Занимательная математика

[rainy_]

Вспомните себя, ну какому школьнику интересно почему какой-то там блок перевешивает какой-то там груз или почему какой-то треугольник подобен другому. Зачастую задаешь себе вопрос - ну зечем мне всё это надо, эти уравнения парабол или формула кинетической энергии... А мне в голову иногда приходят жизненные задачи, где поневоле приходится вспоминать

Comments

[integral_lebega]

2) В каждой такой траектории и в каждый момент этой траектории, очевидно, существует точка на нашей палке, которая имеет одинаковые x и y координаты (прямые y=x и y=b-k*x, k>0, b>0, пересекаются в точке x=y=b/(k+1)). Кроме того, поскольку в начальный момент это один конец (0, 0*y(t_нач)), а в конечный момент - другой конец ((1-1)*x(t_кон),0), то по непрерывности для каждого С от 0 до 1 найдётся точка (С*х(t), (1-С)*y(t)) в какой-то момент движения t, такая, что эти координаты равны. (Функция С(t) в начале 0, в конце 1 и в процессе движения непрерывна - значит, принимает на этом отрезке все значения). Итак, для любого С от о до 1 найдётся d такое, что:

С*x=d
(1-C)*sqrt(L^2-x^2)=d

Выражаем из верхнего уравнения х, а из нижнего L. Получаем

L=d * sqrt(2C^2-2C+1) / (C*(1-C)).

Исходя из того, что в нашей траектории все точки внутри коридора, т.е. d<=a, получаем

L<=a * sqrt(2C^2-2C+1) / (C*(1-C)).

Числитель на интервале (0,1) убывает до 1/2 и возрастает после 1/2, знаменатель - наоборот, оба они больше 0, значит, максимальным будет L при C=1/2. Подставляем и получаем, что L<=a*2*sqrt(2).

C=0 и C=1 - это начальные и конечные положения палки, они не требуют дополнительных ограничений по длине.