Занудно о математике.
Вот возьмём, к примеру, 10 в гугольной степени.
Что такое "гугол"?
10 в сотой степени.
Что такое "10 в гугольной степени"? Число, которому заведомо не соответствует ничто в нашей Вселенной, ибо как количество существующих в ней атомов, так и количество существующих в ней элементарных частиц меньше этого числа.
Длительность существования Вселенной, если поделить её на минимальное необходимое для какого-либо процесса время, тоже окажется меньше упомянутого выше числа.
То же - и с протяжённостью Вселенной. Иными словами, если взять минимальное регистрируемое расстояние, на которое может переместиться объект, то таких расстояний во Вселенной наберётся значительно меньше упомянутого выше числа.
Чему же соответствует это число?
Ничему?
Положение могла бы спасти многомировая интерпретация квантовой механики, или инфляционная модель мироздания. Обе они допускают, что Вселенная гораздо шире, чем представляется взгляду. Но меняет ли это расклад? Ведь строение нашего мозга едва ли зависит от конечности или бесконечности нашего мира. Наша способность или неспособность оперировать таким числом как "10 в гугольной степени" независима от неё.
Можно ли сказать, что число "10 в гугольной степени" существует в нашем воображении? Нет, поскольку никто из нас не в силах представить подобное количество апельсинов или песчинок на пляже.
Мы можем представить лишь графическую оболочку числа.
Числа, которого нет.
И тем не менее я могу набрать его с помощью клавиатуры. Выше я сделал это - и у вас создалось впечатление понимания.
Наше впечатление понимания основывается на неполных данных?
Не всё так просто. Возьмём, например, интуитивную убеждённость каждого, что не существует Наибольшего Числа кроме бесконечности - ибо к любому числу можно прибавить единичку. Эта уверенность кажется настолько очевидной и логически непоколебимой, что как-то язык не поворачивается назвать её "основанной на неполных данных", не правда ли?
Однажды у Лема один из персонажей подковырнул другого: "Ты ведь веришь в существование столь больших чисел, что тебе никогда не удастся их вычислить?"
Верно.
Но можно ли это назвать верой? В каком-то смысле я постановил существование этих чисел уже в тот момент, когда согласился играть в конвенционную игру под названием "математика".
Их существование - условие игры.
Оно не объективно.
При этом каждое из чисел, которыми мы оперируем, существует в нашем мозгу не как совокупность неких объектов - иначе мы бы не могли думать о числе "10 в гугольной степени". Каждое из используемых нами чисел существует в нашем мозгу как цельный объект с определёнными свойствами - делиться на 5 или на 3, быть чётным или нечётным, положительным или отрицательным. Ассоциация между числом как воображаемым единым объектом и числом как совокупностью реальных объектов возникает лишь при необходимости - и отбрасывается при исчезновении в ней нужды.
Представление каждого числа в нашем мозгу - подобно архивированному файлу, самораспаковывающемуся по мере надобности.
То же относится и к математике в целом.
По этой причине несостоятельны некоторые популярные среди современных философов доказательства "паранормальной" природы интеллекта - основанные на том, что человек якобы способен представить себе бесконечность, а обычная естественная машина Тьюринга - нет.
Да.
Человек способен представить себе бесконечность. Так же, как и "10 в гугольной степени".
Теперь вы видите, что в этой задаче нет ничего паранормального.