же полагаем, что исключительно лишь чистые тона могут поднять неофита до общения с математиками являвшимися авторами основополагающих оригинальных трудов, до общения с Богом, ибо настоящая наука как и поэзия есть творчество возможное только через общение с Богом. Поэтому отправной точкой нашего обзора является Эллада, в которой родилась геометрия, известная нам непосредственно по трудам геометров Александрийской школы, а именно, по «Началам» Эвклида [6], трактатам Архимеда [7] и «Восьми книгам конических сечений» Аполлония Пергского [8], etc, опиравшимся на многовековую предшествующую им традицию, восходящую к Пифагору (акмэ 580 до Р.Х.), Фалесу[1,2], задаче об удвоении куба [1,2], о чем свидетельствуют дошедшие до нас фрагменты из «Начал» Гиппократа Хиосского [1,2], этюды Архита Тарентского [1,2], математические спекуляции, вплетенные в диалоги Платона [9], и труды Аристотеля [10], которые вместе с построениями Парменида, Зенона Элейского [11] и трудами их продолжателей (Прокл Диадох [12]) привели к созданию философских оснований математики. Математика эллинов состояла из геометрии, исчисления пропорций, теории чисел и геометрической алгебры, поскольку, подобно тому, как эллины не сумели создать ни в эпоху высокой классики, ни в эллинистический период художественную прозу, отличную от текстов логографов и философов - слишком было велико влияние поэзии - Гомер, Гесиод, Сафо, Пиндар [13-15], яркого созвездия трагиков и поэтов эллинской и эллинистической школ [16] etc, на которой воспитывались десятки и даже сотни поколений - они не успели создать и алгебры, в рамках которой должно (могло бы) было возникнуть формализованное представление о взаимной связи двух (или более) величин, являющееся прообразом понятия функции, несмотря на «Аналитики» Аристотеля [17], ибо всё, начиная с поэтических начал Пифагорейцев (цитата), основного тезиса Платоновой Академии [18], и, кончая трудами Эвклида, Архимеда, Аполлония Пергского etc было пронизано, как говорил Клебш, «ощущением радости формы», пространственного образа, Теофанией. Это сказалось во всем, начиная от происхождения основных начальных терминов, ???????-зрелище, ?????? …-(см. платоново - ??????? - умозрение или мышление через узрение [19]) до завершения теории конических сечений общего вида (произвольных алгебраических кривых), синтезированных Ньютоном из теории классических конических сечений [20,21].
Ввиду того что греческая математика начиналась с геометрии и теории пропорций, первоначально определяемые последними, уравнения возникли в результате изучения отношений, связующих между собой различные элементы треугольников (а затем уже многоугольников и многогранников (см. [22], стр. 77 - «Все поверхности разные, но все они состоят из треугольников, все тела разные, но все они состоят из пирамид» (ср. теорему симплициальной аппроксимации [23], стр.)), которые стали базисными и привели к построению метода решения квадратных уравнений, поскольку он восходит к общему случаю теоремы Пифагора - теореме косинусов. Этот метод привел в дальнейшем к созданию методов решения уравнений третьей и четвертой степени.
На этом пути сформировались в дальнейшем и начала алгебры, хотя основой для определения алгебраических операций и уравнений послужили соотношения между геометрическими величинами и действия, производившиеся над ними (см. геометрическая алгебра у Аполллония [8]).
Такие задачи содержались в «Началах» Eвклида, трактатах Архимеда, у Аполлония и Паппа [24], но их наибольшее количество мы находим у Диофанта Александрийского [25].
Хотя последнего принято считать алгебраистом XVII столетия он является таковым исключительно в сравнении с Архитом Тарентским, Евклидом, Архимедом и Аполлонием, ибо, по сути, все постановки задач, содержащихся в его «Арифметике», являются в основе своей геометрическими, равно как и сами решения, но там где эллины IV-I веков до Р.Х. необходимо обращались бы к чертежам и получили бы решение непосредственным геометрическим построением, Диофант строит его словесно, описывая соотношения между числовыми величинами, каковые, в силу исходной геометрической постановки, хотя и являются значениями длин или соотношений длин отрезков сторон треугольников, тем не менее, в ходе изложения освобождены от этих признаков.
Именно это позволяет считать его, на фоне упомянутых представителей классической геометрии, математиком более близким к коссике.
...
Следовательно, геометрия эллинов опиралась не только на целые и дробные числа, но, благодаря теории пропорций, непосредственно на всю мыслимую совокупность чисел, хотя возможно, что открытие иррациональных отношений - несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной было для пифагорейцев в некоторой степени неожиданным, но не могло ввергнуть греческую геометрию в кризис, как это полагают некоторые современные историки [2, 28].
Косвенным, но чрезвычайно весомым подтверждением нашего заключения является с одной стороны построение эллинами конических сечений, имеющих мнимые оси, - гипербол, их чисто мнимых ветвей [8] и предопределённая теорией пропорций возможность построения изначально чисто мнимых конических сечений, извлечённых впервые из небытия в XIX столетии Ж.В.Понселе [4], явившимся, как мы увидим ниже, предтечей Б.Римана и А.П.Котельникова и Ф.Клейна, а с другой стороны достаточно древняя работа над задачей об удвоении куба [1,2].
Строение Евклидовых, Евдоксовых и Архимедовых якобы длинных и трудных доказательств не имеет к упадку математики эллинов никакого отношения, тем более, что, если внимательно вглядеться в современную математику, то мы обнаружим, что именно они и в настоящее время являют собой единственную надежную незыблемую почву, опираясь на которую можно бороться с процессом «культурного одичания», охватившим математику в XX столетии и продолжающимся в XXI столетии, что первым заметил ещё в начале XX века Н.Н.Лузин [29] - так в письме А.Н.Крылову Лузин пишет:
«В 18 веке было 6 математических журналов и те, кто печатался, давали строчки, которые надо было ценить прямо на золото. В настоящее время на земном шаре издается около 300 математических журналов. Каждый дает около 4 выпусков в год (в среднем). В каждом выпуске minimum 20 теорем. Итого, «продукция» в год - 24000 теорем, печатаемых в журналах (включая экзотические страны: Новая Зеландия, Капштадт, etс.). И если это добросовестно изучать, то не хватит времени на чтение; я уже не говорю относительно личных размышлений.
И важнее всего, что среди этого океана математической печати почти все - хлам. Ведь появление в печати - дело не только самолюбия, но и вопрос о материальном положении. Жаждущие «места под солнцем» фабрикуют наскоро копии с трудов преуспевших, обобщают, уточняют, обостряют, etc. и, в результате, готово сочинение. Отказать ему в праве напечатания нельзя, хотя бы ex-aequo. В результате в печати появляется бездна непродуманного сырого и пустякового материала, который, однако, выглядит с внешней стороны, как и творения Ньютона и Эйлера... Научный карьеризм губит науку. Но дело, по видимому, гораздо глубже, так как не всё сводится дефектам отдельных личностей. По-видимому, мы имеем дело вообще с громадным понижением научной чуткости, с явной утратой чувства гармонии и истины.»,
...
Прямым подтверждением надёжности геометрии эллинов является как тот факт, что трехтомный «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г.М.Фихтенгольца [35] содержит, играющие роль внутреннего ядра, найденные Архимедом в послании к Эратосфену площади и объемы различных фигур - площади, ограниченные классическими коническими сечениями и прямыми, объемы шара, цилиндра конуса эллипсоида, параболоида и пересечения двух цилиндров [36], так и умение эллинов исчислять трансцендентные величины геометрическими методами. Второй слой, окутывающий это ядро и непосредственно на нём выросший, образуют примеры и теоремы из трехтомного «Интегрального исчисления» Л.Эйлера [37]. Если же все, вышеперечисленное из упомянутого курса вынуть, то в нем останутся лишь теория пределов и наука о взятии производных, из коих первая также частично содержится в трудах эллинских геометров.).
Упадок эллинской математики был сингенетичен распаду всей культуры эллинов и культуры эллинизма в целом, ибо религия и философия и производительные силы общественной формации, породившей геометрию эллинов, в начале новой эры пришли в упадок, в частности, и по причине порабощения материковой Европейской Греции, а затем и Италии (Великой Греции) римлянами.
Однако уровень, которого достигла геометрия эллинов, является непревзойденным доныне. Более того, именно через неё и благодаря непосредственному первому, (незамутнённому постепенно наплывавшей с Востока, и воспитанной отчасти схоластикой коссикой) соприкосновению с ней в XVII столетии были достигнуты наиболее замечательные результаты математиками - геометрами и теоретикочисловиками (которых, как мы увидим ниже, в XVII столетии трудно отличить друг от друга благодаря школе Пифагора- Платона) и механиками.
Обратимся теперь к анализу трудов двух геометров XVII столетия, Пьера де Ферма , родившегося в 1601 году во Франции и сэра Исаака Ньютона, родившегося на 42 года позже. Мы остановимся детально на двух результатах полученных этими двумя геометрами XVII столетия и проведём хотя и краткий их анализ, но вполне достаточный для того чтобы показать заинтересованному и непредвзятому читателю, что они были одинаково непонятны и неприняты геометрами, от которых их отделяло иногда менее столетия, в силу, во-первых, переформулировки их последователями оригинальных (первичных) постановок задач, а, во-вторых, в силу радикального изменения образа мышления, а впоследствии, в результате почти повсеместного изгнания из обязательного образования математиков (специалистов в области естественных наук) классической учёности - греческого и латинского языков, а вместе с ними ничем не заменимого культурного слоя, соединявшего ещё кое-как до начала XIX-ого столетия истоки точных наук с их устьем, состояние которого как нам представляется достаточно ярко охарактеризовано Н.Н.Лузиным (cм. [29]). История с доказательством Теоремы Ферма, сводящимся к задаче об удвоении куба [1,2], отличается от содержащегося в Ньютоновых «Principia» прозрачно и ясно изложенного точного решения задачи трёх и более тел (метода построения точных орбит) [20,21], неразрешимость коей была доказана, правда, только в XIX-ом столетии [38] (но уже в XVIII-ом эта задача при N=3 решалась лишь приближённо [39,40]) лишь тем, что доказательство первой было получено чрезвычайно сложным методом аж через 300 с лишним лет, в существовании которого, правда, автор одной из книг, ему посвящённой до се сомневается (вместе с читателями (см. [41], стр.)), а задачу трёх, а, тем более, четырёх тяготеющих тел, не говоря об аналогичных задачах для тел заряженных, ещё долго будут использовать разные плохо образованные люди как дойных коров, например, на предмет поисков интегралов движения (ср. [42], [43] и [44]). Отметим ещё раз, что недоступность (фактически образовавшаяся в результате потери способности видеть) простых решений этих двух задач являет собой наиболее собой яркие примеры, демонстрирующие отличие видения самых разнообразных проблем математики и механики геометрами XVII-го столетия от даже наиболее ярких их последователей из столетия XVIII-го.
Ньютонова механика есть творение блестящего геометра, который владел греческой геометрией как Бог (отметим, что с этим положением был вполне согласен и покойный В.И.Арнольд [45]). Он представил почти все метрические. кинематические и динамические характеристики системы N тел геометрическими образами. I книга «Principia» подобна Гомеровским «Илиаде» и «Одиссее» - все последующие за ней труды по механике ниже её.
Действительно, Ньютон определяет орбиты тел в системе N тел не посредством решений дифференциальных уравнений движения (поскольку математический аппарат «Principia» это аппарат изложенный в «Началах» Евклида, трактатах Архимеда и «Восьми книгах конических сечений» Аполлония Пергского [6-8]), которые, будучи записаны в явном виде, якобы неразрешимы в квадратурах, поскольку де мол не хватает интегралов движения, а потому решаются приближённо подстановкой в них рядов теории возмущений, но как кривые, заданные кинематическими схемами, образованными из N-1 классических конических сечений, по первому из коих обращается около неподвижного общего центра тяжести системы N тел при силах взаимного притяжения, пропорциональных первой степени расстояния, являющегося центром этого эллипса, а при силах, обратно пропорциональных квадрату расстояния, фокусом центра тяжести N-1 тел, являющийся при силах, пропорциональных расстоянию, центром, а при силах, пропорциональных обратным квадратам расстояний, фокусом второго эллипса ect, причем сказанные эллипсы либо вращаются с периодически изменяющейся угловой скоростью около своих центров или фокусов, либо же являются эллипсами с периодически изменяющимися по величине и направлению полуосями (и эксцентриситетами) [20,21] Таким образом, труды Менехма, Евклида, Аристея, Архимеда и Аполлония Пергского привели в руках Ньютона к «экзотропии»? конических сечений, посредством которой были получены точные решения задач небесной механики и теории потенциала, (см. [20,21]).
Мы приведём ниже наиболее простые определения и построения:
...
Обратимся теперь к теореме Ферма. Признаюсь, что кроме демонстрации уже вышеупомянутого контраста или различия в восприятии классической учёности Западной Европой XVII столетия от таковой же XVII столетии, это обращение автора вызвано как явным происхождением теоремы или задачи, поставленной П.Ферма, от одной из задач решённой эллинами ещё до нашей эры [1,2],а именно, от задачи об удвоении куба (она и ключ к ней), так и неумеренными восторгами, вызванными построением якобы доказательства сказанной теоремы Ферма, (именуемой в литературе «Последней», «Великой», «Знаменитой», etc (см. [41(?)]) поскольку автор убеждён, что Тулузский юрист, если бы, воскреснув, ознакомился бы с этим последним (как, впрочем, и с большинством остальнымх, ранее найденнымх для частных случаев), то, пожалуй, тут же на месте и почил бы вновь в Бозе.
Высказанное утверждение основывается на том, что Пьер де Ферма принадлежал к другой культуре, нежели уже отделенные от него, столетием и более Л.Эйлер и Ж.-Л.Лагранж, которыми были построены доказательства справедливости теоремы Ферма для случая n = 3 и 4, полученные методом наискорейшего спуска, а так же Габриэль Ламэ, и, тем более, Эрнст Куммер, при всей плодотворности созданной им теории идеальных чисел для развития структурной химии, при попытках доказать теорему Ферма, , каковую теорию, берущую своё начало в работах итальянских математиков посвящённых методам решения уравнений третьей и четвёртой степеней, до сих пор (до каких же пор?) структурная химия оценить не способна.
Действительно, Пьер Ферма, родившийся в начале XVII века (В 1601 году ) в городе Бомон-де-Ломань, получил образование в монастыре Грансельва, то есть, как и И.Ньютон (см. [49]), имел изначально богословское образование но, по всей видимости, не закончил Тулузский университет. Однако, судя по сведениям, содержащимся в статье Grand Laгuss XIX siecle [50], он имел каноническое классическое образование, т.е. владел в совершенстве латынью и греческим (это сказалось на выборе профессии одного из его сыновей - он стал известным во Франции филологом-классиком), причем с латинскими текстами он имел дело, равно как и писал по латыни, также и по долгу службы, и, конечно, был знаком с пифагорейской теорией чисел, поскольку Франция, начиная с XVI столетия (основание College de France и Королевской библиотеки), была страной наиболее высокой классической учености. Он был младшим современником Мишеля Монтеня и Маргариты Наварской младшей (дочерью Анри II) говоривших и писавших по латыни и по гречески с той же лёгкостью, что и на родном языке, он был ровесником христианнейшего короля Людовика XIII, в царствование которого были изданы на древнегреческом языке пятнадцать книг Евклидовых «Начал» или «Элементов» и трактаты Архимеда и Аполлония Пергского, а труды Паппа и Диофанта на латыни [6-8,24,25].
Поэтому не только его математическое образование было чисто классическим, ибо он изучал труды вышепоименованных греческих геометров, но и его мироощущение, подобно мироощущению сэра Исаака Ньютона [20,21,49]), было пронизано чисто эллинским восприятием, что предопределило не только его видение различных задач геометрии, оптики, анализа и теории чисел, но так же и систему обозначений, вроде бы доставшуюся ему в наследство от итальянских алгебраистов, но, опять-таки воспринимаемая им, по своему, с позиций более близких эллинской геометрии терминология. Часть его теорем представляют собой «поризмы» на полях Диофанта Александрийского (см. [25,51]), книги которого, хотя он и числится автором алгебраических задач, все пронизаны мироощущением создателей геометрии эллинов - Пифагора, Евдокса, Теэтета, Евклида, Архимеда и Аполлония.
Поэтому большинство доказательств, построенных Пьером де Ферма, имели своей основой математику эллинов, которая, по сути своей, как мы уже отмечали, являлась геометрией, несмотря на то, что И.Н.Веселовский не только Диофанта и Герона, но уже Архимеда и Аполлония считает провозвестниками алгебры (мы же склонны считать, что древние греки не смогли создать алгебры, в силу геометрического образа мышления, также как они не смогли создать прозу, в силу совершенно уникального уровня развития греческой поэзии). Это наше заключение подтверждает и то, что Ферма был уроженцем Юга Франции, уроженцем графства Тулузского, сопредельного с владениями первого трубадура Гильома Аквитанского, писавшего: «…бегут нормандец и француз во все лопатки», жители которого начали знакомиться с классической учёностью ещё до трёх Итальянских кампаний Карла VIII, Людовика XII и Франсуа I.
Самим Ферма теорема была сформулирована в следующем виде:’’ Cubum autem in duos cubos aut quadrato-quadratum et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eisdem nominis fas est dividere;’’ «Ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат и никакой другой вообще из всей бесконечности, кроме квадрата -куба размерности два(или же,никакая) степень - или же никакой размерности куб геометрическом его представлении в сумму двух таких же не может быть разложен(а)» (см. [51], стр. 340)., или , что то же самое, в тееерминах n-мерной геометрии «не существет такого n-мерного куба(кроме куба размерности 2) с целочисленным ребром, объём которого равен сумме объёмов двух n-мерных кубов с также целочисленными рёбрами».
Здесь необходимо отметить, что постановка задачи, принадлежащая самому Ферма, чрезвычайно отличается от ее современной редакции: «Пусть n - произвольное натуральное число, большее двух. Тогда уравнение
(1)
не имеет решений в целых числах, каждое из которых отлично от нуля (т.е. она имеет лишь тривиальное решение, где одно из числе х, у, z равно нулю)», принятой, по всей видимости, не раньше XVIII столетия, под которой она известна нашим современникам.
Естественно предполагать, что доказательство, полученное Ферма, могло опираться, как это мне сказал, в своё время мой первый шеф и друг, Пётр Львович Дубов, с которым мы занимались с 1972 по 1982 год геометрией чисел (Вечная ему память), лишь на знакомые Ферма геометрические методы эллинов, но, ни в коем случае не на теорию идеальных чисел Э.Куммера (и уж конечно, ни в коем случае, не на алгебраические монстры, описанные в [41,48], как-то, многостраничные построения Э.Уайлса, гипотезу Шимуры - Таниямы, etc). Отмечу, что наши с ним обсуждения привели к формированию у автора точно такого же взгляда на эту теорему, который изложен Н.Н.Лузиным в нижеследующем отрывке из его письма к И.М.Виноградову: «Был ли у Fermat особый метод в его творческих актах по Теории Чисел? Метод живой, не исчерпанный личными достижениями самого Fermat, но утраченный уже для его современников, и тем более для потомков? Я не колеблюсь для самого себя отвечать утвердительным «Да», хотя вполне понимаю формальную позицию тех, кто отвечает отрицательным «Нет». Формальная позиция всегда очень сильна и корректна в глазах публики; но она стерильна, особенно сейчас.» (см.[48], стр.6 ).
Для того чтобы увидеть то доказательство, которое, возможно увидел Пьер Ферма, но не изложил, либо по причине недостатка места, либо для «агона ради», необходимо и достаточно посмотреть на уравнение (1) не как на алгебраическое (диофантово) уравнение степени n, где х, у, z суть некоторые неизвестные величины, что автоматически вызывает в голове математика , знакомого с алгеброй, мысли о методе наискорейшего спуска, о единственности разложения числа общего вида на множители, об определении корней etc, но как на уравнение, определённое его первичной редакцией (см. [51], стр. 340), имеющее на самом деле, особенно при n =3, чисто геометрическое эллинское [1,2] происхождение, в котором основания трёх степеней суть неизвестные нам, произвольные целые (или рациональные, иррациональные) числа, каждое из коих определяет ребро куба размерности n и перепишем его в виде
, (2)
предполагая, что k, l и n - . Может ли число m ?
Будем теперь вместе с эллинами, вместе с Пьером де Ферма, Артуром Кэли, в подстраничном примечании к мемуару Л.Шлефли [52] утверждавшем: «The n-fold totality is in fact space of n dimensions, a solution is a point in such space, and the intermediate continua of 1, 2, … (n?1) equations are the loci which in such space correspond to surfaces and curves in ordinary space of three dimensions», и Бернгардом Риманом, по мнению которого «наиболее важное с установленной» им «точки зрения свойство» (Римановых) «многообразий, обуславливающее то, почему исключительно они» им «здесь исследуются, заключается в том, что метрические отношения в случае двукратной протяжённости допускают метрическое истолкование посредством поверхностей, а в случае многократной протяжённости - могут быть сведены к рассмотрению метрических отношений на содержащихся в них поверхностях» [53], исходить из несуществования пространств размерности больше трёх, рассматривая как реально существующие лишь трехмерные объёмы (а, если и предполагая существующими, хотя бы и гипотетически, полиэдры большей размерности, то естественно рассматривая их как объекты, элементы граней коих различной размерности связаны между собой алгебраическими уравнениями высших степеней), и, соответственно, любое число вида , как определяющее трёхмерный объём, представляющий собой произведение объёма трёхмерного куба с ребром m на число , или, говоря проще, объём равный объёму трёхмерных кубов с ребром m, каждый из которых содержит m3 единичных кубов, а потому представимое в виде
Пусть теперь n =3, а k = l = 1.
(3)
В этом случае совершенно очевидно, что уравнение (3) есть записанная в алгебраической или арифметической форме задача об удвоении куба с единичным ребром (единичного куба), неразрешимость которой в целых числах была доказана эллинами в IV столетии до Р.Х. (см. [1], стр. 194-197).
В справедливости этого может убедиться каждый человек, знакомый с началами алгебры, либо прямым вычислением, либо, вспомнив, что поскольку сумма кубов разлагается в произведение суммы основания и неполный квадрат разности, то
(3?)
. Если теперь положить k = l=M, где M есть любое целое число, то и в этом случае правая часть не представляет собой куб целого числа, ибо равенство
(4)
представляет собой алгебраическую запись решений задач об удвоении единичного куба, а потому m не может быть целым числом.
Пусть теперь по-прежнему n =3, а k и l суть произвольные целые числа, причём k > l. Тогда уравнение (2) приобретёт вид
. (5)
Левая часть уравнения (5) представляет собой алгебраическую запись задачи состоящей в преобразовании объёма двух кубов с рёбрами k и l в куб с ребром m эквивалентной задаче, состоящей в определении объёма, равного сумме объемов удвоенных единичных кубов, определённого решением задачи эквивалентной задаче (4)
и объёма ( ) единичных кубов.
Эта задача также не имеет решения в целых числах, поскольку в ней решается задач об удвоении единичного куба и искомый объём куба состоит из объёмов удвоенных единичных кубов и объёма ( ) единичных кубов.
Пусть теперь в уравнении (2), которое мы для удобства перепишем еще раз
, (2?)
как и в предыдущем случае, числа k и l суть произвольные целые, но и показатель степени n также представляет собой любое, сколь угодно большое, целое число.
Запишем теперь уравнение ( ) в виде
(6)
Уравнение (6) представляет собой вновь, подобно уравнениям (2) - (5), алгебраическую запись задачи об определении трёхмерного объема трехмерных кубов с ребром m, которое осуществляется посредством решения при k>l решением задач об удвоении трёхмерного куба с ребром l или решением задач об удвоении трёхмерного куба с единичным ребром и сложения этого объема с объёмом ( ) единичных кубов.
Последняя задача также не имеет решения в целых числах, поскольку объём куба, определённый числом , состоит из объёмов удвоенных единичных кубов и объёма ( )единичных кубов.
В изложенном нами доказательстве теоремы не использованы никакие алгебраические или геометрические методы, которые не были бы известны эллинам и, соответственно, не находились бы в распоряжении великого Тулузского математика.
Отметим, что, как нам представляется, решения Ньютона и Ферма объединяет, несмотря на различную степень сложности и на принадлежность к различным областям математики принципиальная простота и естественное геометрическое целостное восприятие.
ЛИТЕРАТУРА
1. ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М. URSS. 2006, стр. 183-190.
2. Heath. T.L. A history of Greek Mathematics.v.1,2 .N. York. Claredon Press. 1981.
3. Клейн Ф. Лекции о развития математики в XIX столетии. Л-М., ОНТИ, 1936.
4. Poncelet J.V. Traites des propriete projectives des figures.Paris,1822.
5. Полищук Е.М. Софус Ли.М.,2008.
6. Euclid. Opera quae supesunt omnia. Oxoniae. Th. Sheld. 1703
7. Архимед. Сочинения. М. ГИФМЛ. 1962
8. Apollonius Pergaеus. Conicorum libri octo. Oxoniae. Th. Sheld. 1710
9. Brumbaugh Robert S. Plato's Mathematical Imagination. Bloomington, Indiana Univ. Press,1954
10. Аристотель. Соч. в четырех томах. М. Мысль. 1981
11. Фрагменты ранних греческих философов. Часть I.Наука.1989.
12. Прокл Диадох. Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение. Греко-латинский кабинет Ю.А.Шичалина. М., 1994
13. Гомер. Илиада. Л. Наука.1990.
14. Эллинские поэты. М.-Л. 1978.
15. Пиндар и Вакхилид. Оды. Фрагменты.М.Наука.1980.
16. Зайцев А. И. Культурный переворот в Древней Греции VIII - V вв. до н. э. - Л., 1985.
17. Аристотель. Аналитики // Аристотель. Соч. в четырех томах. т. II. М. Мысль. 1981.
18. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. М. Мысль, 1986.
19. Григорьева Н.И. Парадоксы платоновского «Тимея»: Диалог и гимн. // Поэтика древнегреческой литературы. М. Наука. 1981, стр. 59.
20. Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. v. I-IV. Genevae. Philibert. Туp.Barillot et Filii. 1739-1742.
21. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Кн. I, II, III. // Собр. трудов Ак. А.Н. Крылова, Т.VII, ИАН СССР, М-Л, 1936
22. Лурье С. Я. Теория бесконечно малых у древних атомистов. - М.-Л.: АН СССР, 1935.
23. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М., Наука, 1989,
24. Pappi Alexandrini. Collectiones quae supersunt. v. I, II. F. Hultsch. Berolini. 1887
25. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. М.Наука.1974.
26. Гельфонд А.О.Избранные труды. М. Наука,1973.
27. Риман Б.. Основы общей теории функций одной комплексной переменной. Сочинения. М -Л, 1948, стр. 49-87.
28. Рожанский И.Д. История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи.М.Наука.1988.
29. Лузин Н.Н. Переписка Н.Н. Лузина с А.Н. Крыловым. // Историко-математические исследования. - Вып. XXXI. - М.: Наука, 1989. - С.251-253.
30. Клайн М. Математика. Утрата определенности. - М.: Мир, 1984
31. Клайн М. Математика. Поиски истины. - М.: Мир, 1988.
32. Арнольд В.И.Что такое математика?МЦМНО.,2002
33. Арнольд В.И.Новый обскурантизм или российское просвещение. // Арнольд В.И. Избранное - 60. М.:ФАЗИС, 1997, с. 629-630.
34. Арнольд В.И. Антинаучная революция и математика. Вестник РАН, 1999, №6, с. 553-558.
35. Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.т. I,II,III. М. Наука.1966.
36. Архимед. Послание к Эратосфену о механических теоремах. Сочинения. ГИФМЛ. М, 1962, стр. 298-327.
37. Euler L. Institutionum calculi Integralis. v. I,II,III.Petropoli.,Akad.Imperialis Scientiarum. 1824.
38. Bruns H. Uber die Integrale des Viel-Korper Problem. Acta Math. v. 11. 1888. s. 25-96.
39. Tisserand. F.Traite de Me```````````````````````````````````````````````````````````````
40. canique Celeste.t.t., I- IV.1888.
41. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. I. // Пуанкаре А. Избр. труды. - Т. I. - М.: Наука, 1971.
42. Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. МЦНМО, 2000.
43. Мануйлов К.В. Об интегрируемости дифференциальных уравнений движения системы N тяготеющих тел. Quaest. Phil. Nat. № 1. 1998. с. 29-58.
44. Мануйлов К.В. Конические сечения, Теорема Абеля и нелинейные задачи математической физики. Quaest. Phyl. Nat. № 2-3, 1998 - 1999. Стр. 8-54.
45. Соколов Л. Л., Холшевников К. В. Задача N тел и проблема интегрируемости. Астрономический институт СПбГУ(Лекция, прочитанная на ХХХIV-й студенческой научной конференции"Физика Космоса", Коуровка, 2005).
46. Арнольд В.И. Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в "Математических началах натуральной философии" И.Ньютона. Ист. мат. иссл., вып. XXXI. М., Наука, 1980, стр. 7-14.
47. Якоби К. Лекции по динамике. Л.-М. ОНТИ. 1936.
48. Риман Б. Теория абелевых функций. Сочинения. М.-Л. ГИТТЛ. 1948. С. 88-138.
49. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма (для любителей). М. Мир. 2003.
50. Е.Ч. Скржинская. Кэмбридский университет и Ньютон. // Исаак Ньютон М.-Л. ИАНСССР.1943, стр. 292-419.
51. Grand Laruss XIX siecle. t VII.1898.
52. Fermat P.Oeuvres v.I.,Paris, Gauthier-Villars.1891.
53. Schlafli L. On the Multiple Integral , whose Limits are . Gesamm. Math. Abhand. Bd. II. Basel. Birkhauser. 1953. s.220.
54. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии. Сочинения. М-Л, 1948, стр.279-293.
-- Покажи своим алгебраистам.
Помятуя историю с Григорием Яковлевичем Перельманом, решил исполнить волю Кости так. Выставлю здесь кусочки пространные без алгебры. А алгебру вышлю по требованию лиц, которых заинтересует.
От себя добавлю пожелание другу, корешку и учителю Константину Викторовичу Мануйлову: Костя! Выздоравливай!
К.В.Мануйлов.
Об отличии восприятия математиками XVII столетия геометрии эллинов от ее же восприятия их коллегами в более позднее время
Цель нашего краткого исторического экскурса состоит в выделении из ныне существующей «математической какофонии», заглушившей почти все чистые тона, извлеченные из инструмента, именуемого Природой, замечательными эллинскими музыкантами (творцами) (ибо каждого математика наиболее естественно соотнести с творцом стиха или музыки), и восстановлении посредством обращения к истории (см., например, [1-3]) полноты звучания традиционной ветви, взлетающей подобно полифонической музыкальной фразе Баха несущей в перекличке внутренних созвучий проникновенность чистого пламени Моцарта, рожденной из теории классических конических сечений в процессе ее развития, над которой работали наиболее яркие (композиторы) геометры XVII - XIX века, ведомые безошибочным внутренним зрением и слухом (непрерывностью взора геометра (см. Ж.В.Понселе [4])), а именно, над теорией абелевых функций {Adversus Matematicus - против математиков, полагающих, что можно изучать эту науку в переложениях переложений. Так, например, бывший меломаном, очень симпатичный человек Е.М.Полищук, автор ряда математических трудов и нескольких исторических, в частности, о С. Ли, писал в последнем: «Методы нового времени, конечно, наложили свой отпечаток на эту дисциплину радикально преобразив её сравнению с прошлым: топология, функциональный анализ, меры на группах, современная алгебра… Ли совершенно не узнал бы теперь свою теорию (хорошо ли это?). Но наука этим и отличается от искусства, например, от музыки: (что) произведениями Баха, Шопена, Рахманинова… мы продолжаем наслаждаться в их первозданном виде.» (см. [5], стр.7), тогда как, по мнению Е.М.Полищука, математику, в частности, геометрию эллинов, теорию абелевых функций Б.Римана и теорию групп С.Ли можно изучать только по трудам современных авторов, подавляющее большинство которых совершенно забыло о том, чему была посвящена данная область математики (или теоретической механики) в момент своего создания, т.е., на самом деле, не знают - не слышат ее, ибо она похоронена, заглушена какофонией, отделена от изучающего её человека многослойными перекрытиями, состоящими, по преимуществу, из полуистин}.
Мы же полагаем, что исключительно лишь чистые тона могут поднять неофита до общения с математиками являвшимися авторами основополагающих оригинальных трудов, до общения с Богом, ибо настоящая наука как и поэзия есть творчество возможное только через общение с Богом. Поэтому отправной точкой нашего обзора является Эллада, в которой родилась геометрия, известная нам непосредственно по трудам геометров Александрийской школы, а именно, по «Началам» Эвклида [6], трактатам Архимеда [7] и «Восьми книгам конических сечений» Аполлония Пергского [8], etc, опиравшимся на многовековую предшествующую им традицию, восходящую к Пифагору (акмэ 580 до Р.Х.), Фалесу[1,2], задаче об удвоении куба [1,2], о чем свидетельствуют дошедшие до нас фрагменты из «Начал» Гиппократа Хиосского [1,2], этюды Архита Тарентского [1,2], математические спекуляции, вплетенные в диалоги Платона [9], и труды Аристотеля [10], которые вместе с построениями Парменида, Зенона Элейского [11] и трудами их продолжателей (Прокл Диадох [12]) привели к созданию философских оснований математики. Математика эллинов состояла из геометрии, исчисления пропорций, теории чисел и геометрической алгебры, поскольку, подобно тому, как эллины не сумели создать ни в эпоху высокой классики, ни в эллинистический период художественную прозу, отличную от текстов логографов и философов - слишком было велико влияние поэзии - Гомер, Гесиод, Сафо, Пиндар [13-15], яркого созвездия трагиков и поэтов эллинской и эллинистической школ [16] etc, на которой воспитывались десятки и даже сотни поколений - они не успели создать и алгебры, в рамках которой должно (могло бы) было возникнуть формализованное представление о взаимной связи двух (или более) величин, являющееся прообразом понятия функции, несмотря на «Аналитики» Аристотеля [17], ибо всё, начиная с поэтических начал Пифагорейцев (цитата), основного тезиса Платоновой Академии [18], и, кончая трудами Эвклида, Архимеда, Аполлония Пергского etc было пронизано, как говорил Клебш, «ощущением радости формы», пространственного образа, Теофанией. Это сказалось во всем, начиная от происхождения основных начальных терминов, ???????-зрелище, ?????? …-(см. платоново - ??????? - умозрение или мышление через узрение [19]) до завершения теории конических сечений общего вида (произвольных алгебраических кривых), синтезированных Ньютоном из теории классических конических сечений [20,21].
Ввиду того что греческая математика начиналась с геометрии и теории пропорций, первоначально определяемые последними, уравнения возникли в результате изучения отношений, связующих между собой различные элементы треугольников (а затем уже многоугольников и многогранников (см. [22], стр. 77 - «Все поверхности разные, но все они состоят из треугольников, все тела разные, но все они состоят из пирамид» (ср. теорему симплициальной аппроксимации [23], стр.)), которые стали базисными и привели к построению метода решения квадратных уравнений, поскольку он восходит к общему случаю теоремы Пифагора - теореме косинусов. Этот метод привел в дальнейшем к созданию методов решения уравнений третьей и четвертой степени.
На этом пути сформировались в дальнейшем и начала алгебры, хотя основой для определения алгебраических операций и уравнений послужили соотношения между геометрическими величинами и действия, производившиеся над ними (см. геометрическая алгебра у Аполллония [8]).
Такие задачи содержались в «Началах» Eвклида, трактатах Архимеда, у Аполлония и Паппа [24], но их наибольшее количество мы находим у Диофанта Александрийского [25].
Хотя последнего принято считать алгебраистом XVII столетия он является таковым исключительно в сравнении с Архитом Тарентским, Евклидом, Архимедом и Аполлонием, ибо, по сути, все постановки задач, содержащихся в его «Арифметике», являются в основе своей геометрическими, равно как и сами решения, но там где эллины IV-I веков до Р.Х. необходимо обращались бы к чертежам и получили бы решение непосредственным геометрическим построением, Диофант строит его словесно, описывая соотношения между числовыми величинами, каковые, в силу исходной геометрической постановки, хотя и являются значениями длин или соотношений длин отрезков сторон треугольников, тем не менее, в ходе изложения освобождены от этих признаков.
Именно это позволяет считать его, на фоне упомянутых представителей классической геометрии, математиком более близким к коссике.
...
Следовательно, геометрия эллинов опиралась не только на целые и дробные числа, но, благодаря теории пропорций, непосредственно на всю мыслимую совокупность чисел, хотя возможно, что открытие иррациональных отношений - несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной было для пифагорейцев в некоторой степени неожиданным, но не могло ввергнуть греческую геометрию в кризис, как это полагают некоторые современные историки [2, 28].
Косвенным, но чрезвычайно весомым подтверждением нашего заключения является с одной стороны построение эллинами конических сечений, имеющих мнимые оси, - гипербол, их чисто мнимых ветвей [8] и предопределённая теорией пропорций возможность построения изначально чисто мнимых конических сечений, извлечённых впервые из небытия в XIX столетии Ж.В.Понселе [4], явившимся, как мы увидим ниже, предтечей Б.Римана и А.П.Котельникова и Ф.Клейна, а с другой стороны достаточно древняя работа над задачей об удвоении куба [1,2].
Строение Евклидовых, Евдоксовых и Архимедовых якобы длинных и трудных доказательств не имеет к упадку математики эллинов никакого отношения, тем более, что, если внимательно вглядеться в современную математику, то мы обнаружим, что именно они и в настоящее время являют собой единственную надежную незыблемую почву, опираясь на которую можно бороться с процессом «культурного одичания», охватившим математику в XX столетии и продолжающимся в XXI столетии, что первым заметил ещё в начале XX века Н.Н.Лузин [29] - так в письме А.Н.Крылову Лузин пишет:
«В 18 веке было 6 математических журналов и те, кто печатался, давали строчки, которые надо было ценить прямо на золото. В настоящее время на земном шаре издается около 300 математических журналов. Каждый дает около 4 выпусков в год (в среднем). В каждом выпуске minimum 20 теорем. Итого, «продукция» в год - 24000 теорем, печатаемых в журналах (включая экзотические страны: Новая Зеландия, Капштадт, etс.). И если это добросовестно изучать, то не хватит времени на чтение; я уже не говорю относительно личных размышлений.
И важнее всего, что среди этого океана математической печати почти все - хлам. Ведь появление в печати - дело не только самолюбия, но и вопрос о материальном положении. Жаждущие «места под солнцем» фабрикуют наскоро копии с трудов преуспевших, обобщают, уточняют, обостряют, etc. и, в результате, готово сочинение. Отказать ему в праве напечатания нельзя, хотя бы ex-aequo. В результате в печати появляется бездна непродуманного сырого и пустякового материала, который, однако, выглядит с внешней стороны, как и творения Ньютона и Эйлера... Научный карьеризм губит науку. Но дело, по видимому, гораздо глубже, так как не всё сводится дефектам отдельных личностей. По-видимому, мы имеем дело вообще с громадным понижением научной чуткости, с явной утратой чувства гармонии и истины.»,
...
Прямым подтверждением надёжности геометрии эллинов является как тот факт, что трехтомный «Курс дифференциального и интегрального исчисления» Г.М.Фихтенгольца [35] содержит, играющие роль внутреннего ядра, найденные Архимедом в послании к Эратосфену площади и объемы различных фигур - площади, ограниченные классическими коническими сечениями и прямыми, объемы шара, цилиндра конуса эллипсоида, параболоида и пересечения двух цилиндров [36], так и умение эллинов исчислять трансцендентные величины геометрическими методами. Второй слой, окутывающий это ядро и непосредственно на нём выросший, образуют примеры и теоремы из трехтомного «Интегрального исчисления» Л.Эйлера [37]. Если же все, вышеперечисленное из упомянутого курса вынуть, то в нем останутся лишь теория пределов и наука о взятии производных, из коих первая также частично содержится в трудах эллинских геометров.).
Упадок эллинской математики был сингенетичен распаду всей культуры эллинов и культуры эллинизма в целом, ибо религия и философия и производительные силы общественной формации, породившей геометрию эллинов, в начале новой эры пришли в упадок, в частности, и по причине порабощения материковой Европейской Греции, а затем и Италии (Великой Греции) римлянами.
Однако уровень, которого достигла геометрия эллинов, является непревзойденным доныне. Более того, именно через неё и благодаря непосредственному первому, (незамутнённому постепенно наплывавшей с Востока, и воспитанной отчасти схоластикой коссикой) соприкосновению с ней в XVII столетии были достигнуты наиболее замечательные результаты математиками - геометрами и теоретикочисловиками (которых, как мы увидим ниже, в XVII столетии трудно отличить друг от друга благодаря школе Пифагора- Платона) и механиками.
Обратимся теперь к анализу трудов двух геометров XVII столетия, Пьера де Ферма , родившегося в 1601 году во Франции и сэра Исаака Ньютона, родившегося на 42 года позже. Мы остановимся детально на двух результатах полученных этими двумя геометрами XVII столетия и проведём хотя и краткий их анализ, но вполне достаточный для того чтобы показать заинтересованному и непредвзятому читателю, что они были одинаково непонятны и неприняты геометрами, от которых их отделяло иногда менее столетия, в силу, во-первых, переформулировки их последователями оригинальных (первичных) постановок задач, а, во-вторых, в силу радикального изменения образа мышления, а впоследствии, в результате почти повсеместного изгнания из обязательного образования математиков (специалистов в области естественных наук) классической учёности - греческого и латинского языков, а вместе с ними ничем не заменимого культурного слоя, соединявшего ещё кое-как до начала XIX-ого столетия истоки точных наук с их устьем, состояние которого как нам представляется достаточно ярко охарактеризовано Н.Н.Лузиным (cм. [29]). История с доказательством Теоремы Ферма, сводящимся к задаче об удвоении куба [1,2], отличается от содержащегося в Ньютоновых «Principia» прозрачно и ясно изложенного точного решения задачи трёх и более тел (метода построения точных орбит) [20,21], неразрешимость коей была доказана, правда, только в XIX-ом столетии [38] (но уже в XVIII-ом эта задача при N=3 решалась лишь приближённо [39,40]) лишь тем, что доказательство первой было получено чрезвычайно сложным методом аж через 300 с лишним лет, в существовании которого, правда, автор одной из книг, ему посвящённой до се сомневается (вместе с читателями (см. [41], стр.)), а задачу трёх, а, тем более, четырёх тяготеющих тел, не говоря об аналогичных задачах для тел заряженных, ещё долго будут использовать разные плохо образованные люди как дойных коров, например, на предмет поисков интегралов движения (ср. [42], [43] и [44]). Отметим ещё раз, что недоступность (фактически образовавшаяся в результате потери способности видеть) простых решений этих двух задач являет собой наиболее собой яркие примеры, демонстрирующие отличие видения самых разнообразных проблем математики и механики геометрами XVII-го столетия от даже наиболее ярких их последователей из столетия XVIII-го.
Ньютонова механика есть творение блестящего геометра, который владел греческой геометрией как Бог (отметим, что с этим положением был вполне согласен и покойный В.И.Арнольд [45]). Он представил почти все метрические. кинематические и динамические характеристики системы N тел геометрическими образами. I книга «Principia» подобна Гомеровским «Илиаде» и «Одиссее» - все последующие за ней труды по механике ниже её.
Действительно, Ньютон определяет орбиты тел в системе N тел не посредством решений дифференциальных уравнений движения (поскольку математический аппарат «Principia» это аппарат изложенный в «Началах» Евклида, трактатах Архимеда и «Восьми книгах конических сечений» Аполлония Пергского [6-8]), которые, будучи записаны в явном виде, якобы неразрешимы в квадратурах, поскольку де мол не хватает интегралов движения, а потому решаются приближённо подстановкой в них рядов теории возмущений, но как кривые, заданные кинематическими схемами, образованными из N-1 классических конических сечений, по первому из коих обращается около неподвижного общего центра тяжести системы N тел при силах взаимного притяжения, пропорциональных первой степени расстояния, являющегося центром этого эллипса, а при силах, обратно пропорциональных квадрату расстояния, фокусом центра тяжести N-1 тел, являющийся при силах, пропорциональных расстоянию, центром, а при силах, пропорциональных обратным квадратам расстояний, фокусом второго эллипса ect, причем сказанные эллипсы либо вращаются с периодически изменяющейся угловой скоростью около своих центров или фокусов, либо же являются эллипсами с периодически изменяющимися по величине и направлению полуосями (и эксцентриситетами) [20,21] Таким образом, труды Менехма, Евклида, Аристея, Архимеда и Аполлония Пергского привели в руках Ньютона к «экзотропии»? конических сечений, посредством которой были получены точные решения задач небесной механики и теории потенциала, (см. [20,21]).
Мы приведём ниже наиболее простые определения и построения:
...
Обратимся теперь к теореме Ферма. Признаюсь, что кроме демонстрации уже вышеупомянутого контраста или различия в восприятии классической учёности Западной Европой XVII столетия от таковой же XVII столетии, это обращение автора вызвано как явным происхождением теоремы или задачи, поставленной П.Ферма, от одной из задач решённой эллинами ещё до нашей эры [1,2],а именно, от задачи об удвоении куба (она и ключ к ней), так и неумеренными восторгами, вызванными построением якобы доказательства сказанной теоремы Ферма, (именуемой в литературе «Последней», «Великой», «Знаменитой», etc (см. [41(?)]) поскольку автор убеждён, что Тулузский юрист, если бы, воскреснув, ознакомился бы с этим последним (как, впрочем, и с большинством остальнымх, ранее найденнымх для частных случаев), то, пожалуй, тут же на месте и почил бы вновь в Бозе.
Высказанное утверждение основывается на том, что Пьер де Ферма принадлежал к другой культуре, нежели уже отделенные от него, столетием и более Л.Эйлер и Ж.-Л.Лагранж, которыми были построены доказательства справедливости теоремы Ферма для случая n = 3 и 4, полученные методом наискорейшего спуска, а так же Габриэль Ламэ, и, тем более, Эрнст Куммер, при всей плодотворности созданной им теории идеальных чисел для развития структурной химии, при попытках доказать теорему Ферма, , каковую теорию, берущую своё начало в работах итальянских математиков посвящённых методам решения уравнений третьей и четвёртой степеней, до сих пор (до каких же пор?) структурная химия оценить не способна.
Действительно, Пьер Ферма, родившийся в начале XVII века (В 1601 году ) в городе Бомон-де-Ломань, получил образование в монастыре Грансельва, то есть, как и И.Ньютон (см. [49]), имел изначально богословское образование но, по всей видимости, не закончил Тулузский университет. Однако, судя по сведениям, содержащимся в статье Grand Laгuss XIX siecle [50], он имел каноническое классическое образование, т.е. владел в совершенстве латынью и греческим (это сказалось на выборе профессии одного из его сыновей - он стал известным во Франции филологом-классиком), причем с латинскими текстами он имел дело, равно как и писал по латыни, также и по долгу службы, и, конечно, был знаком с пифагорейской теорией чисел, поскольку Франция, начиная с XVI столетия (основание College de France и Королевской библиотеки), была страной наиболее высокой классической учености. Он был младшим современником Мишеля Монтеня и Маргариты Наварской младшей (дочерью Анри II) говоривших и писавших по латыни и по гречески с той же лёгкостью, что и на родном языке, он был ровесником христианнейшего короля Людовика XIII, в царствование которого были изданы на древнегреческом языке пятнадцать книг Евклидовых «Начал» или «Элементов» и трактаты Архимеда и Аполлония Пергского, а труды Паппа и Диофанта на латыни [6-8,24,25].
Поэтому не только его математическое образование было чисто классическим, ибо он изучал труды вышепоименованных греческих геометров, но и его мироощущение, подобно мироощущению сэра Исаака Ньютона [20,21,49]), было пронизано чисто эллинским восприятием, что предопределило не только его видение различных задач геометрии, оптики, анализа и теории чисел, но так же и систему обозначений, вроде бы доставшуюся ему в наследство от итальянских алгебраистов, но, опять-таки воспринимаемая им, по своему, с позиций более близких эллинской геометрии терминология. Часть его теорем представляют собой «поризмы» на полях Диофанта Александрийского (см. [25,51]), книги которого, хотя он и числится автором алгебраических задач, все пронизаны мироощущением создателей геометрии эллинов - Пифагора, Евдокса, Теэтета, Евклида, Архимеда и Аполлония.
Поэтому большинство доказательств, построенных Пьером де Ферма, имели своей основой математику эллинов, которая, по сути своей, как мы уже отмечали, являлась геометрией, несмотря на то, что И.Н.Веселовский не только Диофанта и Герона, но уже Архимеда и Аполлония считает провозвестниками алгебры (мы же склонны считать, что древние греки не смогли создать алгебры, в силу геометрического образа мышления, также как они не смогли создать прозу, в силу совершенно уникального уровня развития греческой поэзии). Это наше заключение подтверждает и то, что Ферма был уроженцем Юга Франции, уроженцем графства Тулузского, сопредельного с владениями первого трубадура Гильома Аквитанского, писавшего: «…бегут нормандец и француз во все лопатки», жители которого начали знакомиться с классической учёностью ещё до трёх Итальянских кампаний Карла VIII, Людовика XII и Франсуа I.
Самим Ферма теорема была сформулирована в следующем виде:’’ Cubum autem in duos cubos aut quadrato-quadratum et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eisdem nominis fas est dividere;’’ «Ни куб на два куба, ни квадрато-квадрат и никакой другой вообще из всей бесконечности, кроме квадрата -куба размерности два(или же,никакая) степень - или же никакой размерности куб геометрическом его представлении в сумму двух таких же не может быть разложен(а)» (см. [51], стр. 340)., или , что то же самое, в тееерминах n-мерной геометрии «не существет такого n-мерного куба(кроме куба размерности 2) с целочисленным ребром, объём которого равен сумме объёмов двух n-мерных кубов с также целочисленными рёбрами».
Здесь необходимо отметить, что постановка задачи, принадлежащая самому Ферма, чрезвычайно отличается от ее современной редакции: «Пусть n - произвольное натуральное число, большее двух. Тогда уравнение
(1)
не имеет решений в целых числах, каждое из которых отлично от нуля (т.е. она имеет лишь тривиальное решение, где одно из числе х, у, z равно нулю)», принятой, по всей видимости, не раньше XVIII столетия, под которой она известна нашим современникам.
Естественно предполагать, что доказательство, полученное Ферма, могло опираться, как это мне сказал, в своё время мой первый шеф и друг, Пётр Львович Дубов, с которым мы занимались с 1972 по 1982 год геометрией чисел (Вечная ему память), лишь на знакомые Ферма геометрические методы эллинов, но, ни в коем случае не на теорию идеальных чисел Э.Куммера (и уж конечно, ни в коем случае, не на алгебраические монстры, описанные в [41,48], как-то, многостраничные построения Э.Уайлса, гипотезу Шимуры - Таниямы, etc). Отмечу, что наши с ним обсуждения привели к формированию у автора точно такого же взгляда на эту теорему, который изложен Н.Н.Лузиным в нижеследующем отрывке из его письма к И.М.Виноградову: «Был ли у Fermat особый метод в его творческих актах по Теории Чисел? Метод живой, не исчерпанный личными достижениями самого Fermat, но утраченный уже для его современников, и тем более для потомков? Я не колеблюсь для самого себя отвечать утвердительным «Да», хотя вполне понимаю формальную позицию тех, кто отвечает отрицательным «Нет». Формальная позиция всегда очень сильна и корректна в глазах публики; но она стерильна, особенно сейчас.» (см.[48], стр.6 ).
Для того чтобы увидеть то доказательство, которое, возможно увидел Пьер Ферма, но не изложил, либо по причине недостатка места, либо для «агона ради», необходимо и достаточно посмотреть на уравнение (1) не как на алгебраическое (диофантово) уравнение степени n, где х, у, z суть некоторые неизвестные величины, что автоматически вызывает в голове математика , знакомого с алгеброй, мысли о методе наискорейшего спуска, о единственности разложения числа общего вида на множители, об определении корней etc, но как на уравнение, определённое его первичной редакцией (см. [51], стр. 340), имеющее на самом деле, особенно при n =3, чисто геометрическое эллинское [1,2] происхождение, в котором основания трёх степеней суть неизвестные нам, произвольные целые (или рациональные, иррациональные) числа, каждое из коих определяет ребро куба размерности n и перепишем его в виде
, (2)
предполагая, что k, l и n - . Может ли число m ?
Будем теперь вместе с эллинами, вместе с Пьером де Ферма, Артуром Кэли, в подстраничном примечании к мемуару Л.Шлефли [52] утверждавшем: «The n-fold totality is in fact space of n dimensions, a solution is a point in such space, and the intermediate continua of 1, 2, … (n?1) equations are the loci which in such space correspond to surfaces and curves in ordinary space of three dimensions», и Бернгардом Риманом, по мнению которого «наиболее важное с установленной» им «точки зрения свойство» (Римановых) «многообразий, обуславливающее то, почему исключительно они» им «здесь исследуются, заключается в том, что метрические отношения в случае двукратной протяжённости допускают метрическое истолкование посредством поверхностей, а в случае многократной протяжённости - могут быть сведены к рассмотрению метрических отношений на содержащихся в них поверхностях» [53], исходить из несуществования пространств размерности больше трёх, рассматривая как реально существующие лишь трехмерные объёмы (а, если и предполагая существующими, хотя бы и гипотетически, полиэдры большей размерности, то естественно рассматривая их как объекты, элементы граней коих различной размерности связаны между собой алгебраическими уравнениями высших степеней), и, соответственно, любое число вида , как определяющее трёхмерный объём, представляющий собой произведение объёма трёхмерного куба с ребром m на число , или, говоря проще, объём равный объёму трёхмерных кубов с ребром m, каждый из которых содержит m3 единичных кубов, а потому представимое в виде
Пусть теперь n =3, а k = l = 1.
(3)
В этом случае совершенно очевидно, что уравнение (3) есть записанная в алгебраической или арифметической форме задача об удвоении куба с единичным ребром (единичного куба), неразрешимость которой в целых числах была доказана эллинами в IV столетии до Р.Х. (см. [1], стр. 194-197).
В справедливости этого может убедиться каждый человек, знакомый с началами алгебры, либо прямым вычислением, либо, вспомнив, что поскольку сумма кубов разлагается в произведение суммы основания и неполный квадрат разности, то
(3?)
. Если теперь положить k = l=M, где M есть любое целое число, то и в этом случае правая часть не представляет собой куб целого числа, ибо равенство
(4)
представляет собой алгебраическую запись решений задач об удвоении единичного куба, а потому m не может быть целым числом.
Пусть теперь по-прежнему n =3, а k и l суть произвольные целые числа, причём k > l. Тогда уравнение (2) приобретёт вид
. (5)
Левая часть уравнения (5) представляет собой алгебраическую запись задачи состоящей в преобразовании объёма двух кубов с рёбрами k и l в куб с ребром m эквивалентной задаче, состоящей в определении объёма, равного сумме объемов удвоенных единичных кубов, определённого решением задачи эквивалентной задаче (4)
и объёма ( ) единичных кубов.
Эта задача также не имеет решения в целых числах, поскольку в ней решается задач об удвоении единичного куба и искомый объём куба состоит из объёмов удвоенных единичных кубов и объёма ( ) единичных кубов.
Пусть теперь в уравнении (2), которое мы для удобства перепишем еще раз
, (2?)
как и в предыдущем случае, числа k и l суть произвольные целые, но и показатель степени n также представляет собой любое, сколь угодно большое, целое число.
Запишем теперь уравнение ( ) в виде
(6)
Уравнение (6) представляет собой вновь, подобно уравнениям (2) - (5), алгебраическую запись задачи об определении трёхмерного объема трехмерных кубов с ребром m, которое осуществляется посредством решения при k>l решением задач об удвоении трёхмерного куба с ребром l или решением задач об удвоении трёхмерного куба с единичным ребром и сложения этого объема с объёмом ( ) единичных кубов.
Последняя задача также не имеет решения в целых числах, поскольку объём куба, определённый числом , состоит из объёмов удвоенных единичных кубов и объёма ( )единичных кубов.
В изложенном нами доказательстве теоремы не использованы никакие алгебраические или геометрические методы, которые не были бы известны эллинам и, соответственно, не находились бы в распоряжении великого Тулузского математика.
Отметим, что, как нам представляется, решения Ньютона и Ферма объединяет, несмотря на различную степень сложности и на принадлежность к различным областям математики принципиальная простота и естественное геометрическое целостное восприятие.
ЛИТЕРАТУРА
1. ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М. URSS. 2006, стр. 183-190.
2. Heath. T.L. A history of Greek Mathematics.v.1,2 .N. York. Claredon Press. 1981.
3. Клейн Ф. Лекции о развития математики в XIX столетии. Л-М., ОНТИ, 1936.
4. Poncelet J.V. Traites des propriete projectives des figures.Paris,1822.
5. Полищук Е.М. Софус Ли.М.,2008.
6. Euclid. Opera quae supesunt omnia. Oxoniae. Th. Sheld. 1703
7. Архимед. Сочинения. М. ГИФМЛ. 1962
8. Apollonius Pergaеus. Conicorum libri octo. Oxoniae. Th. Sheld. 1710
9. Brumbaugh Robert S. Plato's Mathematical Imagination. Bloomington, Indiana Univ. Press,1954
10. Аристотель. Соч. в четырех томах. М. Мысль. 1981
11. Фрагменты ранних греческих философов. Часть I.Наука.1989.
12. Прокл Диадох. Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение. Греко-латинский кабинет Ю.А.Шичалина. М., 1994
13. Гомер. Илиада. Л. Наука.1990.
14. Эллинские поэты. М.-Л. 1978.
15. Пиндар и Вакхилид. Оды. Фрагменты.М.Наука.1980.
16. Зайцев А. И. Культурный переворот в Древней Греции VIII - V вв. до н. э. - Л., 1985.
17. Аристотель. Аналитики // Аристотель. Соч. в четырех томах. т. II. М. Мысль. 1981.
18. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. М. Мысль, 1986.
19. Григорьева Н.И. Парадоксы платоновского «Тимея»: Диалог и гимн. // Поэтика древнегреческой литературы. М. Наука. 1981, стр. 59.
20. Newton I. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. v. I-IV. Genevae. Philibert. Туp.Barillot et Filii. 1739-1742.
21. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Кн. I, II, III. // Собр. трудов Ак. А.Н. Крылова, Т.VII, ИАН СССР, М-Л, 1936
22. Лурье С. Я. Теория бесконечно малых у древних атомистов. - М.-Л.: АН СССР, 1935.
23. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М., Наука, 1989,
24. Pappi Alexandrini. Collectiones quae supersunt. v. I, II. F. Hultsch. Berolini. 1887
25. Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах. М.Наука.1974.
26. Гельфонд А.О.Избранные труды. М. Наука,1973.
27. Риман Б.. Основы общей теории функций одной комплексной переменной. Сочинения. М -Л, 1948, стр. 49-87.
28. Рожанский И.Д. История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи.М.Наука.1988.
29. Лузин Н.Н. Переписка Н.Н. Лузина с А.Н. Крыловым. // Историко-математические исследования. - Вып. XXXI. - М.: Наука, 1989. - С.251-253.
30. Клайн М. Математика. Утрата определенности. - М.: Мир, 1984
31. Клайн М. Математика. Поиски истины. - М.: Мир, 1988.
32. Арнольд В.И.Что такое математика?МЦМНО.,2002
33. Арнольд В.И.Новый обскурантизм или российское просвещение. // Арнольд В.И. Избранное - 60. М.:ФАЗИС, 1997, с. 629-630.
34. Арнольд В.И. Антинаучная революция и математика. Вестник РАН, 1999, №6, с. 553-558.
35. Фихтенгольц Г.М.Курс дифференциального и интегрального исчисления. т.т. I,II,III. М. Наука.1966.
36. Архимед. Послание к Эратосфену о механических теоремах. Сочинения. ГИФМЛ. М, 1962, стр. 298-327.
37. Euler L. Institutionum calculi Integralis. v. I,II,III.Petropoli.,Akad.Imperialis Scientiarum. 1824.
38. Bruns H. Uber die Integrale des Viel-Korper Problem. Acta Math. v. 11. 1888. s. 25-96.
39. Tisserand. F.Traite de Me```````````````````````````````````````````````````````````````
40. canique Celeste.t.t., I- IV.1888.
41. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. I. // Пуанкаре А. Избр. труды. - Т. I. - М.: Наука, 1971.
42. Саймон Сингх. Великая теорема Ферма. МЦНМО, 2000.
43. Мануйлов К.В. Об интегрируемости дифференциальных уравнений движения системы N тяготеющих тел. Quaest. Phil. Nat. № 1. 1998. с. 29-58.
44. Мануйлов К.В. Конические сечения, Теорема Абеля и нелинейные задачи математической физики. Quaest. Phyl. Nat. № 2-3, 1998 - 1999. Стр. 8-54.
45. Соколов Л. Л., Холшевников К. В. Задача N тел и проблема интегрируемости. Астрономический институт СПбГУ(Лекция, прочитанная на ХХХIV-й студенческой научной конференции"Физика Космоса", Коуровка, 2005).
46. Арнольд В.И. Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в "Математических началах натуральной философии" И.Ньютона. Ист. мат. иссл., вып. XXXI. М., Наука, 1980, стр. 7-14.
47. Якоби К. Лекции по динамике. Л.-М. ОНТИ. 1936.
48. Риман Б. Теория абелевых функций. Сочинения. М.-Л. ГИТТЛ. 1948. С. 88-138.
49. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма (для любителей). М. Мир. 2003.
50. Е.Ч. Скржинская. Кэмбридский университет и Ньютон. // Исаак Ньютон М.-Л. ИАНСССР.1943, стр. 292-419.
51. Grand Laruss XIX siecle. t VII.1898.
52. Fermat P.Oeuvres v.I.,Paris, Gauthier-Villars.1891.
53. Schlafli L. On the Multiple Integral , whose Limits are . Gesamm. Math. Abhand. Bd. II. Basel. Birkhauser. 1953. s.220.
54. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии. Сочинения. М-Л, 1948, стр.279-293.