Мозг. Математика. О разновидностях математиков.
Источник:
http://www.svoboda.org/content/article/27335973.html
"В середине октября американский математик Дэвид Мамфорд, как и Майкл Атья, лауреат "математического Нобеля", Филдсовской медали, ответил на статью Зеки и Атьи пространным эссе “Математика, красота и отделы мозга”. Мамфорд подчеркивает, что его рассуждения основаны не на строгом научном методе, а на собственном богатом опыте и общении с крупнейшими математическими мыслителями 20-го и 21-го века. Мамфорд предлагает разделить математиков на четыре группы (или “племени”) по тому, что движет ими в исследовательской работе - “в путешествии по эзотерическому миру”, как формулирует автор. Эти группы - Первооткрыватели, Алхимики, Борцы и Детективы.
К Первооткрывателям американский ученый относит исследователей, которые, подобно путешественникам прошлого, исследуют малоизведанные математические континенты и открывают новые материки. Среди Первооткрывателей Мамфорд выделяет Собирателей драгоценных камней, для которых важнее всего найти новый математический объект, и Картографов, которые прокладывают на новых землях маршруты, по которым вслед за Первооткрывателями пройдут другие ученые.
К числу первооткрывателей относятся, например, античные математики, когда-то нашедшие все правильные многогранники - трехмерные многогранники, каждая грань которых - правильный многоугольник, а в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. Таких многогранников существует только пять - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. По всей видимости, три из них были известны еще Пифагору, но еще два, октаэдр и икосаэдр, были открыты Таэтетом Афинским только 100 лет спустя. Как могло быть сделано такое открытие? Наитие, фантазия, пространственное воображение, озарение - вот главные инструменты Первооткрывателей, которых среди математиков много и сегодня. Конечно же, не все из них геометры, так, Дэвид Мамфорт упоминает американского математика Майка Артина, построившего теорию так называемых некоммутативных колец - абстрактных математических структур, в которых объекты можно складывать и перемножать, но x умножить на y не обязательно равно y умножить на x. Вряд ли сам Артин мог бы рассказать, как ему удалось наткнуться на этот богатейший математический материк, но воображение, способность представлять себе геометрические фигуры, свойственная многим Первооткрывателям, вряд ли сыграла здесь роль. Согласно апокрифу, когда алгебраиста Ирвина Каплански спросили, что он видит, когда думает о кольце (ring), он ответил: “Я вижу букву R”, то есть стандартное обозначение кольца в математической записи.
Мамфорд отмечает, что из 60 формул исследования Зеки и Атьи только три (с номерами 12, 15 и 28), так или иначе, имели отношение к открытиям Первооткрывателей. Но разве мало красоты в способности человека к озарению - и имеет ли эта красота отношение к визуальному восприятию прекрасного?
Второе математическое племя - Алхимики. Источник их вдохновения - скрытые связи между различными математическими областями. Обнаружение таких связей, похоже, по словам Мамфорда, “как если бы мы налили содержимое одной мензурки в другую и получили бы что-то удивительное, подобное взрыву”. Алхимической можно назвать связь между трисекцией угла и поиском корней многочлена третьей степени, найденную в эпоху Возрождения. Связывающая e, Pi и корень из минус единицы формула Эйлера - тоже, безусловно, алхимическая. Но и формула Рамануджана, в которой Pi выражено через несколько чисел, могла быть придумана только Алхимиком. Красота математической алхимии - в обнажении общности законов природы, она как раз того рода, что заставила сделать свой выбор Анатолия Вершика.
Третья группа - Борцы. Хотя математика точная наука, в ней слишком много объектов и величин, которые мы можем оценить, только сравнивая друг с другом. Хлеб Борцов - сравнения, асимптотические приближения, приближенные оценки.Характерным плодом Борца в списке Зеки - Атьи является формула Стирлинга для факториала (номер 41 в списке). Факториал натурального числа N - это произведение всех чисел от 1 до N. Такая функция повсеместно встречается в математике - от комбинаторики и теории вероятностей, где факториалы позволяют подсчитывать число событий определенного рода, до анализа, где они возникают, например, при разложении в ряд. Но факториалы неудобны, математикам куда проще обращаться с показательными функциями и экспонентами и перейти от одного к другому позволяет - пусть и асимптотически - как раз формула Стирлинга. “Важно осознавать, что за пределами чистой математики именно неравенства играют центральную роль в экономике, компьютерных науках, статистике, теории игр и исследовании операций. Возможно, обсессия тождествами - аберрация, уникальная для специалистов в чистой математике, - тогда как реальный мир управляется неравенствами”, - пишет Мамфорд. Математическая красота, которой добиваются Борцы, - не в последнюю очередь красота способности математики сложить людям на практике, в которой этой точной науке так часто наивно отказывают.
Наконец, последние - Детективы. Это люди, цель которых - раскрыть большое дело, найти решение какой-то особенно важной и глубокой задачи. Они повсюду ищут улики, они могут вскрыть в комнате паркет, надеясь найти под ним другой уровень объяснения. Они пользуются плодами Первооткрывателей, Алхимиков и Борцов, но ради своей собственной цели. И продвижение дается дорого: “Обычное состояние математика - находиться в тупике”, - говорил американский математик Питер Сарнак. Типичный детектив - Эндрю Уайлз, доказавший не поддававшуюся никому три с половиной века Большую теорему Ферма (номер 58 в списке). Еще один Детектив - Григорий Перельман, за несколько лет аскетического затворничества разобравшийся с гипотезой Пуанкаре. Именно такие люди становятся образцами для массового архетипа математика - гении, посвятившие себя решению абстрактной головоломки. И даже если путь к доказательству не обязательно окажется изящным, подвиг их разума, нашедшего выход из вечного тупика, красив особой красотой, не похожей на красоту открытий остальных математических племен.
Мамфорд отмечает, что для каждой из четырех групп - Первооткрывателей, Алхимиков, Борцов и Детективов можно подобрать отдел мозга, наиболее соответствующий их методам, и это будут разные участки мозга, а не одна только медиальная орбитофронтальная кора. Но даже такая попытка описать физиологическую основу математической красоты - спекуляция. “Предвидение нового абстрактного мира, раскрытие новых тайн, построение глобальных иерархий и решение сложнейших головоломок - вот четыре аспекта математики, которые ученые находят наиболее красивыми, - заключает Дэвид Мамфорд. - Но каждый из этих характерных видов красоты связан с различными видами ментальной деятельности. Можно ли надеяться связать каждую из них с конкретной зоной мозга?” Действительно, исследование Зеки и Атьи, основанное на достаточно ограниченном эксперименте, доказывает лишь то, что восприятие математической красоты в одном из ее аспектов в чем-то похоже на восприятие каких-то граней художественной или музыкальной красоты.
***
Но есть ли что-то в математической красоте, объединяющее все ее ипостаси, описанные Мамфордом, и фундаментально отличающее ее от других видов прекрасного (а может, наоборот - связывающее с ними)? “Платон считал математическую красоту высшей формой прекрасного, - пишут Семир Зеки и Майкл Атья, - ведь она происходит из чистого разума и связана с вечной и неизменной истиной”.
Анатолий Вершик написал на доске формулировку Большой эргодической теоремы, потому что она, плод чистого разума, описывает глубинное устройство природы. “Математик играет в игру, правила для которой он выдумывает сам, физик играет игру по правилам, которые даны природой, - писал один из создателей квантовой механики, Нобелевский лауреат Поль Дирак в 1939 году. - Но со временем становится все более очевидно, что именно те правила, которые кажутся интересными математику, и выбрала природа”. Красота математики - в способности увидеть истинную суть вещей. Пожалуй, это относится к любой красоте".
________________________________________________________________________________________
Интересно, а как назвать тех, кто ставят перед Детективами самые хитрые задачи, но решить их самостоятельно не могут?
Ведь не обязательно задачу исторически решает именно тот, кому в голову пришла её формулировка.
http://www.svoboda.org/content/article/27335973.html
"В середине октября американский математик Дэвид Мамфорд, как и Майкл Атья, лауреат "математического Нобеля", Филдсовской медали, ответил на статью Зеки и Атьи пространным эссе “Математика, красота и отделы мозга”. Мамфорд подчеркивает, что его рассуждения основаны не на строгом научном методе, а на собственном богатом опыте и общении с крупнейшими математическими мыслителями 20-го и 21-го века. Мамфорд предлагает разделить математиков на четыре группы (или “племени”) по тому, что движет ими в исследовательской работе - “в путешествии по эзотерическому миру”, как формулирует автор. Эти группы - Первооткрыватели, Алхимики, Борцы и Детективы.
К Первооткрывателям американский ученый относит исследователей, которые, подобно путешественникам прошлого, исследуют малоизведанные математические континенты и открывают новые материки. Среди Первооткрывателей Мамфорд выделяет Собирателей драгоценных камней, для которых важнее всего найти новый математический объект, и Картографов, которые прокладывают на новых землях маршруты, по которым вслед за Первооткрывателями пройдут другие ученые.
К числу первооткрывателей относятся, например, античные математики, когда-то нашедшие все правильные многогранники - трехмерные многогранники, каждая грань которых - правильный многоугольник, а в каждой вершине сходится одинаковое число ребер. Таких многогранников существует только пять - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр. По всей видимости, три из них были известны еще Пифагору, но еще два, октаэдр и икосаэдр, были открыты Таэтетом Афинским только 100 лет спустя. Как могло быть сделано такое открытие? Наитие, фантазия, пространственное воображение, озарение - вот главные инструменты Первооткрывателей, которых среди математиков много и сегодня. Конечно же, не все из них геометры, так, Дэвид Мамфорт упоминает американского математика Майка Артина, построившего теорию так называемых некоммутативных колец - абстрактных математических структур, в которых объекты можно складывать и перемножать, но x умножить на y не обязательно равно y умножить на x. Вряд ли сам Артин мог бы рассказать, как ему удалось наткнуться на этот богатейший математический материк, но воображение, способность представлять себе геометрические фигуры, свойственная многим Первооткрывателям, вряд ли сыграла здесь роль. Согласно апокрифу, когда алгебраиста Ирвина Каплански спросили, что он видит, когда думает о кольце (ring), он ответил: “Я вижу букву R”, то есть стандартное обозначение кольца в математической записи.
Мамфорд отмечает, что из 60 формул исследования Зеки и Атьи только три (с номерами 12, 15 и 28), так или иначе, имели отношение к открытиям Первооткрывателей. Но разве мало красоты в способности человека к озарению - и имеет ли эта красота отношение к визуальному восприятию прекрасного?
Второе математическое племя - Алхимики. Источник их вдохновения - скрытые связи между различными математическими областями. Обнаружение таких связей, похоже, по словам Мамфорда, “как если бы мы налили содержимое одной мензурки в другую и получили бы что-то удивительное, подобное взрыву”. Алхимической можно назвать связь между трисекцией угла и поиском корней многочлена третьей степени, найденную в эпоху Возрождения. Связывающая e, Pi и корень из минус единицы формула Эйлера - тоже, безусловно, алхимическая. Но и формула Рамануджана, в которой Pi выражено через несколько чисел, могла быть придумана только Алхимиком. Красота математической алхимии - в обнажении общности законов природы, она как раз того рода, что заставила сделать свой выбор Анатолия Вершика.
Третья группа - Борцы. Хотя математика точная наука, в ней слишком много объектов и величин, которые мы можем оценить, только сравнивая друг с другом. Хлеб Борцов - сравнения, асимптотические приближения, приближенные оценки.Характерным плодом Борца в списке Зеки - Атьи является формула Стирлинга для факториала (номер 41 в списке). Факториал натурального числа N - это произведение всех чисел от 1 до N. Такая функция повсеместно встречается в математике - от комбинаторики и теории вероятностей, где факториалы позволяют подсчитывать число событий определенного рода, до анализа, где они возникают, например, при разложении в ряд. Но факториалы неудобны, математикам куда проще обращаться с показательными функциями и экспонентами и перейти от одного к другому позволяет - пусть и асимптотически - как раз формула Стирлинга. “Важно осознавать, что за пределами чистой математики именно неравенства играют центральную роль в экономике, компьютерных науках, статистике, теории игр и исследовании операций. Возможно, обсессия тождествами - аберрация, уникальная для специалистов в чистой математике, - тогда как реальный мир управляется неравенствами”, - пишет Мамфорд. Математическая красота, которой добиваются Борцы, - не в последнюю очередь красота способности математики сложить людям на практике, в которой этой точной науке так часто наивно отказывают.
Наконец, последние - Детективы. Это люди, цель которых - раскрыть большое дело, найти решение какой-то особенно важной и глубокой задачи. Они повсюду ищут улики, они могут вскрыть в комнате паркет, надеясь найти под ним другой уровень объяснения. Они пользуются плодами Первооткрывателей, Алхимиков и Борцов, но ради своей собственной цели. И продвижение дается дорого: “Обычное состояние математика - находиться в тупике”, - говорил американский математик Питер Сарнак. Типичный детектив - Эндрю Уайлз, доказавший не поддававшуюся никому три с половиной века Большую теорему Ферма (номер 58 в списке). Еще один Детектив - Григорий Перельман, за несколько лет аскетического затворничества разобравшийся с гипотезой Пуанкаре. Именно такие люди становятся образцами для массового архетипа математика - гении, посвятившие себя решению абстрактной головоломки. И даже если путь к доказательству не обязательно окажется изящным, подвиг их разума, нашедшего выход из вечного тупика, красив особой красотой, не похожей на красоту открытий остальных математических племен.
Мамфорд отмечает, что для каждой из четырех групп - Первооткрывателей, Алхимиков, Борцов и Детективов можно подобрать отдел мозга, наиболее соответствующий их методам, и это будут разные участки мозга, а не одна только медиальная орбитофронтальная кора. Но даже такая попытка описать физиологическую основу математической красоты - спекуляция. “Предвидение нового абстрактного мира, раскрытие новых тайн, построение глобальных иерархий и решение сложнейших головоломок - вот четыре аспекта математики, которые ученые находят наиболее красивыми, - заключает Дэвид Мамфорд. - Но каждый из этих характерных видов красоты связан с различными видами ментальной деятельности. Можно ли надеяться связать каждую из них с конкретной зоной мозга?” Действительно, исследование Зеки и Атьи, основанное на достаточно ограниченном эксперименте, доказывает лишь то, что восприятие математической красоты в одном из ее аспектов в чем-то похоже на восприятие каких-то граней художественной или музыкальной красоты.
***
Но есть ли что-то в математической красоте, объединяющее все ее ипостаси, описанные Мамфордом, и фундаментально отличающее ее от других видов прекрасного (а может, наоборот - связывающее с ними)? “Платон считал математическую красоту высшей формой прекрасного, - пишут Семир Зеки и Майкл Атья, - ведь она происходит из чистого разума и связана с вечной и неизменной истиной”.
Анатолий Вершик написал на доске формулировку Большой эргодической теоремы, потому что она, плод чистого разума, описывает глубинное устройство природы. “Математик играет в игру, правила для которой он выдумывает сам, физик играет игру по правилам, которые даны природой, - писал один из создателей квантовой механики, Нобелевский лауреат Поль Дирак в 1939 году. - Но со временем становится все более очевидно, что именно те правила, которые кажутся интересными математику, и выбрала природа”. Красота математики - в способности увидеть истинную суть вещей. Пожалуй, это относится к любой красоте".
________________________________________________________________________________________
Интересно, а как назвать тех, кто ставят перед Детективами самые хитрые задачи, но решить их самостоятельно не могут?
Ведь не обязательно задачу исторически решает именно тот, кому в голову пришла её формулировка.