Экзамены. Эпизод 1. МРСУ.
ВОПРОСЫ
к курсу лекций «Методы решения сеточных уравнений»
I. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
1. Решения сеточных уравнений в замкнутом виде. Элементы общей теории решения линейных сеточных уравнений с переменными коэффициентами, линейно-независимые решения однородного уравнения и их методы нахождения. Теорема об общем решении однородного уравнения.
2. Теорема о решении неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения.
3. Решение сеточных уравнений с постоянными коэффициентами.
4. Полиномы Чебышева как решения сеточных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
5. Постановка спектральных задач для симметризуемых матриц, спектральное разложение некоторых матриц Якоби.
6. Метод монотонной прогонки для решения систем с трехдиагональной матрицей. Теорема о корректности и устойчивости метода.
7. Проблема выбора главного элемента. Метод немонотонной прогонки для решения систем с трехдиагональной матрицей.
8. Метод прогонки для решения систем с циклической трехдиагональной матрицей. Теорема о корректности и устойчивости метода.
9. Метод исключения для решения систем со структурно-симметричной ленточной матрицей.
10. Метод матричной прогонки для решения систем с блочно-трехдиагональной матрицей в общем случае.
11. Модифицированный метод прогонки для блочно-трехдиагональных матриц.
12. Метод редукции для решения систем с блочно-трехдиагональной матрицей.
13. Быстрый прямой метод решения уравнения A1Y + YA2T = F, использующий спектральное разложение матриц A1 и A2.
14. Быстрый прямой метод решения уравнения A1Y + YA2T = F, использующий спектральное разложение матрицы A2.
15. Марш-алгоритм для решения систем с трехдиагональной матрицей.
16. Марш-алгоритм для решения систем с блочно-трехдиагональной матрицей специального вида.
II. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
17. Основные понятия теории итерационных методов, итерационные схемы, сходимость и число итераций. Две постановки задачи о построении наилучших итерационных методов.
18. Итерационный метод, основанный на минимизации нормы разрешающего оператора - метод с чебышевскими параметрами. Обоснование метода, оценка скорости сходимости в самосопряженном положительно определенном случае, неулучшаемость оценки.
19. Алгоритмы реализации метода - чебышевская двухслойная схема, полуитерационная трехслойная схема. Стационарная трехслойная схема (оценка скорости сходимости).
20. Итерационные методы, основанные на минимизации нормы погрешности: n-шаговые методы проекционного типа, выбор параметров и оценка скорости сходимости, лемма о конечном числе итераций.
21. Метод сопряженных направлений в самосопряженном случае (двучленные формулы).
22. Трехслойная схема методов сопряженных направлений.
23. Одношаговые методы вариационного типа, оценка скорости сходимости, неулучшаемость оценки в самосопряженном положительно-определенном случае.
24. Итерационный метод простой итерации в случае самосопряженного и несамосопряженного операторов.
25. Итерационный метод с чебышевскими параметрами в случае самосопряженного незнакоопределенного оператора.
26. Разрешимость уравнений с вырожденным оператором, понятие обобщенного и нормального решений, постановка задачи о выборе итерационных параметров для двухслойной схемы.
27. Итерационный метод с чебышевскими параметрами для решения уравнений с самосопряженным неотрицательным оператором.
28. Итерационный метод минимальных невязок для решения уравнений с самосопряженным неотрицательным оператором.
29. Треугольные итерационные методы, выбор параметра и оценка скорости сходимости.
30. Попеременно-треугольный метод, выбор параметров, оценка скорости сходимости, алгоритм. Пример применения к решению разностной задачи Дирихле для эллиптического уравнения 2-го порядка в прямоугольнике.
31. Итерационные методы, использующие приближенную факторизацию матрицы.
к курсу лекций «Методы решения сеточных уравнений»
I. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
1. Решения сеточных уравнений в замкнутом виде. Элементы общей теории решения линейных сеточных уравнений с переменными коэффициентами, линейно-независимые решения однородного уравнения и их методы нахождения. Теорема об общем решении однородного уравнения.
2. Теорема о решении неоднородного уравнения. Метод вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения.
3. Решение сеточных уравнений с постоянными коэффициентами.
4. Полиномы Чебышева как решения сеточных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
5. Постановка спектральных задач для симметризуемых матриц, спектральное разложение некоторых матриц Якоби.
6. Метод монотонной прогонки для решения систем с трехдиагональной матрицей. Теорема о корректности и устойчивости метода.
7. Проблема выбора главного элемента. Метод немонотонной прогонки для решения систем с трехдиагональной матрицей.
8. Метод прогонки для решения систем с циклической трехдиагональной матрицей. Теорема о корректности и устойчивости метода.
9. Метод исключения для решения систем со структурно-симметричной ленточной матрицей.
10. Метод матричной прогонки для решения систем с блочно-трехдиагональной матрицей в общем случае.
11. Модифицированный метод прогонки для блочно-трехдиагональных матриц.
12. Метод редукции для решения систем с блочно-трехдиагональной матрицей.
13. Быстрый прямой метод решения уравнения A1Y + YA2T = F, использующий спектральное разложение матриц A1 и A2.
14. Быстрый прямой метод решения уравнения A1Y + YA2T = F, использующий спектральное разложение матрицы A2.
15. Марш-алгоритм для решения систем с трехдиагональной матрицей.
16. Марш-алгоритм для решения систем с блочно-трехдиагональной матрицей специального вида.
II. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
17. Основные понятия теории итерационных методов, итерационные схемы, сходимость и число итераций. Две постановки задачи о построении наилучших итерационных методов.
18. Итерационный метод, основанный на минимизации нормы разрешающего оператора - метод с чебышевскими параметрами. Обоснование метода, оценка скорости сходимости в самосопряженном положительно определенном случае, неулучшаемость оценки.
19. Алгоритмы реализации метода - чебышевская двухслойная схема, полуитерационная трехслойная схема. Стационарная трехслойная схема (оценка скорости сходимости).
20. Итерационные методы, основанные на минимизации нормы погрешности: n-шаговые методы проекционного типа, выбор параметров и оценка скорости сходимости, лемма о конечном числе итераций.
21. Метод сопряженных направлений в самосопряженном случае (двучленные формулы).
22. Трехслойная схема методов сопряженных направлений.
23. Одношаговые методы вариационного типа, оценка скорости сходимости, неулучшаемость оценки в самосопряженном положительно-определенном случае.
24. Итерационный метод простой итерации в случае самосопряженного и несамосопряженного операторов.
25. Итерационный метод с чебышевскими параметрами в случае самосопряженного незнакоопределенного оператора.
26. Разрешимость уравнений с вырожденным оператором, понятие обобщенного и нормального решений, постановка задачи о выборе итерационных параметров для двухслойной схемы.
27. Итерационный метод с чебышевскими параметрами для решения уравнений с самосопряженным неотрицательным оператором.
28. Итерационный метод минимальных невязок для решения уравнений с самосопряженным неотрицательным оператором.
29. Треугольные итерационные методы, выбор параметра и оценка скорости сходимости.
30. Попеременно-треугольный метод, выбор параметров, оценка скорости сходимости, алгоритм. Пример применения к решению разностной задачи Дирихле для эллиптического уравнения 2-го порядка в прямоугольнике.
31. Итерационные методы, использующие приближенную факторизацию матрицы.