Про парадокс Монти Холла
Итак, представьте, что вы участвуете в телешоу. Перед вами
три одинаковых двери. За одной из них (неизвестно, за какой) скрывается
автомобиль. Если угадаете нужную дверь, он ваш. За двумя другими дверями
спрятано по козлу. Если не угадаете автомобиль, придется забирать козла, а у
вас квартира маленькая и вообще.
Правила игры простые. Вы тыкаете пальцем в одну из дверей (ну, например, в первую).
Затем ведущий телешоу Монти Холл (это такой буржуйский Якубович), которому точно известно, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей - причем заведомо ту, за которой скрывается козел (пусть этой дверью оказалась дверь номер два). И после этого ведущий предлагает вам изменить свое решение и выбрать другую дверь (в нашем случае дверь номер три).
Внимание, вопрос: повысятся ли шансы выиграть автомобиль, если вы согласитесь открыть не первую дверь, а третью?
Подумайте хотя бы полминуты. Если у вас был курс теории вероятности, вспомните его.
Итак, что вы решили?
Правильный ответ: если вы измените свое решение и откроете третью дверь, ваши шансы выиграть возрастут ровно вдвое.
Не верите? Никто не верит. Поэтому эта задачка и называется парадоксом.
Ладно, давайте разберемся сами.
Вы выбрали одну из дверей (пусть дверь номер один). Разобьем двери на два множества: множество А, куда входит выбранная вами дверь, и множество В, в которое входят оставшиеся двери. Вероятность того, что автомобиль попал во множество А, равна ⅓. Вероятность того, что он попал во множество В, равна ⅔.
Если бы вам предложили вместо множества А выбрать всё множество В (открыть сразу обе двери №2 и №3), вы бы, конечно, согласились: ведь во множестве В вероятность найти авто вдвое выше.
Рассмотрим множество В пристальнее. Вы абсолютно точно знаете, что во множестве В скрывается, как минимум, один козел. Вы знаете, что во множестве В, возможно, скрывается автомобиль. Если Монти Холл откроет одну из дверей множества В и продемонстрирует вам козла, никакой новой информации о множестве В вы не получите: вы по-прежнему будете знать, что во множестве В есть, как минимум, один козел и, возможно, один автомобиль.
Таким образом, после открытия козлиной двери ничего не изменилось, и множество В по-прежнему привлекательнее с точки зрения выигрыша (см. предыдущий абзац). Выбрав неоткрытую дверь множества В, вы получаете вероятность выигрыша ⅔ против вероятности ⅓ для множества А.
По-прежнему непонятно? Ничего страшного, я одной девушке это полчаса объяснял, вспотел весь. Как потом оказалось, она считала, что за каждой дверью можно найти автомобиль с вероятностью ½ (50%, что найду, и 50%, что не найду). Как в том анекдоте про вероятность встретить мамонта на улице.
Ладно, если подходить к решению добросовестно, нужно расписать несколько формул.
Итак, у нас два множества: А (с выбранной на первом шаге дверью №1) и В (с двумя оставшимися дверями).
Вероятности выигрыша для дверей №2 и №3 описываются следующими формулами:
P(2)= ½ * ⅔ = ⅓
P(3)= ½ * ⅔ = ⅓,
Где ½ - условная вероятность выигрыша для данной двери при условии, что игрок изначально выбрал дверь без автомобиля.
Ведущий, открывая проигрышную дверь (пусть дверь №2), меняет условные вероятности с ½ и ½ на 0 и 1.
P(2)= 0 * ⅔ = 0
P(3)= 1 * ⅔ = ⅔
Как мы видим, вероятность найти автомобиль за дверью №3 равна ⅔. Таким образом, после открытия двери с козлом игроку всегда выгодно менять первоначальный выбор.
Такая вот занимательная математика.
Правила игры простые. Вы тыкаете пальцем в одну из дверей (ну, например, в первую).
Затем ведущий телешоу Монти Холл (это такой буржуйский Якубович), которому точно известно, где находится автомобиль, открывает одну из оставшихся дверей - причем заведомо ту, за которой скрывается козел (пусть этой дверью оказалась дверь номер два). И после этого ведущий предлагает вам изменить свое решение и выбрать другую дверь (в нашем случае дверь номер три).
Внимание, вопрос: повысятся ли шансы выиграть автомобиль, если вы согласитесь открыть не первую дверь, а третью?
Подумайте хотя бы полминуты. Если у вас был курс теории вероятности, вспомните его.
Итак, что вы решили?
Правильный ответ: если вы измените свое решение и откроете третью дверь, ваши шансы выиграть возрастут ровно вдвое.
Не верите? Никто не верит. Поэтому эта задачка и называется парадоксом.
Ладно, давайте разберемся сами.
Вы выбрали одну из дверей (пусть дверь номер один). Разобьем двери на два множества: множество А, куда входит выбранная вами дверь, и множество В, в которое входят оставшиеся двери. Вероятность того, что автомобиль попал во множество А, равна ⅓. Вероятность того, что он попал во множество В, равна ⅔.
Если бы вам предложили вместо множества А выбрать всё множество В (открыть сразу обе двери №2 и №3), вы бы, конечно, согласились: ведь во множестве В вероятность найти авто вдвое выше.
Рассмотрим множество В пристальнее. Вы абсолютно точно знаете, что во множестве В скрывается, как минимум, один козел. Вы знаете, что во множестве В, возможно, скрывается автомобиль. Если Монти Холл откроет одну из дверей множества В и продемонстрирует вам козла, никакой новой информации о множестве В вы не получите: вы по-прежнему будете знать, что во множестве В есть, как минимум, один козел и, возможно, один автомобиль.
Таким образом, после открытия козлиной двери ничего не изменилось, и множество В по-прежнему привлекательнее с точки зрения выигрыша (см. предыдущий абзац). Выбрав неоткрытую дверь множества В, вы получаете вероятность выигрыша ⅔ против вероятности ⅓ для множества А.
По-прежнему непонятно? Ничего страшного, я одной девушке это полчаса объяснял, вспотел весь. Как потом оказалось, она считала, что за каждой дверью можно найти автомобиль с вероятностью ½ (50%, что найду, и 50%, что не найду). Как в том анекдоте про вероятность встретить мамонта на улице.
Ладно, если подходить к решению добросовестно, нужно расписать несколько формул.
Итак, у нас два множества: А (с выбранной на первом шаге дверью №1) и В (с двумя оставшимися дверями).
Вероятности выигрыша для дверей №2 и №3 описываются следующими формулами:
P(2)= ½ * ⅔ = ⅓
P(3)= ½ * ⅔ = ⅓,
Где ½ - условная вероятность выигрыша для данной двери при условии, что игрок изначально выбрал дверь без автомобиля.
Ведущий, открывая проигрышную дверь (пусть дверь №2), меняет условные вероятности с ½ и ½ на 0 и 1.
P(2)= 0 * ⅔ = 0
P(3)= 1 * ⅔ = ⅔
Как мы видим, вероятность найти автомобиль за дверью №3 равна ⅔. Таким образом, после открытия двери с козлом игроку всегда выгодно менять первоначальный выбор.
Такая вот занимательная математика.