30 июня 2020,
https://yandex.ru/maps/-/CCUEfGfJXC
В
"списках ОКН" сказано: "кoн. XVIII - нaч. XIX вв., 1870 г. Памятник архитектуры федерального значения"
а в
карточке ЕГРОКН - даже: "сер. XVIII - I-я пол. XIX вв.".
Уж насчёт "сер." - не ведаю, но ко временам классицизма первый этаж отнести пожалуй можно. А судя по сохранившимся подставам жиковин, оконные проёмы сохранились в более-менее старинном виде.
Второй этаж возможно меняли (весь или только обшивку...) где-нибудь около того самого 1870-го.
Дом стоит на углу Евстафьевской улицы и переулка Адрианова. Улица до 1922 г. называлась Миллионной, а переулок до 1979 г. - Музейным.
Евстафий - легендарный "первопоселенец города".
Владимир Николаевич Адрианов - знаменитый русский картограф (автор герба СССР и не только...).
Сомневаюсь, что музей в Осташове появился вместе с городом. Видимо, было и какое-то более древнее название переулка. Ни где его пока не встретил. Разве только кто чего подскажет ...