Тонкая черная линия
Давно утратил надежду понять, как работают магические построения, доказывающие недоказуемость наличия или отсутствия промежуточной бесконечности между количествами целых и вещественных чисел в стандартной теории множеств ZFC. Везде, где обещают простое и ясное объяснение процесса, он либо описан, на самом деле, путано, непонятно, с пробелами и ощущением ненадежности и необязательно корректности изложения, либо все выстраивается вроде бы четко, последовательно и правильно, но я теряю ориентацию. Слишком сложно для меня, мой личный вычислительный ресурс быстро исчерпывается.
Сегодня анонсирована еще одна серия публикаций для непосвященных. Не строю иллюзий и в этот раз, но попытка не пытка. Фрагмент вводного поста Скотта Ааронсона в переводе: Наше занятие, как инженеров математической вселенной, будет заключаться в привязке континуума C к одному из алефов. Если мы подверстаем самый минимум вещественных чисел, то получим C=ℵ1, а если добавим ещё, то можем выйти на C=ℵ2 или ℵ3 и т. д. У нас не получится сделать C равным ℵ0 - в этом состоит теорема Кантора, - и мы также не можем сделать C равным ℵω по важной теореме Кёнига (König), о которой поговорим позднее (да, этот предмет щедр на умлауты). Но мы увидим, что C можно изготовить равным почти любому другому алефу: в частности, любой бесконечности кроме ℵ0, которая не является верхней гранью счетного списка меньших бесконечностей.
В некотором смысле этим исчерпывается весь путь, который необходимо пройти в данном предмете: от представления о мощности континуума как метафизической загадки, над которой размышляют, напряженно всматриваясь в черную линию на белой бумаге, к восприятию мощности континуума как инженерной задачи.
Источник (англ.): The Complete Idiot’s Guide to the Independence of the Continuum Hypothesis: Part 1 of <=Aleph_0.
(Альтернативное название поста: «Инженеры математических душ».)
UPD: анекдот в продолжение темы.