Анекдот недели

[ogn_slon]

В продолжение теоретико-множественной эзотерики ZFC/CH. Истинный трагизм аксиомы выбора в том, что о ней не ведал царь Соломон. Если бы он знал, то мог бы выявить парадокс Банаха-Тарского и, вместо разрезания дитя надвое, предложить разбиение на пять частей, оставляющее счастливыми обеих матерей.

(Источник: comment #44; видимо, по стопам xkcd.)

Comments

[lj_frank_bot]

Hello!
LiveJournal categorization system detected that your entry belongs to the following categories: Наука, Юмор.
If you think that this choice was wrong please reply this comment. Your feedback will help us improve system.
Frank,
LJ Team

[fat_yankey]

Я, честно говоря, не знаком с доказательством парадокса Банаха-Тарского. Насколько там существенно, что разбиваемая фигура именно шар?

Человек топологически эквивалентен тору, а не шару, может с ним такой фокус не выйдет? Или это неважно?

[ogn_slon]

Я тоже незнком с док-вом, но нет, не очень существенно, что именно шар, трюк проделываем с широким набором 3d-тел, см. Википедию:

A stronger form of the theorem implies that given any two "reasonable" solid objects (such as a small ball and a huge ball), the cut pieces of either one can be reassembled into the other. This is often stated informally as "a pea can be chopped up and reassembled into the Sun" and called the "pea and the Sun paradox".

[ogn_slon]

По здравому размышлению: возможность трюка с конечно-равносоставными телами разного объема сводится к наличию или отсутствию в данном пространстве меры с хорошими свойствами: конечная аддитивность, изометрия (инвариантность при сдвигах/поворотах/отражениях), измеримость любого множества и т.п. Если хорошая мера есть, трюк невозможен (так как привел бы к нарушению "закона сохранения вещества", который гарантирует хорошая мера). Соответственно, в R1 и R2, где хорошая конечно-аддитивная мера существует (доказано Банахом), трюк с пересборкой из конечного числа кусков с увеличением объема невозможен, а в Rn, n≥3 - возможен, поскольку хорошей конечно-аддитивной меры уже нет. При этом и в 1d/2d нет хорошей счетно-аддитивной меры, поэтому трюк со счетным числом компонентов - возможен и является, по сути, обобщением способа освободить комнату в отеле Гильберта.

...но я сильно вышел за границы своей зоны комфорта и мог наговорить ерунды, так что лучше закончу дозволенные речи.

[livejournal]

Hello! Your entry got to top-25 of the most popular entries of the Northern region in LiveJournal! Learn more about LiveJournal Ratings in FAQ.