Проект "логика для чайников". Параграф 38
Калейдоскоп понятий
Доказанное и истинное, ложное и опровергнутое... как это все соотносится друг с другом?
Доказанное
Доказанным называют утверждение, которое выводится из аксиом по “правилам вывода”. Аксиомы считаются доказанными изначально. В применении к повседневности это значит, что у людей есть какие-то “точки соприкосновения”, какие-то вопросы, по которым они изначально уже согласны между собой - это своего рода “аксиомы”. Далее люди пытаются достичь согласия по спорным вопросам, строя доказательства с опорой на “аксиомы”. Вопрос о том, как были доказаны сами аксиомы (и были ли доказаны вообще) остается за кадром.
Истинное
Истинным называют утверждение, которое удовлетворяет некоторому “критерию истинности”. В серии “логика для чайников” я предлагаю свой критерий, который мне кажется не слишком идеологичным и достаточно универсальным. По нему истиным называются те утверждения, которые соблюдают строгое соответствие между словами и явлениями, которые эти слова должны описать. А соответствие закрепляется в языке - системой соглашений о той, что как называть.
Истинное - доказанное
Как связать эти два понятия? Истинное - то, что удовлетворяет критерию... а доказанное - то, что выводится из аксиом. Нам нужен такой “вывод”, чтобы всегда получалось истинное. Для этого надо соблюсти всего два условия:
1. Всякая аксиома должна быть истинной.
2. Всякое “правило вывода” должно выводить из истинного только истинное, всегда.
Если считать логику набором подобных правил, то становится ясно, откуда эта строгость. Стоит один раз допустить немного лжи - ввести ложную аксиому или ввести правило вывода может вывести ложное утверждение - и все, идеальная конструкция разрушается. Однажды допущенная в нее ложь, может распространиться дальше - на выводы.
Одного парадокса Рассела достаточно, чтобы ниспровергнуть “наивную” теорию множеств. Пришлось математикам отказаться от нее и строить новые теории. Хотя, казалось бы, прежняя теория в огромном количестве случаев работала.
Ложное
Если мы остаемся в пределах двузначной логики, тогда ложными будут все утверждения, которые отрицают истинные. То есть, добавление операции “НЕ” к истинному высказыванию конструирует новое высказывание, которое ложно. И наоборот: добавление операции “НЕ” к ложному высказыванию конструирует новое высказывание, которое истинно. В языке в самом общем случае это реализуется добавлением в начало предложения слов “Неправда, что...”
Опровергнутое
Говорят, что высказывание X опровергнуто, если доказано его отрицание НЕ X. Всего то. Опровержением X называется доказательство НЕ X.
Опровергнутое - ложное
Если соблюдать два условия, приведенных выше, то всякое доказанное окажется истинным, а всякое опровергнутое - ложным.
Истинное, но не доказанное; ложное, но не опровергнутое
Замечу, что обратное необязательно верно: иногда для истинного может не найтись подходящего логического доказательства, а для ложного - опровержения.
Но это еще не конец: помимо логических доказательств есть экспериментальные. Помните: “истина - это называние вещей своими именами”? Не можете доказать словами, поставьте эксперимент и убедитесь. А если не можете поставить эксперимент... тогда с чего вы взяли, что имеете дело с истиной? “Жопой чую” - не аргумент.
Не ложное и не истинное
Даже в двузначной логике не про всякое высказывание можно с уверенностью сказать, что оно ложно, или истинно. Есть еще такие, для которых в какой-то момент истинность еще не установлена. Например, истинно или ложно (X И Y)? Это зависит от X и от Y. Пока не выясним, не узнаем, истинность (X И Y).
Непознанное, неизвестное, недоказанное
Такое состояние неопределенности - это вовсе не третье значение истинности. Значений истинности по-прежнему два. Это одно из состояний для нашего знания об истинности. Может быть:
1. знаем, что истинное
2. знаем, что ложное
3. не знаем, истинно или ложно
Третье состояние “незнания” может иметь бесконечное число вариантов. В том примере есть X, и есть Y. Если мы узнаем про X, это еще не значит, что мы узнаем про Y. Получается, это - разные “незнания”, по одному “незнанию” на каждую переменную (вернее, на каждую “свободную” переменную). В математике есть одно очень красноречивое название для переменных: “неизвестная”. Именно так - не известно, не знаю.
Первое состояние (аналогично и второе) тоже допускает варианты. Откуда мы знаем, что нечто истинно? Может быть, это доказано логически, может, экспериментально, может, и так, и эдак. Опять же, может быть несколько вариантов логических доказательств...
Истинность и смысл
Мы можем говорить об истинности или ложности высказываний, но это еще не все, что содержится в тексте. Истинность - только часть информации. Обычно высказывание несет дополнительные знания о мире. Высказывания “цыпленок желтый” и “трава зеленая” - оба истинны, но говорят о разном. Когда мы указываем истинность, мы “извлекаем” из текста лишь небольшой кусочек - знание о том, насколько текст соответствует явлению.
Я буду использовать символ Tr для того, чтобы обозначать эту операцию извлечения истинности.
Например:
Tr(“трава зеленая”) = true
Tr(“цыпленок зеленый”) = false
Доказанное и истинное, ложное и опровергнутое... как это все соотносится друг с другом?
Доказанное
Доказанным называют утверждение, которое выводится из аксиом по “правилам вывода”. Аксиомы считаются доказанными изначально. В применении к повседневности это значит, что у людей есть какие-то “точки соприкосновения”, какие-то вопросы, по которым они изначально уже согласны между собой - это своего рода “аксиомы”. Далее люди пытаются достичь согласия по спорным вопросам, строя доказательства с опорой на “аксиомы”. Вопрос о том, как были доказаны сами аксиомы (и были ли доказаны вообще) остается за кадром.
Истинное
Истинным называют утверждение, которое удовлетворяет некоторому “критерию истинности”. В серии “логика для чайников” я предлагаю свой критерий, который мне кажется не слишком идеологичным и достаточно универсальным. По нему истиным называются те утверждения, которые соблюдают строгое соответствие между словами и явлениями, которые эти слова должны описать. А соответствие закрепляется в языке - системой соглашений о той, что как называть.
Истинное - доказанное
Как связать эти два понятия? Истинное - то, что удовлетворяет критерию... а доказанное - то, что выводится из аксиом. Нам нужен такой “вывод”, чтобы всегда получалось истинное. Для этого надо соблюсти всего два условия:
1. Всякая аксиома должна быть истинной.
2. Всякое “правило вывода” должно выводить из истинного только истинное, всегда.
Если считать логику набором подобных правил, то становится ясно, откуда эта строгость. Стоит один раз допустить немного лжи - ввести ложную аксиому или ввести правило вывода может вывести ложное утверждение - и все, идеальная конструкция разрушается. Однажды допущенная в нее ложь, может распространиться дальше - на выводы.
Одного парадокса Рассела достаточно, чтобы ниспровергнуть “наивную” теорию множеств. Пришлось математикам отказаться от нее и строить новые теории. Хотя, казалось бы, прежняя теория в огромном количестве случаев работала.
Ложное
Если мы остаемся в пределах двузначной логики, тогда ложными будут все утверждения, которые отрицают истинные. То есть, добавление операции “НЕ” к истинному высказыванию конструирует новое высказывание, которое ложно. И наоборот: добавление операции “НЕ” к ложному высказыванию конструирует новое высказывание, которое истинно. В языке в самом общем случае это реализуется добавлением в начало предложения слов “Неправда, что...”
Опровергнутое
Говорят, что высказывание X опровергнуто, если доказано его отрицание НЕ X. Всего то. Опровержением X называется доказательство НЕ X.
Опровергнутое - ложное
Если соблюдать два условия, приведенных выше, то всякое доказанное окажется истинным, а всякое опровергнутое - ложным.
Истинное, но не доказанное; ложное, но не опровергнутое
Замечу, что обратное необязательно верно: иногда для истинного может не найтись подходящего логического доказательства, а для ложного - опровержения.
Но это еще не конец: помимо логических доказательств есть экспериментальные. Помните: “истина - это называние вещей своими именами”? Не можете доказать словами, поставьте эксперимент и убедитесь. А если не можете поставить эксперимент... тогда с чего вы взяли, что имеете дело с истиной? “Жопой чую” - не аргумент.
Не ложное и не истинное
Даже в двузначной логике не про всякое высказывание можно с уверенностью сказать, что оно ложно, или истинно. Есть еще такие, для которых в какой-то момент истинность еще не установлена. Например, истинно или ложно (X И Y)? Это зависит от X и от Y. Пока не выясним, не узнаем, истинность (X И Y).
Непознанное, неизвестное, недоказанное
Такое состояние неопределенности - это вовсе не третье значение истинности. Значений истинности по-прежнему два. Это одно из состояний для нашего знания об истинности. Может быть:
1. знаем, что истинное
2. знаем, что ложное
3. не знаем, истинно или ложно
Третье состояние “незнания” может иметь бесконечное число вариантов. В том примере есть X, и есть Y. Если мы узнаем про X, это еще не значит, что мы узнаем про Y. Получается, это - разные “незнания”, по одному “незнанию” на каждую переменную (вернее, на каждую “свободную” переменную). В математике есть одно очень красноречивое название для переменных: “неизвестная”. Именно так - не известно, не знаю.
Первое состояние (аналогично и второе) тоже допускает варианты. Откуда мы знаем, что нечто истинно? Может быть, это доказано логически, может, экспериментально, может, и так, и эдак. Опять же, может быть несколько вариантов логических доказательств...
Истинность и смысл
Мы можем говорить об истинности или ложности высказываний, но это еще не все, что содержится в тексте. Истинность - только часть информации. Обычно высказывание несет дополнительные знания о мире. Высказывания “цыпленок желтый” и “трава зеленая” - оба истинны, но говорят о разном. Когда мы указываем истинность, мы “извлекаем” из текста лишь небольшой кусочек - знание о том, насколько текст соответствует явлению.
Я буду использовать символ Tr для того, чтобы обозначать эту операцию извлечения истинности.
Например:
Tr(“трава зеленая”) = true
Tr(“цыпленок зеленый”) = false