Квадрат, вписанный в треугольник
В треугольник ABC со сторонами АВ = 6, ВС = 5, АС = 1 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне АС, одна на стороне АВ и одна на стороне ВС. Через середину D стороны АС и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой ВН треугольника ABC в точке М. Найдите площадь треугольника DMC.
Решение:
Медиана BD делит верхнюю сторону EF квадрата пополам (рис.):
DEL:BL:LF=AD:BD:DC , откуда EL=FL.
Высота LN, опущенная из точки L на сторону АС, проходит через центр О квадрата.
Отрезок DM пересекает отрезок LN в точке О и делит его пополам. Поэтому, как и выше, имеем
BM:LO=MH:ON, откуда BM=MH.
Таким образом, в треугольнике DMC сторона DC вдвое меньше стороны АС, а опущенная на DC высота МН вдвое меньше высоты BH. Поэтому
S[DMC]=S[ABC]/4;
Решение:
Медиана BD делит верхнюю сторону EF квадрата пополам (рис.):
DEL:BL:LF=AD:BD:DC , откуда EL=FL.
Высота LN, опущенная из точки L на сторону АС, проходит через центр О квадрата.
Отрезок DM пересекает отрезок LN в точке О и делит его пополам. Поэтому, как и выше, имеем
BM:LO=MH:ON, откуда BM=MH.
Таким образом, в треугольнике DMC сторона DC вдвое меньше стороны АС, а опущенная на DC высота МН вдвое меньше высоты BH. Поэтому
S[DMC]=S[ABC]/4;