Многомерные пространства и жизнь
Одна из основных прелестей математики - в том, что одни и те же математические конструкты могут быть проинтерпретированы по-разному и, соответственно, применены. И, бывает, что это применение находится сильно позже, а совершенно разные части реальности ВНЕЗАПНО оказываются описываемы одним математическим конструктом.
Еще забавнее, что иногда математики сами считают какие-то свои приблуды не имеющими какого-то разумного смысла. Другие-то - ладно (помню, как одна кафедральная сотрудница, уже давно не студентка, с удивлением узнала от меня, что комплексные числа много где применяются - с первого курса пребывала в святой уверенности, что это исключительно ради издевательств над бедными студентами).
Интересно тут с многомерными пространствами. Когда-то математики и степеням выше куба не очень-то доверяли. Джероламо Кардано, вон, в своем "Ars magna" писал, говорят, что до первая степень - это линия, вторая - поверхность, третья - объем, а четвертая (речь шла о решении уравнений) природой не позволяется, посему там можно только в общих чертах (вот они, игры ума!). Да и формула Герона строгих древнегреческих формалистов, говорят, могла бы смутить, так как там приходится одновременно перемножать четыре числа.
Но сейчас-то, думаю, никого никакими степенями не напугаешь. Хоть даже дробными.
А вот многомерные пространства - это да, это вольный полёт математической фантазии! Иногда соприкасающийся не то с мистиками, не то с фантастами. Ну да, сейчас еще, конечно, с физикой и космологией. Но вот попроще, "для биологов"?
Да самое непосредственное соприкосновение! Ведь многомерные пространства оказываются очень удобным методом оценки общего сходства объектов, описываемых большим числом признаков. Что может быть логичнее (через века после Декарта), чем изображать графики рассеяния двух переменных в виде точек на плоскости, а для трех - в пространстве? А дальше - ступор. Или нет? Тут-то и пригождаются нам многомерные пространства (которые в свое время и математиками воспринимались как нечто оторванное от реальности). Чего уж проще, чем график рассеяния для n переменных изображать в виде облака точек в n-мерном пространстве? То есть, изображать-то неудобно, да - но вот работать с этими многомерными облаками можно. И близость объектов тоже прямо-таки напрашивается измерять как расстояние - хоть привычное евклидово, хоть еще какое, что ближе к задачам. Мне с ходу вспоминается "семинарская" (в смысле, что я ее на семинарах по теории эволюции использовал) статья в PNAS'e о неофункционализации новых копий старых генов, где так смотрели различия в профилях экспрессии генов по тканям (вот ее пересказ мой, если кому надо).
Мне в свое время многомерные пространства тоже мозг ломали, но после какой-то мелкой советской школьной брошюрки "Метод координат" у меня все сложилось - и я их в каком-то смысле "представляю". В смысле, что мне становятся понятны геометрические интерпретации, например, соответствующих методов статистики вроде кластерного или факторного анализа. Школьники, правда, обычно испытывают шок, когда мы разбираем двух- и трехмерные примеры, а потом выясняется, что у нас теперь облако точек многомерно. Но в итоге шаблоны собираются обратно и некоторые даже могут простенькие качественные задачки решать, используя геометрическую интерпретацию.
Ну а у нас же объекты часто имеют больше трех существенных признаков. Так что многомерные пространства всегда рядом с нами. Спасибо Декарту, который о них, видимо, и не помышлял.
Еще забавнее, что иногда математики сами считают какие-то свои приблуды не имеющими какого-то разумного смысла. Другие-то - ладно (помню, как одна кафедральная сотрудница, уже давно не студентка, с удивлением узнала от меня, что комплексные числа много где применяются - с первого курса пребывала в святой уверенности, что это исключительно ради издевательств над бедными студентами).
Интересно тут с многомерными пространствами. Когда-то математики и степеням выше куба не очень-то доверяли. Джероламо Кардано, вон, в своем "Ars magna" писал, говорят, что до первая степень - это линия, вторая - поверхность, третья - объем, а четвертая (речь шла о решении уравнений) природой не позволяется, посему там можно только в общих чертах (вот они, игры ума!). Да и формула Герона строгих древнегреческих формалистов, говорят, могла бы смутить, так как там приходится одновременно перемножать четыре числа.
Но сейчас-то, думаю, никого никакими степенями не напугаешь. Хоть даже дробными.
А вот многомерные пространства - это да, это вольный полёт математической фантазии! Иногда соприкасающийся не то с мистиками, не то с фантастами. Ну да, сейчас еще, конечно, с физикой и космологией. Но вот попроще, "для биологов"?
Да самое непосредственное соприкосновение! Ведь многомерные пространства оказываются очень удобным методом оценки общего сходства объектов, описываемых большим числом признаков. Что может быть логичнее (через века после Декарта), чем изображать графики рассеяния двух переменных в виде точек на плоскости, а для трех - в пространстве? А дальше - ступор. Или нет? Тут-то и пригождаются нам многомерные пространства (которые в свое время и математиками воспринимались как нечто оторванное от реальности). Чего уж проще, чем график рассеяния для n переменных изображать в виде облака точек в n-мерном пространстве? То есть, изображать-то неудобно, да - но вот работать с этими многомерными облаками можно. И близость объектов тоже прямо-таки напрашивается измерять как расстояние - хоть привычное евклидово, хоть еще какое, что ближе к задачам. Мне с ходу вспоминается "семинарская" (в смысле, что я ее на семинарах по теории эволюции использовал) статья в PNAS'e о неофункционализации новых копий старых генов, где так смотрели различия в профилях экспрессии генов по тканям (вот ее пересказ мой, если кому надо).
Мне в свое время многомерные пространства тоже мозг ломали, но после какой-то мелкой советской школьной брошюрки "Метод координат" у меня все сложилось - и я их в каком-то смысле "представляю". В смысле, что мне становятся понятны геометрические интерпретации, например, соответствующих методов статистики вроде кластерного или факторного анализа. Школьники, правда, обычно испытывают шок, когда мы разбираем двух- и трехмерные примеры, а потом выясняется, что у нас теперь облако точек многомерно. Но в итоге шаблоны собираются обратно и некоторые даже могут простенькие качественные задачки решать, используя геометрическую интерпретацию.
Ну а у нас же объекты часто имеют больше трех существенных признаков. Так что многомерные пространства всегда рядом с нами. Спасибо Декарту, который о них, видимо, и не помышлял.