Разбор задачи про кумулятивное голосование
Вскрыл ответ и комментарии к задаче о выборе совета директоров. Правильные ответы сдали четыре человека, количественные рассуждения об ответе «84%» убираю во врезку.
Итак, по условию задачи, Икс отдает двум своим кандидатам по 77% от общего числа голосующих акций. Тогда для НЕпрохождения хотя бы одного из двоих в 11-местный совет директоров необходимо, чтобы минимум 10 других кандидатов собрали каждый голосов не меньше 77%. Значит, необходимым условием провала хотя бы одного из двух кандидатов от Икс является подача кумулятивных голосов в количестве не менее 924% (77×12%) от общего числа голосующих акций - по 77% за Иванова и Петрова, и еще минимум по 77% за каждого из 10 других. Поскольку стопроцентной явке соответствует, очевидно, количество кумулятивных голосов, равное 1100% от общего числа голосующих акций, то получается, что для провала хотя бы одного из кандидатов Икс явка должна быть не меньше 84% (924 : 1100 = 0.84). При меньшей явке Иванов и Петров проходят в совет директоров вдвоем, и их противники никак не могут этому воспрепятствовать.
Теперь, пусть явка составила ровно 84%, и пусть имеется ровно сто голосующих акций. Тогда на собрание принесли 84 акции, что дает 924 кумулятивных голоса. Из них 154 голоса Икс отдаст двум своим кандидатам, по 77 каждому, а остальные 770 голосов можно распределить поровну между 10 другими кандидатами, тоже по 77 каждому. Таким образом, у нас будет 12 кандидатов с одинаковым числом голосов, так что придется бросать жребий. Соответственно, одновременное прохождение двух выделенных кандидатов не гарантировано, так как зависит от воли случая.
Наконец, пусть явка оказалась более 84%, что дает более 924% кумулятивных голосов, из которых 154% отданы за Иванова и Петрова, а за других кандидатов остается более 770%. Мы можем опять распределить 770% кумулятивных голосов поровну между 10 другими кандидатами, так что у каждого из них будет 77%, то есть столько же, сколько у Иванова с Петровым. При этом останется еще какая-то нераспределенная часть голосов. Выбрав общее число голосующих акций достаточно большим, мы можем добиться, чтобы эта нераспределенная пока что часть в абсолютном выражении составила не менее, например, 10 голосов, и раздать эти последние голоса минимум по одному каждому из 10 других кандидатов. Тогда эти десять гарантированно пройдут в совет директоров, а Иванову и Петрову придется кидать между собой жребий, и один из них точно вылетит.
Таким образом, мы доказали, что при явке меньше 84% Иванов и Петров с гарантией проходят в совет директоров, и их противники при всем желании не в силах помешать этому. Мы также доказали, что при явке больше 84% гарантий уже нет, и мы можем без труда придумать такой расклад, при котором один из двоих точно не проходит. Следовательно, искомая пороговая явка действительно составляет 84%.
В качестве дополнения замечу, что, как справедливо указал panda_pandus, если бы у Икс было не 14% голосующих акций, а 16.7% , то он мог бы гарантированно провести двух своих кандидатов вне зависимости от явки. Точнее, для этого доля Икс должна была бы превышать 1/6 от общего числа голосующих акций.
Ну а на практике для полного успеха Лебедеву вполне могло хватить имеющихся у него 14-15% акций, и их в самом деле хватило - потому что явка была не стопроцентная, потому что за двух кандидатов Лебедева голосовали и другие акционеры, и потому что участники собрания имели различные цели и вряд ли все как один стремились скоординированно прокатить кого-то из кандидатов, даже если в теории они могли бы это сделать. Кстати говоря, в предыдущем составе совета директоров «Аэрофлота» тоже было два поддержанных Лебедевым кандидата, и в этот раз он снова сумел провести двоих, так что ничего неожиданного не произошло.