Детские игры
Костя любит играть в игру, которую он называет "что-нибудь одинаковое" (Давай играть во что-нибудь одинаковое). Правила ее очень просты - даны две прямые в проективной плоскости над полем вычетов по модулю 7, надо найти точку их пересечения.
(Ссылка на картинку: https://www.facebook.com/photo.php?fbid=419759328103951&set=a.419759284770622&type=1&theater)
UPD: Для тех, кто не видел эту игру - поясню это игра Spot It - набор из 55 карточек, на каждой нарисовано восемь картинок, причем что интересно: любые две карточки имеют ровно одну общую картинку. Цель игры - как можно быстрее найти общую картинку между своей карточкой и карточкой из общей стопки.
Далее я напишу, как это сделано, и какое отношение это имеет к геометрии.
Поле вычетов по модулю 7 - это страшное имя, которое придумали математики, чтобы пугать первокурсников. Обозначает оно просто остатки от деления на 7, т.е просто числа от 0 до 6, которые можно складывать и умножать, беря все время остатки на 7. Обычную плоскость можно рассматривать, как множества пар чисел. Точно также можно рассмотреть плоскость точки которой будут пары остатков, т.е. пары чисел (x,y), где 0<=x,y<7 (эта плоскость будет иметь всего 49 точек, но ничего). Прямыми на ней будут, как обычно, решения уравнений вида ax+by=c, только равенство берется, разумеется по модою 7. Для каждой точки мы заводим карточку, а для каждой прямой придумываем картинку. Тогда на каждой карточке рисуем картинки соответствующие прямым, проходящим через эту точку. Тогда,
1) Через каждую точку проходит ровно 8 прямых - одна вертикальная и семь с угловыми коэффициентами от 0 до 6. Т.е. на каждой карточке будет ровно 8 картинок. На фотографии видны вертикальные прямые (например, все снежинки в самой правой колонке), горизонтальные прямые - прямые с угловым коэффициентом 0 (например, все губы внизу), и диагонали - прямые с угловыми коэффициентами +1 и -1=6 (например, прямая кошек и прямая часов - являются настоящими диагоналями, а прямая деревьев им параллельна, но "переходит" на другую сторону, ведь мы считаем все по модулю 7). Если приосмотреться, то можно увидеть и остальные прямые - они будут идти ходом коня (например, ножницы - идут 2 верх, один вправо).
2) Из обычной геометрии мы знаем, что через любые две точки проходит ровно одна прямая. Это свойство сохраняется и здесь. А значит для любых двух карточек (точек), будет ровно одна общая картинка (прямая). Что и требовалось!
Этот способ дает 49 карточек. На самом деле можно добавить еще 8 карточек расширив обычную плоскость до проективной (грубо говоря, добавив в каждом направлении "бесконечно удаленную точку").
Довольно интересно, что геометрия - совсем не дискретная наука - может быть применена к комбинаторике.
(Ссылка на картинку: https://www.facebook.com/photo.php?fbid=419759328103951&set=a.419759284770622&type=1&theater)
UPD: Для тех, кто не видел эту игру - поясню это игра Spot It - набор из 55 карточек, на каждой нарисовано восемь картинок, причем что интересно: любые две карточки имеют ровно одну общую картинку. Цель игры - как можно быстрее найти общую картинку между своей карточкой и карточкой из общей стопки.
Далее я напишу, как это сделано, и какое отношение это имеет к геометрии.
Поле вычетов по модулю 7 - это страшное имя, которое придумали математики, чтобы пугать первокурсников. Обозначает оно просто остатки от деления на 7, т.е просто числа от 0 до 6, которые можно складывать и умножать, беря все время остатки на 7. Обычную плоскость можно рассматривать, как множества пар чисел. Точно также можно рассмотреть плоскость точки которой будут пары остатков, т.е. пары чисел (x,y), где 0<=x,y<7 (эта плоскость будет иметь всего 49 точек, но ничего). Прямыми на ней будут, как обычно, решения уравнений вида ax+by=c, только равенство берется, разумеется по модою 7. Для каждой точки мы заводим карточку, а для каждой прямой придумываем картинку. Тогда на каждой карточке рисуем картинки соответствующие прямым, проходящим через эту точку. Тогда,
1) Через каждую точку проходит ровно 8 прямых - одна вертикальная и семь с угловыми коэффициентами от 0 до 6. Т.е. на каждой карточке будет ровно 8 картинок. На фотографии видны вертикальные прямые (например, все снежинки в самой правой колонке), горизонтальные прямые - прямые с угловым коэффициентом 0 (например, все губы внизу), и диагонали - прямые с угловыми коэффициентами +1 и -1=6 (например, прямая кошек и прямая часов - являются настоящими диагоналями, а прямая деревьев им параллельна, но "переходит" на другую сторону, ведь мы считаем все по модулю 7). Если приосмотреться, то можно увидеть и остальные прямые - они будут идти ходом коня (например, ножницы - идут 2 верх, один вправо).
2) Из обычной геометрии мы знаем, что через любые две точки проходит ровно одна прямая. Это свойство сохраняется и здесь. А значит для любых двух карточек (точек), будет ровно одна общая картинка (прямая). Что и требовалось!
Этот способ дает 49 карточек. На самом деле можно добавить еще 8 карточек расширив обычную плоскость до проективной (грубо говоря, добавив в каждом направлении "бесконечно удаленную точку").
Довольно интересно, что геометрия - совсем не дискретная наука - может быть применена к комбинаторике.