математический реализм

[panoramov]

Вспомнил об "апельсине и Фейнмане" (как физик с юмором выкручивался в споре с математиками о парадоксе Банаха-Тарского). Потом, в дополнение, была цитата одного гуманитария о "закономерностях" ( Гениальность - это чувство закономерности, это ощущение железных закономерностей бытия, которые существуют вне автора и независимо от него.) А ещё был

Comments

[egovoru]

"они, также как другие учёные, проводят проверку гипотез (или чего-то ещё). Только путём вычислений, а не натурных экспериментов"

В английском языке есть отдельное слово "conjecture" для таких математических "гипотез", а в русском эта латинская "конъекция" почему-то не прижилась. А между тем, отдельно слово тут нужно. Верно, что и естественно-научная гипотеза, и математическая конъекция - утверждения, истинность которых подлежит установлению, но способы этого установления принципиально различны.

Да, математические конъекции порой проверяют на каких-то простых частных случаях, легче поддающихся вычислению, но окончательного заключения это по определению дать не может. Окончательное суждение об истинности математического утверждение можно вынести только на основании его логического вывода из заранее принятых аксиом по заранее оговоренным правилам. Деятельность по установлению истины математической конъекции протекает в замкнутом пространстве абстрактных конструкций, и это принципиально отличает ее от деятельности естествоиспытателя.

Верно, что естественно-научные утверждения ("законы природы") - это тоже абстрактные концепции, подобные математическим теоремам; более того, некоторые из них даже сформулированы на математическом языке. Однако они не выводятся из других абстрактных концепций, а поверяются сравнением с показаниями вполне конкретных приборов.

[panoramov]

>естественно-научные утверждения ("законы природы") - это тоже абстрактные концепции,

Не знаю, прояснит ли дополнительная ремарка или только запутает:
- Физики сначала строят "математическую модель", а потом работают с ней в своей голове (на бумаге, при помощи компьютера и т.д.). То есть, они уходят в пространство математических объектов и все выводы делают там. Лишь в конце возвращаются в реальный мир и применяют полученные результаты.
- Математики сразу работают в мире своих объектов. Там выводы и остаются. Причём, манипуляции с объектами в голове ничем не отличаются у физика и математика. Традиционно модель (отражение реального объекта) называют "математической", но здесь прилагательное лишь подчёркивает её имматериальность (в отличие от, скажем, уменьшенной копии улицы, сделанной из пенопласта).

[egovoru]

Да, все так и есть. Физику делает физикой только вот эта последняя часть: "Лишь в конце возвращаются в реальный мир и применяют полученные результаты". Мне это отличие физики (и вообще естествознания) от математики кажется принципиальным. Естествознание - это построение умозрительных моделей реальности; математика - это построение умозрительных конструкций как таковых.

[panoramov]

Может потому что я искал общее, а не различие - мне возврат физиков в реальный мир не кажется принципиальным. В конце концов, есть физики-теоретики (а ещё есть мысленные эксперименты Эйнштейна). Иногда важно объяснить уже полученные результаты, а это чисто мыслительная деятельность. Тем не менее, разницу между физикой и математикой вижу, конечно.

Математику я отношу к естествознанию. Вот это мне кажется принципиальным. Треугольники в природе есть, число 0 тоже, и т.д.

[egovoru]

На мой взгляд, треугольники - это придуманные нами абстрактные сущности. В природе есть не треугольники, а предметы треугольной формы, то есть, такие предметы, поведение которых можно адекватно предсказывать, моделируя их абстрактными, не существующими в природе треугольниками.

[panoramov]

>В природе есть не треугольники, а предметы треугольной формы
Это очень ценное замечание. Свойства предмета, выражаемые прилагательными, описывают его природу. [Математики даже находят подтверждение в лингвистике: забавно, что (в английском) когда-то числа были прилагательными.] И когда мы описываем, например, кристалл красного цвета и кубической формы - "кубичность" не менее реальна, чем "краснота". Художник, абстрагируясь от всех прочих свойств (аналогично математику), изображает все красные предметы красной краской.

В принципе, на этом можно остановиться.

Несколько дальше можно пройти, обратив внимание на то, что не только свойства предметов, но и отношения между предметами (в основном посте был момент об отношениях в математике) имеют свойства. Так, треугольная форма горы даёт "треугольник", но и ориентация по Солнцу и т.д. Можно ли считать "реальными" (но нематериальными) углы, расстояния и т.д.?



***

Но это всё опять же относится к "истории" математики, как появились понятия треугольников, углов и других математических объектов. Всё это было давно, потом математики оглянулись назад и пересмотрели основы. Более строго сформулировали. Причём, такую переформулировку они делают регулярно. Что интересно: здание, под который подведён новый фундамент, стоит прочно. Насколько я понимаю, самим фундаментом интересуются немногие математики, им больше нравится возводить новые этажи. А также решать различные задачи (т.е. играть с абстрактными объектами, не вдаваясь в подробности - как они появились).

[egovoru]

"не только свойства предметов, но и отношения между предметами (в основном посте был момент об отношениях в математике) имеют свойства"

Да, конечно. Но разумные организмы с другими органами чувств и/или процессами мышления могли бы выделить из того же объективного мира какие-то другие свойства и построить другую математику.

"самим фундаментом интересуются немногие математики, им больше нравится возводить новые этажи"

Да, потому что размышления о том, откуда взялись аксиомы и т.д. - это не столько математика, сколько философия математики.

[panoramov]

А также "разумные организмы с другими органами чувств" построят другие цветовые схемы, другие гармоничные сочетания звуков, придумают другие языки и напишут на нём другие книги. )))