Неограниченная производная категория от точной категории
Пусть A -- аддитивная категория, Z -- множество целых чисел с естественным отношением порядка. Комплекс F в A -- это такой функтор F:Z→A, что F((n+1,n+2))○F((n,n+1))=0 для всех n∈Z. Морфизм комплексов -- естественное преобразование между такими функторами. Категория комплексов Ch(A) -- это полная подкатегория категории AZ, объекты которой -- комплексы в A. Заметим, что функтор вложения V:Ch(A)→AZ создаёт конечные бипроизведения; следовательно, Ch(A) аддитивна.
Пусть A -- аддитивная категория, F и G -- комплексы в A, α и β -- морфизмы комплексов из F в G. Гомотопия h:α→β это семейство морфизмов hn:F(n)→G(n-1), n∈Z, таких, что αn-βn=hn+1○F((n,n+1))+G((n-1,n))○hn для всех n∈Z. Определим отношение RH на множестве морфизмов категории Ch(A) следующим образом: (α,β)∈RH тогда и только тогда, когда существует гомотопия h:α→β. Легко видеть, что RH является конгруэнцией на Ch(A). Гомотопическая категория K(A) -- это факторкатегория Ch(A)/RH.
Пусть (A,E) -- точная категория (в смысле Квиллена). Ацикличный комплекс в (A,E) -- это допустимо-точная Z-образная последовательность в (A,E). Категория ацикличных комплексов Ac(A,E) -- это полная подкатегория K(A), объекты которой -- ацикличные комплексы в (A,E).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(опускаем детали)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Пусть (A,E) -- точная категория. Триплет (K(A),ΣK(A),ТK(A)), где K(A) -- гомотопическая категория аддитивной категории A, ΣK(A) -- факторсдвиг канонического сдвига категории комплексов, ТK(A) -- категория конических треугольников, является триангулированной категорией, и категория ацикличных комплексов Ac(A,E) является её нерепличной триангулированной подкатегорией.
Определение. Пусть (A,E) -- точная категория. Производная категория точной категории (A,E) -- это локализация Вердье триангулированной категории (K(A),ΣK(A),ТK(A)) по тучному замыканию подкатегории Ac(A,E). Обозначим D(A,E)=K(A)/Th(Ac(A,E)).
Нетрудно проверить, что Ac(A,E) реплична титтк тучна титтк является триангулированной подкатегорией (K(A),ΣK(A),ТK(A)) титтк A является полной по Коши (например, если A абелева, то определение производной категории вырождается в D(A,E)=K(A)/Ac(A,E)). Это интересно само по себе, так как полнота по Коши является важным теоретико-категорным свойством, связанным с абсолютными копределами.
Пусть A -- аддитивная категория, F и G -- комплексы в A, α и β -- морфизмы комплексов из F в G. Гомотопия h:α→β это семейство морфизмов hn:F(n)→G(n-1), n∈Z, таких, что αn-βn=hn+1○F((n,n+1))+G((n-1,n))○hn для всех n∈Z. Определим отношение RH на множестве морфизмов категории Ch(A) следующим образом: (α,β)∈RH тогда и только тогда, когда существует гомотопия h:α→β. Легко видеть, что RH является конгруэнцией на Ch(A). Гомотопическая категория K(A) -- это факторкатегория Ch(A)/RH.
Пусть (A,E) -- точная категория (в смысле Квиллена). Ацикличный комплекс в (A,E) -- это допустимо-точная Z-образная последовательность в (A,E). Категория ацикличных комплексов Ac(A,E) -- это полная подкатегория K(A), объекты которой -- ацикличные комплексы в (A,E).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
(опускаем детали)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Пусть (A,E) -- точная категория. Триплет (K(A),ΣK(A),ТK(A)), где K(A) -- гомотопическая категория аддитивной категории A, ΣK(A) -- факторсдвиг канонического сдвига категории комплексов, ТK(A) -- категория конических треугольников, является триангулированной категорией, и категория ацикличных комплексов Ac(A,E) является её нерепличной триангулированной подкатегорией.
Определение. Пусть (A,E) -- точная категория. Производная категория точной категории (A,E) -- это локализация Вердье триангулированной категории (K(A),ΣK(A),ТK(A)) по тучному замыканию подкатегории Ac(A,E). Обозначим D(A,E)=K(A)/Th(Ac(A,E)).
Нетрудно проверить, что Ac(A,E) реплична титтк тучна титтк является триангулированной подкатегорией (K(A),ΣK(A),ТK(A)) титтк A является полной по Коши (например, если A абелева, то определение производной категории вырождается в D(A,E)=K(A)/Ac(A,E)). Это интересно само по себе, так как полнота по Коши является важным теоретико-категорным свойством, связанным с абсолютными копределами.