Правильная таблица умножения
Для многих математика в школе была непонятным и нелюбимым предметом. В большинстве случаев ученики не виноваты, просто их изначально неправильно учили и чем дальше, тем хуже учат. Рассмотрим ситуацию на примере всем известной "таблицы умножения". Есть такой старый анекдот: "Женщина возмущается что очень удобно 5х5=25, 6х6=36, а вот почему 7х7=49, неужели было трудно 47 сделать?" Очень практичный подход - сделать как ей удобно, а не как правильно. В начальной школе у всех нас "учительница первая моя", которая крайне редко идет против стандарта, действует "как учили", "по учебнику" и в соответствии с "методическими планами". Творчество и новаторство в этой области выражается в "женских" подходах - с со стихами и песнями, танцами и бубнами, зверушками и финтифлюшками от всей души с наивным желанием сделать привлекательнее и "красивше", с твердой уверенностью в том что "дэти, эта нелза понят, эта нужьна проста запомнит":
Ни о каком абстрактном мышлении здесь не может быть и речи - отвлекает всё, надо напрягаться даже чтобы просто прочитать. Но не будем сурово осуждать всех творцов, они хотели как лучше, а получилось как всегда.
Вместо злобствования попробуем немного поколдовать над всем известным, казалось бы простейшим предметом и последовательно очистить зерна истины от плевел маразма улучшательства.
Для начала убираем лишние краски, картинки, искажения и получаем обычные колонки примеров умножения:
Затем по принципу соблюдения необходимых и достаточных условий, отсекаем лишнее как скульптор: все примеры умножения на 1 и 10 как элементарные и все повторы. Последнее очень важно, ведь при механическом запоминании следует бойкий ответ 6х8=48, а вот 8х6= уже вызывает заминку либо ошибку. При исключении повторов такое нереально, поскольку уже сама система подачи материала заставляет понять что это одно и то же. Кроме того, психологически облегчает учёбу не только снижение числа примеров со 100 до 36, но и последовательное уменьшение их количества в колонках:
Именно такой, сокращенный вариант (правда с колонкой 1 х ...= ) можно было увидеть на обложках школьных тетрадей до 1970-х гг. Несомненно, можно остановиться на этом для удобства механического запоминания, но понимания математики оно не добавит. Поэтому двигаемся дальше.
Внимательный читатель наверное заметил, что до сих пор мы говорили о ПРИМЕРАХ умножения, а не о ТАБЛИЦЕ умножения.
Смотрим как выглядит настоящая, легкая, удобная для запоминания таблица умножения с полным и правильным названием: таблица умножения И ДЕЛЕНИЯ, поскольку множители одновременно являются и делителями. Хорошо заметна симметрия таблицы из-за выделения идущих по диагонали квадратов чисел:
историческое название "таблица Пифагора"
а так выглядела в древности таблица умножения у шумеров:
Делаем последнюю концептуальную трансформацию - начинаем таблицу умножения не сверху, а снизу. Почему? Во-первых, это интуитивно понятнее: ниже - меньше, выше - больше, а направление слева направо сохраняется как совпадающее с направлением письма слева - меньше, затем направо - больше. Во-вторых ... расскажем чуть позднее.
Правильную таблицу умножения можно дать ученику и в готовом виде, но лучше всего если он сам её составит. Да-да. Это вполне доступно даже первокласснику!
Рисуем сетку и нумеруем ряды и столбцы с 1 до 9 - это соответствует примерам умножения на 1, они же будут выполнять функции сомножителя/кратности/во сколько раз.
Затем учеником заполняются ряд и столбец с 2 путем прибавления числа 2 для каждой последующей клеточки, затем ряд и столбец с 3 и так далее, получается простая таблица умножения:
Что это даёт?
Уже с начальной школы ученик привыкает к табличной форме, с которой ему потом придется часто встречаться, интуитивно понимает, что таблицы создаются как удобный и концентрированный справочный материал, часть из которого надо знать наизусть для удобства применения.
Поначалу для удобства пользования таблицей лучше пользоваться "уголком" для выделения строк и столбцов - вырезаем квадрат с одного угла чистого тетрадного листа. Привычка координатного поиска образуется достаточно быстро.
При таком подходе не нужно тупо механически запоминать колонки примеров умножения, а сразу можно дать пользоваться всей таблицей. Пусть она лежит перед глазами в помощь решению примеров и через некоторое время тренировок запоминание придет само, в неё ученик будет заглядывать все реже и реже.
Таблица должна стать тем же, чем она была изначально - помощью в работе. Упор всегда и везде должен быть не на запоминание, а на понимание и знание где можно найти справочный материал и как им пользоваться.
При самостоятельном заполнении таблицы умножения построчно сразу становится очевидным что умножение - это всего лишь многоКРАТНОЕ сложение, и соответственно деление - это многоКРАТНОЕ вычитание, поэтому легко приходит понимание принципиальной разницы выражений "на сколько больше/меньше" и во сколько раз больше/меньше". Это очень важно для последующего составления уравнений по условиям задач.
Выделение штриховкой или цветом диагонали (квадратов чисел) ясно показывает симметричность таблицы, т.е. равнозначность последовательности сомножителей и здесь избыточность материала играет в сторону закрепления его (повторение - мать учения) и самостоятельного выявления такой закономерности.
Уже потом, когда потребуется в процессе обучения, дети узнАют сколько полезного и интересного связано со знакомой с первого класса простенькой табличкой. Подобно Журдену из "Мещанина во дворянстве" Ж.Б. Мольера, который с удивлением узнал что он говорит прозой, детям надо будет только добавить новую терминологию и новые выводы.
Например, им будут говорить уже не просто о втором сомножителе или кратности сложения, а назовут его коэффициентом.
Каждая строка и столбец таблицы представляют из себя арифметическую прогрессию, от которой легко переходим уже к геометрической прогрессии, факториалам и прочим будто бы сложностям.
Если выделить любой прямоугольник на такой таблице, то в правом верхнем углу его будет указана площадь (чудо!), т.е. таким образом демонстрируется что алгебра и геометрия - это всего лишь разные способы отображения общих закономерностей единой науки математики. Другими словами, наглядно показывается что произведение чисел соответствует площади прямоугольника, а квадрат числа - это действительно квадрат (соответственно для куба надо рисовать третью координату). А отсюда легко переходим к решению геометрических задач алгебраическими способами и наоборот - смотря что удобнее.
Понимание графиков с осями Х и Y, названиями "абсцисса" и "ордината" уже не вызовет затруднений - это будет привычная с начальных классов форма представления материала, надо только дорисовать стрелочки. И... объяснить чем отличаются кардинальные числа от ординальных (они же количественные и порядковые соответственно).
В конце-концов и понимание интеграла как суммы бесконечно малых величин исходит именно из понимания сути умножения натуральных чисел (и опять геометрические аналоги - площадь на криволинейной трапеции на графике функции), иначе интегрирование будет тупо восприниматься как заученные механические действия при обнаружении хитрой закорючки в виде длинной буквы S.
Так что большинство проблем из-за НЕПОНИМАНИЯ ОСНОВ.
Отсюда
Ни о каком абстрактном мышлении здесь не может быть и речи - отвлекает всё, надо напрягаться даже чтобы просто прочитать. Но не будем сурово осуждать всех творцов, они хотели как лучше, а получилось как всегда.
Вместо злобствования попробуем немного поколдовать над всем известным, казалось бы простейшим предметом и последовательно очистить зерна истины от плевел маразма улучшательства.
Для начала убираем лишние краски, картинки, искажения и получаем обычные колонки примеров умножения:
Затем по принципу соблюдения необходимых и достаточных условий, отсекаем лишнее как скульптор: все примеры умножения на 1 и 10 как элементарные и все повторы. Последнее очень важно, ведь при механическом запоминании следует бойкий ответ 6х8=48, а вот 8х6= уже вызывает заминку либо ошибку. При исключении повторов такое нереально, поскольку уже сама система подачи материала заставляет понять что это одно и то же. Кроме того, психологически облегчает учёбу не только снижение числа примеров со 100 до 36, но и последовательное уменьшение их количества в колонках:
Именно такой, сокращенный вариант (правда с колонкой 1 х ...= ) можно было увидеть на обложках школьных тетрадей до 1970-х гг. Несомненно, можно остановиться на этом для удобства механического запоминания, но понимания математики оно не добавит. Поэтому двигаемся дальше.
Внимательный читатель наверное заметил, что до сих пор мы говорили о ПРИМЕРАХ умножения, а не о ТАБЛИЦЕ умножения.
Смотрим как выглядит настоящая, легкая, удобная для запоминания таблица умножения с полным и правильным названием: таблица умножения И ДЕЛЕНИЯ, поскольку множители одновременно являются и делителями. Хорошо заметна симметрия таблицы из-за выделения идущих по диагонали квадратов чисел:
историческое название "таблица Пифагора"
а так выглядела в древности таблица умножения у шумеров:
Делаем последнюю концептуальную трансформацию - начинаем таблицу умножения не сверху, а снизу. Почему? Во-первых, это интуитивно понятнее: ниже - меньше, выше - больше, а направление слева направо сохраняется как совпадающее с направлением письма слева - меньше, затем направо - больше. Во-вторых ... расскажем чуть позднее.
Правильную таблицу умножения можно дать ученику и в готовом виде, но лучше всего если он сам её составит. Да-да. Это вполне доступно даже первокласснику!
Рисуем сетку и нумеруем ряды и столбцы с 1 до 9 - это соответствует примерам умножения на 1, они же будут выполнять функции сомножителя/кратности/во сколько раз.
Затем учеником заполняются ряд и столбец с 2 путем прибавления числа 2 для каждой последующей клеточки, затем ряд и столбец с 3 и так далее, получается простая таблица умножения:
Что это даёт?
Уже с начальной школы ученик привыкает к табличной форме, с которой ему потом придется часто встречаться, интуитивно понимает, что таблицы создаются как удобный и концентрированный справочный материал, часть из которого надо знать наизусть для удобства применения.
Поначалу для удобства пользования таблицей лучше пользоваться "уголком" для выделения строк и столбцов - вырезаем квадрат с одного угла чистого тетрадного листа. Привычка координатного поиска образуется достаточно быстро.
При таком подходе не нужно тупо механически запоминать колонки примеров умножения, а сразу можно дать пользоваться всей таблицей. Пусть она лежит перед глазами в помощь решению примеров и через некоторое время тренировок запоминание придет само, в неё ученик будет заглядывать все реже и реже.
Таблица должна стать тем же, чем она была изначально - помощью в работе. Упор всегда и везде должен быть не на запоминание, а на понимание и знание где можно найти справочный материал и как им пользоваться.
При самостоятельном заполнении таблицы умножения построчно сразу становится очевидным что умножение - это всего лишь многоКРАТНОЕ сложение, и соответственно деление - это многоКРАТНОЕ вычитание, поэтому легко приходит понимание принципиальной разницы выражений "на сколько больше/меньше" и во сколько раз больше/меньше". Это очень важно для последующего составления уравнений по условиям задач.
Выделение штриховкой или цветом диагонали (квадратов чисел) ясно показывает симметричность таблицы, т.е. равнозначность последовательности сомножителей и здесь избыточность материала играет в сторону закрепления его (повторение - мать учения) и самостоятельного выявления такой закономерности.
Уже потом, когда потребуется в процессе обучения, дети узнАют сколько полезного и интересного связано со знакомой с первого класса простенькой табличкой. Подобно Журдену из "Мещанина во дворянстве" Ж.Б. Мольера, который с удивлением узнал что он говорит прозой, детям надо будет только добавить новую терминологию и новые выводы.
Например, им будут говорить уже не просто о втором сомножителе или кратности сложения, а назовут его коэффициентом.
Каждая строка и столбец таблицы представляют из себя арифметическую прогрессию, от которой легко переходим уже к геометрической прогрессии, факториалам и прочим будто бы сложностям.
Если выделить любой прямоугольник на такой таблице, то в правом верхнем углу его будет указана площадь (чудо!), т.е. таким образом демонстрируется что алгебра и геометрия - это всего лишь разные способы отображения общих закономерностей единой науки математики. Другими словами, наглядно показывается что произведение чисел соответствует площади прямоугольника, а квадрат числа - это действительно квадрат (соответственно для куба надо рисовать третью координату). А отсюда легко переходим к решению геометрических задач алгебраическими способами и наоборот - смотря что удобнее.
Понимание графиков с осями Х и Y, названиями "абсцисса" и "ордината" уже не вызовет затруднений - это будет привычная с начальных классов форма представления материала, надо только дорисовать стрелочки. И... объяснить чем отличаются кардинальные числа от ординальных (они же количественные и порядковые соответственно).
В конце-концов и понимание интеграла как суммы бесконечно малых величин исходит именно из понимания сути умножения натуральных чисел (и опять геометрические аналоги - площадь на криволинейной трапеции на графике функции), иначе интегрирование будет тупо восприниматься как заученные механические действия при обнаружении хитрой закорючки в виде длинной буквы S.
Так что большинство проблем из-за НЕПОНИМАНИЯ ОСНОВ.
Отсюда