Проект "логика для чайников". Параграф 22.
Как ни старался, этот параграф получился трудноват для понимания :(
Применение аксиом
Я писал о том, что аксиомы Гильберта (в отличие от аксиом Евклида) не опираются на воображение, связанное с восприятием окружающих предметов в пространстве.
Я здесь не буду приводить все 20 аксиом. Приведу только три, которые упоминаются в примерах. Заодно, как говорится, “почувствуете разницу”.
I.2: Дано две точки. Существует не более одной прямой, содержащей обе точки.
Сравните:
“Через две разные точки можно провести только одну прямую”.
Во втором варианте немножко примешано пространственное воображение: говорится о том, чтобы “провести” прямую - сразу представляется проведение по линейке или что-то в этом роде.
II.2: Даны две точки A и C. Существует точка B, на прямой AC такая, что C лежит между A и B.
Это самое “междулежание” тоже можно представлять себе мысленно в виде зрительного образа. Но у Гильберта “междулежание” - всего лишь абстрактное отношение между тремя точками. Т.е. можно было бы заменить слова “лежит между” на “хрюкает про” или выдумать какой-нибудь новый термин вроде “оффицирует”.
IV.1: Дана прямая m, точка A и плоскость. Плоскость содержит прямую m и точку A. Прямая m не содержит точку A. В данной плоскости есть не более одной прямой, которая содержит точку A, но не содержит ни одной точки прямой m.
Сравните:
“Через точку, не лежащую на первой прямой можно провести не более одной прямой, параллельной первой, и лежащей в той же плоскости”.
Формулировка Гильберта более сухая, длинная, менее наглядная, не задействует воображение. Хотя, в принципе, в обоих вариантах говорится об одном и том же.
Дальше я буду ссылаться на три приведенные аксиомы по номерам: I.2, II.2, IV.1.
Раз уж удалось отделить систему аксиом от формы предметов в пространстве, то нельзя ли в таком случае применить эти аксиомы не к пространству, а к чему-нибудь другому?
Да, можно. Вот пример из школьной программы. Когда в курсе физики проходят колебания, то рисуют синусоиды и прочие кривые, иллюстрирующие колебательный процесс. При этом по горизонтали откладывают время, а по вертикали - отклонение маятника или другого колеблющегося тела.
Казалось бы - обычная декартова система координат, которую проходят как раз в курсе геометрии. Но обратите внимание, что на этих графиках откладывается время. Ось времени на бумаге лежит в пространстве, но настоящее время ведь не лежит в пространстве. То есть, картинка вообще-то не соответствует окружающему миру.
При рисовании вместо времени применяется одно из пространственных измерений. Помните прикол насчет стула, стола и пивной кружки? Здесь время - своего рода пивная кружка. Поскольку пространство-время подчиняется тем же самым аксиомам геометрии, что и линии на бумаге, то колебание можно нарисовать линиями.
Вместо отклонения маятника можно взять, скажем, температуру какого-то агрегата. Получится уже не пространство-время, а температуро-время.
Вывод: иногда аксиоматика может использоваться не только для той цели, для которой первоначально создавалась.
Другой вопрос: если аксиомы геометрии в современной математике так тщательно отделены от форм предметов, то нельзя ли заменить какие-то аксиомы? Как следует называть измененную аксиоматику? “Правильной?” “Истинной?”
Заменить можно. При этом получится другая аксиоматика. В ней тоже может быть “все хорошо” - в том смысле, что никаких противоречий не найдется.
Самый известный пример - геометрия Лобачевского. Там заменили одну аксиому IV.1 (см.) на противоположную. Конкретнее, заменили слова “не более одной прямой ” на “более одной прямой”.
Геометрия Лобачевского не будет соответствовать нашим понятиям о прямых предметах в окружающем пространстве. По крайней мере, с аксиомой IV.1 возникнут трудности.
Однако, если подходить чисто абстрактно (как "стул, стол, пивная кружка"), то в геометрии Лобачевского никто не смог найти противоречий.
Геометрия Лобачевского находит свое применение, но не для описания форм предметов, а в хитрых теориях, до которых простому смертному мало дела. Я приведу пример попроще для иллюстрации.
В аксиомах Гильберта ничего не сказано о том, что прямые надо рисовать по линейке на плоском листе бумаги. Тогда я волен поступать по-своему, и считать прямыми нечто иное. Ну например можно рисовать все не на листе бумаги, который лежит на столе, а на глобусе; и прямыми считать любые линии, проведенные на нем по линейке. Тут понадобится тонкая гибкая линейка - пластиковая или стальная, чтобы хорошо гнулась в одну сторону. Обернув линейку вокруг глобуса, можно провести, например, экватор.
В результате у нас получится “странная” геометрия, в которой “прямой” называется то, что в обычной геометрии называется “окружностью”. В этой геометрии не выполняется, например, аксиома I.2 (см.). Ставим точки на южном и северном полюсе. В результате мы сможем провести через две точки две “прямые” - вдоль разных меридианов.
Эта геометрия, хотя и “странная”, но тоже может быть описана каким-нибудь набором аксиом. Это будет неевклидова геометрия потому, что по крайней мере одна из аксиом Евклида (I.2) в ней не выполняется. В математике есть геометрия Римана, которая немного похожа на эту.
Если бы мы попытались применить “странную” геометрию для описания нормальных прямых на плоскости, у нас были бы проблемы. Если бы мы попытались применить евклидову геометрию для описания “прямых” на глобусе, у нас тоже были бы проблемы. Обратите внимание: нельзя сказать, что евклидова геометрия вообще неправильная или правильная, что ее аксиомы ложны или истинны “вообще”. Все зависит от способа ее применения.
Вывод: перед применением аксиоматики в новой области надо убедиться, что она там будет работать.
Для того, чтобы убедиться в этом, надо проверить аксиомы и правила вывода. Как это делается, я уже говорил в параграфе “доказательство аксиом”. В предыдушем параграфе, когда отрезок делился на все более мелкие части, демонстрировалась проверка аксиомы II.2.
При проверке аксиом обычно выясняется, что они действительно подтверждаются, но только до определенного предела или с какой-то погрешностью.
В примере с проверкой аксиомы II.2 до определенного предела все подтверждалось, а потом возникли проблемы, так как карандаш был недостаточно острым. Применяя аксиомы в реальной жизни, приходится постоянно “оглядываться” на подобные пределы, погрешности и прочие ограничения.
Применение аксиом
Я писал о том, что аксиомы Гильберта (в отличие от аксиом Евклида) не опираются на воображение, связанное с восприятием окружающих предметов в пространстве.
Я здесь не буду приводить все 20 аксиом. Приведу только три, которые упоминаются в примерах. Заодно, как говорится, “почувствуете разницу”.
I.2: Дано две точки. Существует не более одной прямой, содержащей обе точки.
Сравните:
“Через две разные точки можно провести только одну прямую”.
Во втором варианте немножко примешано пространственное воображение: говорится о том, чтобы “провести” прямую - сразу представляется проведение по линейке или что-то в этом роде.
II.2: Даны две точки A и C. Существует точка B, на прямой AC такая, что C лежит между A и B.
Это самое “междулежание” тоже можно представлять себе мысленно в виде зрительного образа. Но у Гильберта “междулежание” - всего лишь абстрактное отношение между тремя точками. Т.е. можно было бы заменить слова “лежит между” на “хрюкает про” или выдумать какой-нибудь новый термин вроде “оффицирует”.
IV.1: Дана прямая m, точка A и плоскость. Плоскость содержит прямую m и точку A. Прямая m не содержит точку A. В данной плоскости есть не более одной прямой, которая содержит точку A, но не содержит ни одной точки прямой m.
Сравните:
“Через точку, не лежащую на первой прямой можно провести не более одной прямой, параллельной первой, и лежащей в той же плоскости”.
Формулировка Гильберта более сухая, длинная, менее наглядная, не задействует воображение. Хотя, в принципе, в обоих вариантах говорится об одном и том же.
Дальше я буду ссылаться на три приведенные аксиомы по номерам: I.2, II.2, IV.1.
Раз уж удалось отделить систему аксиом от формы предметов в пространстве, то нельзя ли в таком случае применить эти аксиомы не к пространству, а к чему-нибудь другому?
Да, можно. Вот пример из школьной программы. Когда в курсе физики проходят колебания, то рисуют синусоиды и прочие кривые, иллюстрирующие колебательный процесс. При этом по горизонтали откладывают время, а по вертикали - отклонение маятника или другого колеблющегося тела.
Казалось бы - обычная декартова система координат, которую проходят как раз в курсе геометрии. Но обратите внимание, что на этих графиках откладывается время. Ось времени на бумаге лежит в пространстве, но настоящее время ведь не лежит в пространстве. То есть, картинка вообще-то не соответствует окружающему миру.
При рисовании вместо времени применяется одно из пространственных измерений. Помните прикол насчет стула, стола и пивной кружки? Здесь время - своего рода пивная кружка. Поскольку пространство-время подчиняется тем же самым аксиомам геометрии, что и линии на бумаге, то колебание можно нарисовать линиями.
Вместо отклонения маятника можно взять, скажем, температуру какого-то агрегата. Получится уже не пространство-время, а температуро-время.
Вывод: иногда аксиоматика может использоваться не только для той цели, для которой первоначально создавалась.
Другой вопрос: если аксиомы геометрии в современной математике так тщательно отделены от форм предметов, то нельзя ли заменить какие-то аксиомы? Как следует называть измененную аксиоматику? “Правильной?” “Истинной?”
Заменить можно. При этом получится другая аксиоматика. В ней тоже может быть “все хорошо” - в том смысле, что никаких противоречий не найдется.
Самый известный пример - геометрия Лобачевского. Там заменили одну аксиому IV.1 (см.) на противоположную. Конкретнее, заменили слова “не более одной прямой ” на “более одной прямой”.
Геометрия Лобачевского не будет соответствовать нашим понятиям о прямых предметах в окружающем пространстве. По крайней мере, с аксиомой IV.1 возникнут трудности.
Однако, если подходить чисто абстрактно (как "стул, стол, пивная кружка"), то в геометрии Лобачевского никто не смог найти противоречий.
Геометрия Лобачевского находит свое применение, но не для описания форм предметов, а в хитрых теориях, до которых простому смертному мало дела. Я приведу пример попроще для иллюстрации.
В аксиомах Гильберта ничего не сказано о том, что прямые надо рисовать по линейке на плоском листе бумаги. Тогда я волен поступать по-своему, и считать прямыми нечто иное. Ну например можно рисовать все не на листе бумаги, который лежит на столе, а на глобусе; и прямыми считать любые линии, проведенные на нем по линейке. Тут понадобится тонкая гибкая линейка - пластиковая или стальная, чтобы хорошо гнулась в одну сторону. Обернув линейку вокруг глобуса, можно провести, например, экватор.
В результате у нас получится “странная” геометрия, в которой “прямой” называется то, что в обычной геометрии называется “окружностью”. В этой геометрии не выполняется, например, аксиома I.2 (см.). Ставим точки на южном и северном полюсе. В результате мы сможем провести через две точки две “прямые” - вдоль разных меридианов.
Эта геометрия, хотя и “странная”, но тоже может быть описана каким-нибудь набором аксиом. Это будет неевклидова геометрия потому, что по крайней мере одна из аксиом Евклида (I.2) в ней не выполняется. В математике есть геометрия Римана, которая немного похожа на эту.
Если бы мы попытались применить “странную” геометрию для описания нормальных прямых на плоскости, у нас были бы проблемы. Если бы мы попытались применить евклидову геометрию для описания “прямых” на глобусе, у нас тоже были бы проблемы. Обратите внимание: нельзя сказать, что евклидова геометрия вообще неправильная или правильная, что ее аксиомы ложны или истинны “вообще”. Все зависит от способа ее применения.
Вывод: перед применением аксиоматики в новой области надо убедиться, что она там будет работать.
Для того, чтобы убедиться в этом, надо проверить аксиомы и правила вывода. Как это делается, я уже говорил в параграфе “доказательство аксиом”. В предыдушем параграфе, когда отрезок делился на все более мелкие части, демонстрировалась проверка аксиомы II.2.
При проверке аксиом обычно выясняется, что они действительно подтверждаются, но только до определенного предела или с какой-то погрешностью.
В примере с проверкой аксиомы II.2 до определенного предела все подтверждалось, а потом возникли проблемы, так как карандаш был недостаточно острым. Применяя аксиомы в реальной жизни, приходится постоянно “оглядываться” на подобные пределы, погрешности и прочие ограничения.