(no subject)
оказывается, на пространстве модулей плоских связностей на поверхности есть семейство очень простых вещественных поляризаций, для каждого разрезания поверхности на пары штанов (поляризация даётся просто фиксацией классов смежности голономий связности вдоль того набора 1-циклов, по которому разрезали на штаны). база поляризации (рассказывался случай SU(2), но история должна обобщаться) образует в пространстве [-2,2]^(3g-3) наборов следов голономий выпуклый многогранник, целые точки которого соответствуют листам Бора-Зоммерфельда; соответственно, число этих целых точек - это размерность пространства Верлинде. обычная история квантования пространства модулей плоских связностей (как Аксельрод - делла Пьетра - Виттен / Хитчин, например), использует комплексную поляризацию, приходящую из комплексной структуры на поверхности, где никаких листов Бора-Зоммерфельда нет. так вот, оказывается, вещественная поляризация, как выше, соответствует специальным граничным точкам компактификации пространства Тайхмюллера по Тёрстону. и если взять голоморфное (относительно выбранной комплексной структуры) сечение предквантового расслоения над пространством модулей плоских связностей и перенести, с помощью положенной проективно-плоской связности на пространстве Тайхмюллера, в такую специальную граничную точку, сечение ("неабелева тэта-функция") аккуратно сойдётся к обобщённому сечению, сосредоточенному на листах Бора-Зоммерфельда и постоянному вдоль них.
игрушечная модель этой истории - рациональная вещественная поляризация на торе, тоже получающаяся как предел семейства комплексных (кэлеровых) поляризаций, соответствующий ситуации, когда модулярный параметр стремится к вещественной (и даже рациональной) точке.
также было рассказано, как вычислять голоморфные сечения (для случая комплексной поляризации) через гомологическую зеркальную симметрию. в случае с тором, сторона категории Фукайи очень простая, и тэта-функции на комплексной стороне получаются чудесно (но мы их и так знали). есть надежда, что так посчитаются и неабелевы тэта-функции, но сторона Фукайи может оказаться сложной.