Нил Стивенсон, Лев Толстой и математика
Герой романа Нила Стивенсона «Криптономикон» - математик Лоуренс Притчард Уотерхауз идет по Лондону. «[В Лондоне] бордюрный камень точно перпендикулярен улице, в отличии от Америки, где он имеет форму плавной логистической кривой [sigmoid curve]». Это мой буквальный перевод. К сожалению, в переводе Екатерины Доброхотовой в целом замечательном, именно в этом месте допущена неточность, что приводит к полному туману в условиях задачи, которую решает Уотерхауз. (У Доброхотовой первое предложение приведенного отрывка звучит так: «[В Лондоне] тротуары пересекаются под прямым углом». Но дальше я, в основном, последую за ее переводом.)
«Переход от тротуара к улице строго вертикальный. Если бы на голову Уотерхаузу поместили зеленую лампочку и наблюдали за ним сбоку во время затемнения, его траектория выглядела бы как прямоугольные импульсы на экране осциллографа - вверх, вниз, вверх, вниз».
Уотерхауз идет, периодически пересекая улицы. И в этот момент резко опускается вниз. Перейдя улицу - поднимается на тротуар. Лампочка рисует ломаную.
«Происходи это в Америке, импульсы располагались бы равномерно, примерно по двенадцать на милю, потому что в его родном городе улицы образуют правильную решетку».
Вот такую:
Здесь: узкие глубокие впадины - это улицы, которые разделяют тротуары. Так происходит потому, что человек - законопослушный американец или лондонец - ходит в основном по тротуарам, а не по проезжей части. «В Лондоне схема улиц нерегулярна и распределение квадратных волн выглядит случайным: иногда они сменяются часто, иногда редко. Ученый, которому показали бы эти прямоугольные импульсы, вероятно, отчаялся бы отыскать в них какую-нибудь закономерность; больше всего они походили бы на случайную последовательность, определяемую космическими лучами или распадом радиоактивного изотопа».
Лампочка, на голове у лондонца рисует другую картинку:
Детектор космических лучей или детектор частиц, вылетающих из образца при радиоактивном распаде, действительно можно использовать как физический генератор случайных чисел.
«Другое дело, если этот ученый мыслил бы глубоко и оригинально. Глубины понимая можно достичь, поместив зеленую лампочку на голову каждого пешехода в Лондоне и записывая траектории в течение нескольких ночей. В результате получится толстая кипа миллиметровки с графиками, каждый из которых будет казаться совершенно случайным. Чем толще кипа, тем шире охват».
«Оригинальность ума - отдельное дело. Никто не знает, в чем тут финт. Один посмотрит на кипу меандров и не увидит ничего, кроме шума. Другой ощутит странный трепет, непонятный тому, кто подобного не испытывал. Некий глубинный отдел мозга, настроенный на поиск закономерностей (или наличия закономерностей) проснется и прикажет тупой будничной части мозга смотреть на кипу миллиметровки».
Поиск закономерностей и поиск наличия закономерностей - разные задачи. Если ты точно знаешь, что закономерность есть, - ты ее почти наверняка найдешь. Угадать, есть ли в бессмысленном, на первый взгляд, наборе данных скрытая закономерность, бывает куда труднее, чем ее отыскать. Герой фильма «Игры разума» сорвал крышу, как раз пытаясь понять - есть ли закономерность в хаосе исследованных им газетных и журнальных вырезок, а вот когда ему предъявили набор данных, в которых закономерность точно была - это знали вояки, пригласившие героя для консультации, - он эту закономерность быстро обнаружил.
«Сигнал слабый и не всегда осмысленный, но человек просиживает сутками, перебирая кипу бумаг, как аутист, расстилает их по полу, сортирует на кучки по некой неведомой системе, подписывает цифирки и буквы мертвых алфавитов, рисует стрелки, ищет похожие места, сопоставляет их между собой. Однажды этот человек выйдет из кабинета с подробной картой Лондона, восстановленной по графикам прямоугольных импульсов».
В целом похоже на мои собственные впечатления. В мозгу математика идет постоянный процесс распознавания закономерностей бытия. Обычно он происходит не на улице, а в дебрях математических формализмов, которые впрочем «дебрями» может назвать только человек малосведущий. Вовсе несведущий просто не знает об их существовании. Для математика эти дебри прозрачны, как весенний лес. Там много света. Все эти странные картинки и непонятные крючки, которые так смущают обычного человека, на самом деле однозначно интерпретируются, более того они способны к самодвижению и могут этим своим движением будить мысль. Они живут. Если «модель покрутить» и «икса погонять» - они могут натолкнуть на верную дорогу, потому что обладают собственной «волей»: есть направления, в которых они движутся легко, а есть такие в которых они двигаться отказываются наотрез.
Начинается все так, как описал Стивенсон, - с конкретного, познанного, привычного, и потому реального.
Реальность для разных людей выглядит совершенно по-разному, то что одному кажется мудреной абстракций, другому знакомо, как любимая кошка. Владимир Набоков сказал: «Реальность - вещь весьма субъективная. Я могу определить ее только как своего рода постепенное накопление сведений и как специализацию. Если мы возьмем, например, лилию или какой-нибудь другой природный объект, то для натуралиста лилия более реальна, чем для обычного человека. Но она куда более реальна для ботаника. А еще одного уровня реальности достигает тот ботаник, который специализируется по лилиям. Можно, так сказать, подбираться к реальности все ближе и ближе; но все будет недостаточно близко, потому что реальность - это бесконечная последовательность ступеней, уровней восприятия, двойных донышек, и потому она неиссякаема и недостижима. Вы можете узнавать все больше о конкретной вещи, но вы никогда не сможете узнать о ней всего: это безнадежно».
Так что реальность у каждого своя. Но она у каждого есть. От нее и начинается подъем к широким обобщениям или спуск в глубокие расщелины специализации.
Человек идет по улице и замечает, что бордюры в Лондоне устроены не так как в Америке. Потом возникает догадка подкрепленная языком описания - без подходящего языка догадка неоформлена, она еще только ощущение. Мы делаем шаг абстрагирования и видим уже не человека, который идет по улице Лондона, а осциллограф, который рисует его маршрут. Уровень тротуара - уровень улицы - уровень тротуара. Квадратная волна. Длительности случайны. Закономерность не просматривается. Здесь нужен еще один шаг - и это шаг вверх.
Мы отступаем от наблюдаемого объекта, чтобы увидеть картинку целиком, с другого ракурса, с высоты. Мы понимаем, что так движутся все люди, и каждый из них порождает подобный сигнал. Причем - вот важнейший момент - люди движутся по одним и тем же улицам, и значит порождаемые сигналы периодически будут совпадать. Легкий толчок понимания. Дальше мы перестраиваем язык, и начинаем отыскивать инварианты - некие постоянные в этом хаотическом движении.
Мы работает уже не с людьми, идущими по улице, не с ломаной на осциллографе, а с наборами чисел: 200, 150, 50, 213, 121…, которые отражают расстояние от одной улицы до другой в метрах. Мы начинаем сравнить разные наборы и замечаем, что в них есть совпадающие отрезки. Люди постоянно ходят по одним и тем же тротуарам, пересекают одни и те же улицы. Люди ходят по всему Лондону. Мы начинаем угадывать, когда в этом нерегулярном, почти случайном движении они идут по совпадающим маршрутам. Вот, например, как можно найти перекресток. Возьмем два набора, которые совпадают от n-го члена до m-го, а потом опять различаются. То место, где они начали совпадать - вполне возможно перекресток (не обязательно это один и тот же перекресток, поскольку два человека могли идти по параллельным улицам).
Здесь есть любопытная деталь. Если сетка регулярная, как в Америке, все последовательности, сколько бы мы их не собрали, будут различаться только количеством элементов. Если на милю приходится примерно 12 улиц, набор выглядит так: 130, 130, 130, 130… Мы сможем вычислить, сколько в городе улиц, но мы не сможем выяснить их взаимного расположения, они все для нас будут одинаковые. А вот в Лондоне мы соберем гораздо более содержательную информацию.
Представьте себе, что вам нужно собрать достаточно большой паззл, который состоит из одинаковых квадратиков. Это очень трудная задача. Любой квадратик по своей форме будет подходить к любому месту общей картины. Сложить-то квадратики мы сложим, а вот картинку вряд ли получим. Поэтому во всех паззлах все детальки имеют разную форму и подходят в точности только к одному месту на картинке, и мы можем ориентироваться на их форму в процессе собирания фрагментов. Точно также мы можем опереться на нерегулярность лондонских улиц в нашей задаче.
Если мы вооружимся компьютером и будем располагать хорошей статистикой движения лондонцев, скажем за год, мы с высокой точностью вычислим взаимное расположение улиц - для этого достаточно найти все перекрестки в городе.
Зачем это нужно? Это же бред сивых кобыл и брёх злобных коблов? Ходи и смотри - и план рисуй, скажет рассерженный читатель. Но все обстоит не так просто. Решая нашу задачу, мы сделали большое дело. Мы смогли набросать алгоритм, который при наличии необходимых данных и уточнении существенных деталей позволит, исходя из совершенно случайной, на первый взгляд, информации, получить вполне содержательный план города. А ведь когда мы исследуем природу, вся информация, которую мы получаем первоначально, кажется случайной. Человек незнакомый с наблюдательной астрономией видит на небе только звездный хаос.
В задаче Уотерхауза мы просто на эту случайную информацию немного обобщили, и вдруг проявились строгие закономерности.
Стивенсон в качестве эпиграфа к роману «Криптономикон» берет слова Алана Тьюринга: «Существует удивительно близкая параллель между задачами физика и криптографа. Система, по которой зашифровано сообщение, соответствует законам Вселенной, перехваченные сообщения - имеющимся наблюдениям, ключи дня или сообщения - фундаментальным константам, которые надо определить. Сходство велико, но с предметом криптографии очень легко оперировать при помощи дискретных механизмов, физика же не так проста».
Поэт постоянно что-то бормочет, переставляя слова, перебирая синонимы, прощупывая семантические обертоны, вслушиваясь в созвучия, трогая их связками, перекатывая на языке. Художник непрерывно рисует, даже когда у него нет под рукой карандаша. Это происходит почти инстинктивно..
Математик строит модели, абстрагирует и обобщает реальные данные, углубляется в подробности, отбрасывает несущественное. Это происходит постоянно и почти инстинктивно. И вдруг - толчок узнавания
В этот момент нужно остановиться и спросить себя: «А как это выглядит на самом деле?» Этот вопрос - начало решения, потому что он подразумевает, что мы уже знаем, как распознать бесконечное число тупиковых вариантов, которые к решению точно не приведут. Возможно, это и есть момент непосредственного созерцания, момент проявления целого, осознание границы.
А теперь возьмем другой пример. У Льва Толстого есть рассказ «Много ли человеку земли нужно». Его сюжет Толстой придумал (или узнал), когда поехал покупать землю в башкирской степи. Земля там была дешевая, потому что степь была далеко от больших городов. (Потом провели железную дорогу, и земля подорожала на порядок. Это была дальновидная инвестиция). А деньги у графа как раз появились - после издания «Войны и мира» он хорошо заработал. Видимо, он подумал, что лучше вложить деньги в покупку земли, а то ведь опять поставишь на какую-нибудь семерку червовую, и гуляй Вася. Впрочем, рассказ был написан через много лет после башкирского путешествия и опубликован в 1886 году.
Степь казалась необозримой. Зачем человеку столько земли?
http://novymirjournal.ru/index.php/blogs/entry/dve-kultury-nil-stivenson-i-lev-tolstoj
«Переход от тротуара к улице строго вертикальный. Если бы на голову Уотерхаузу поместили зеленую лампочку и наблюдали за ним сбоку во время затемнения, его траектория выглядела бы как прямоугольные импульсы на экране осциллографа - вверх, вниз, вверх, вниз».
Уотерхауз идет, периодически пересекая улицы. И в этот момент резко опускается вниз. Перейдя улицу - поднимается на тротуар. Лампочка рисует ломаную.
«Происходи это в Америке, импульсы располагались бы равномерно, примерно по двенадцать на милю, потому что в его родном городе улицы образуют правильную решетку».
Вот такую:
Здесь: узкие глубокие впадины - это улицы, которые разделяют тротуары. Так происходит потому, что человек - законопослушный американец или лондонец - ходит в основном по тротуарам, а не по проезжей части. «В Лондоне схема улиц нерегулярна и распределение квадратных волн выглядит случайным: иногда они сменяются часто, иногда редко. Ученый, которому показали бы эти прямоугольные импульсы, вероятно, отчаялся бы отыскать в них какую-нибудь закономерность; больше всего они походили бы на случайную последовательность, определяемую космическими лучами или распадом радиоактивного изотопа».
Лампочка, на голове у лондонца рисует другую картинку:
Детектор космических лучей или детектор частиц, вылетающих из образца при радиоактивном распаде, действительно можно использовать как физический генератор случайных чисел.
«Другое дело, если этот ученый мыслил бы глубоко и оригинально. Глубины понимая можно достичь, поместив зеленую лампочку на голову каждого пешехода в Лондоне и записывая траектории в течение нескольких ночей. В результате получится толстая кипа миллиметровки с графиками, каждый из которых будет казаться совершенно случайным. Чем толще кипа, тем шире охват».
«Оригинальность ума - отдельное дело. Никто не знает, в чем тут финт. Один посмотрит на кипу меандров и не увидит ничего, кроме шума. Другой ощутит странный трепет, непонятный тому, кто подобного не испытывал. Некий глубинный отдел мозга, настроенный на поиск закономерностей (или наличия закономерностей) проснется и прикажет тупой будничной части мозга смотреть на кипу миллиметровки».
Поиск закономерностей и поиск наличия закономерностей - разные задачи. Если ты точно знаешь, что закономерность есть, - ты ее почти наверняка найдешь. Угадать, есть ли в бессмысленном, на первый взгляд, наборе данных скрытая закономерность, бывает куда труднее, чем ее отыскать. Герой фильма «Игры разума» сорвал крышу, как раз пытаясь понять - есть ли закономерность в хаосе исследованных им газетных и журнальных вырезок, а вот когда ему предъявили набор данных, в которых закономерность точно была - это знали вояки, пригласившие героя для консультации, - он эту закономерность быстро обнаружил.
«Сигнал слабый и не всегда осмысленный, но человек просиживает сутками, перебирая кипу бумаг, как аутист, расстилает их по полу, сортирует на кучки по некой неведомой системе, подписывает цифирки и буквы мертвых алфавитов, рисует стрелки, ищет похожие места, сопоставляет их между собой. Однажды этот человек выйдет из кабинета с подробной картой Лондона, восстановленной по графикам прямоугольных импульсов».
В целом похоже на мои собственные впечатления. В мозгу математика идет постоянный процесс распознавания закономерностей бытия. Обычно он происходит не на улице, а в дебрях математических формализмов, которые впрочем «дебрями» может назвать только человек малосведущий. Вовсе несведущий просто не знает об их существовании. Для математика эти дебри прозрачны, как весенний лес. Там много света. Все эти странные картинки и непонятные крючки, которые так смущают обычного человека, на самом деле однозначно интерпретируются, более того они способны к самодвижению и могут этим своим движением будить мысль. Они живут. Если «модель покрутить» и «икса погонять» - они могут натолкнуть на верную дорогу, потому что обладают собственной «волей»: есть направления, в которых они движутся легко, а есть такие в которых они двигаться отказываются наотрез.
Начинается все так, как описал Стивенсон, - с конкретного, познанного, привычного, и потому реального.
Реальность для разных людей выглядит совершенно по-разному, то что одному кажется мудреной абстракций, другому знакомо, как любимая кошка. Владимир Набоков сказал: «Реальность - вещь весьма субъективная. Я могу определить ее только как своего рода постепенное накопление сведений и как специализацию. Если мы возьмем, например, лилию или какой-нибудь другой природный объект, то для натуралиста лилия более реальна, чем для обычного человека. Но она куда более реальна для ботаника. А еще одного уровня реальности достигает тот ботаник, который специализируется по лилиям. Можно, так сказать, подбираться к реальности все ближе и ближе; но все будет недостаточно близко, потому что реальность - это бесконечная последовательность ступеней, уровней восприятия, двойных донышек, и потому она неиссякаема и недостижима. Вы можете узнавать все больше о конкретной вещи, но вы никогда не сможете узнать о ней всего: это безнадежно».
Так что реальность у каждого своя. Но она у каждого есть. От нее и начинается подъем к широким обобщениям или спуск в глубокие расщелины специализации.
Человек идет по улице и замечает, что бордюры в Лондоне устроены не так как в Америке. Потом возникает догадка подкрепленная языком описания - без подходящего языка догадка неоформлена, она еще только ощущение. Мы делаем шаг абстрагирования и видим уже не человека, который идет по улице Лондона, а осциллограф, который рисует его маршрут. Уровень тротуара - уровень улицы - уровень тротуара. Квадратная волна. Длительности случайны. Закономерность не просматривается. Здесь нужен еще один шаг - и это шаг вверх.
Мы отступаем от наблюдаемого объекта, чтобы увидеть картинку целиком, с другого ракурса, с высоты. Мы понимаем, что так движутся все люди, и каждый из них порождает подобный сигнал. Причем - вот важнейший момент - люди движутся по одним и тем же улицам, и значит порождаемые сигналы периодически будут совпадать. Легкий толчок понимания. Дальше мы перестраиваем язык, и начинаем отыскивать инварианты - некие постоянные в этом хаотическом движении.
Мы работает уже не с людьми, идущими по улице, не с ломаной на осциллографе, а с наборами чисел: 200, 150, 50, 213, 121…, которые отражают расстояние от одной улицы до другой в метрах. Мы начинаем сравнить разные наборы и замечаем, что в них есть совпадающие отрезки. Люди постоянно ходят по одним и тем же тротуарам, пересекают одни и те же улицы. Люди ходят по всему Лондону. Мы начинаем угадывать, когда в этом нерегулярном, почти случайном движении они идут по совпадающим маршрутам. Вот, например, как можно найти перекресток. Возьмем два набора, которые совпадают от n-го члена до m-го, а потом опять различаются. То место, где они начали совпадать - вполне возможно перекресток (не обязательно это один и тот же перекресток, поскольку два человека могли идти по параллельным улицам).
Здесь есть любопытная деталь. Если сетка регулярная, как в Америке, все последовательности, сколько бы мы их не собрали, будут различаться только количеством элементов. Если на милю приходится примерно 12 улиц, набор выглядит так: 130, 130, 130, 130… Мы сможем вычислить, сколько в городе улиц, но мы не сможем выяснить их взаимного расположения, они все для нас будут одинаковые. А вот в Лондоне мы соберем гораздо более содержательную информацию.
Представьте себе, что вам нужно собрать достаточно большой паззл, который состоит из одинаковых квадратиков. Это очень трудная задача. Любой квадратик по своей форме будет подходить к любому месту общей картины. Сложить-то квадратики мы сложим, а вот картинку вряд ли получим. Поэтому во всех паззлах все детальки имеют разную форму и подходят в точности только к одному месту на картинке, и мы можем ориентироваться на их форму в процессе собирания фрагментов. Точно также мы можем опереться на нерегулярность лондонских улиц в нашей задаче.
Если мы вооружимся компьютером и будем располагать хорошей статистикой движения лондонцев, скажем за год, мы с высокой точностью вычислим взаимное расположение улиц - для этого достаточно найти все перекрестки в городе.
Зачем это нужно? Это же бред сивых кобыл и брёх злобных коблов? Ходи и смотри - и план рисуй, скажет рассерженный читатель. Но все обстоит не так просто. Решая нашу задачу, мы сделали большое дело. Мы смогли набросать алгоритм, который при наличии необходимых данных и уточнении существенных деталей позволит, исходя из совершенно случайной, на первый взгляд, информации, получить вполне содержательный план города. А ведь когда мы исследуем природу, вся информация, которую мы получаем первоначально, кажется случайной. Человек незнакомый с наблюдательной астрономией видит на небе только звездный хаос.
В задаче Уотерхауза мы просто на эту случайную информацию немного обобщили, и вдруг проявились строгие закономерности.
Стивенсон в качестве эпиграфа к роману «Криптономикон» берет слова Алана Тьюринга: «Существует удивительно близкая параллель между задачами физика и криптографа. Система, по которой зашифровано сообщение, соответствует законам Вселенной, перехваченные сообщения - имеющимся наблюдениям, ключи дня или сообщения - фундаментальным константам, которые надо определить. Сходство велико, но с предметом криптографии очень легко оперировать при помощи дискретных механизмов, физика же не так проста».
Поэт постоянно что-то бормочет, переставляя слова, перебирая синонимы, прощупывая семантические обертоны, вслушиваясь в созвучия, трогая их связками, перекатывая на языке. Художник непрерывно рисует, даже когда у него нет под рукой карандаша. Это происходит почти инстинктивно..
Математик строит модели, абстрагирует и обобщает реальные данные, углубляется в подробности, отбрасывает несущественное. Это происходит постоянно и почти инстинктивно. И вдруг - толчок узнавания
В этот момент нужно остановиться и спросить себя: «А как это выглядит на самом деле?» Этот вопрос - начало решения, потому что он подразумевает, что мы уже знаем, как распознать бесконечное число тупиковых вариантов, которые к решению точно не приведут. Возможно, это и есть момент непосредственного созерцания, момент проявления целого, осознание границы.
А теперь возьмем другой пример. У Льва Толстого есть рассказ «Много ли человеку земли нужно». Его сюжет Толстой придумал (или узнал), когда поехал покупать землю в башкирской степи. Земля там была дешевая, потому что степь была далеко от больших городов. (Потом провели железную дорогу, и земля подорожала на порядок. Это была дальновидная инвестиция). А деньги у графа как раз появились - после издания «Войны и мира» он хорошо заработал. Видимо, он подумал, что лучше вложить деньги в покупку земли, а то ведь опять поставишь на какую-нибудь семерку червовую, и гуляй Вася. Впрочем, рассказ был написан через много лет после башкирского путешествия и опубликован в 1886 году.
Степь казалась необозримой. Зачем человеку столько земли?
http://novymirjournal.ru/index.php/blogs/entry/dve-kultury-nil-stivenson-i-lev-tolstoj