Задачка про хомячка и его судьбу.
Лет так не мало назад был у нас в школе такой норматив на физкультуре - по метанию мяча. Наверное, он и сейчас в школах есть, но суть не в этом. Суть в том, что физически нормально развитый пацан мог метнуть мячик метров на сорок без всяких проблем, а камешек, в силу его (камешка) габаритов, и еще дальше. А теперь задачка...
Какова будет судьба хомяка, если его метнуть на сорок метров?
Для упрощения решения принимаем следующие условия, которые, кстати, во многом обегчают хомячкову участь:
1. хомячок летит в вакууме, т.е. отсутствует сопротивление воздуха;
2. хомячок летит как единое целое, т.е. в процессе полета он не блюет, не ссыт и не какается (такое условие необходимо, что бы импульс хомяка в процессе полета не изменялся);
3. хомячок стартует с высоты 0 и приземляется на ту же высоту (только для упрощения расчетов);
4. рука, разгоняющая хомяка, движется с равномерным ускорением и по прямой;
5. дистанция разгона 1.5 метра (ну в принципе примерно так и есть).
Решение задачи:
Для начала вспомним школьную молодость и посчитаем, под каким углом к земле хомяка нужно метнуть, что бы он пролетел 40 метров с минимальной начальной скоростью. Пусть этот угол будет (alpha), начальная скорость Vo, время полета хомячка T, высота взлета хомячкая H, а расстояние пусть будет пока что D. Тогда
D=VoCOS(alpha)T, H=(VoSIN(alpha)-gT)T.
Из последнего уравнения узнаем, что
T=VoSIN(alpha)/g
и тогда общее время полета зверюшки
T=2VoSIN(alpha)/g
(ведь хомячек пролетает это расстояние (высоту) дважды (туда и обратно) с постоянным ускорением). Дальше имеем
D=2VoVoCOS(alpha)SIN(alpha)/g,
откуда угол взлета получается 45 градусов. Хм... Какая неожиданность... Как же давно я это считал, а ведь уже и забыл... Итак, хомячок пролетает расстояние
D=VoVo/g,
откуда
Vo=кв.кор. (Dg) (кв.кор. - квадратный корень).
Дальше рассчитываем ускорение, действующее на хомяка в процессе его разгона рукой до скорости Vo. Пусть оно будет А, расстояние разгона R, а время разгона оставим тоже T (предыдущее T нам уже не понадобится, потому буква освободилась). Тогда
Vo=AT (или A=Vo/T),
R=ATT/2=VoT/2=Tкв.кор.(Dg)/2.
Из последнего
T=2R/кв.кор.(Dg).
Далее подставляем T в уравнение для A и получаем -
A=Dg/(2R).
Итак, ускорение, которое получает хомячок при разгоне до заданной скорости Vo вычисляется по формуле
A=Dg/(2R),
где D - расстояние, на которое хомячка кидают, g - ускорение свободного падения (9.81 м/сс), а R - расстояние разгона. По условиям D=40 м, а R=1.5 м. Тогда A=130.8 м/сс или 13.3g!!!
Ответ:
Итак, на хомячка, которого метают в вакууме на 40 метров в момент разгона будет действовать перегрузка 13.3g!!! Надо сказать, что даже подготовленные космонавты выдерживают перегрузки не более 12g, а, например, снаряжение спелеолога рассчитано на рывок 10g (больше не имеет смысла, так как спасут только мешок с костями). Таким образом хомячок просто геройски погибнет в процессе разгона и уж, конечно, ему будет глубоко по барабану сам полет и мягкость того места, куда он приземлится. Кстати, с учетом допущений, т.е. отсутствие сопротивления воздуха, которое весьма значительно, совершенно ясно, что в реальности хомячок получит еще большие перегрузки. И еще... в конечной формуле отсутствует масса хомячка, т.е. вместо него можно метнуть любую другую зверюшку - котенка, ежика и слоника, результат будет тот же.
В заключении, любителям хомячков! Задачка носит чисто теоритеческий интерес, на практике проверять подобное никто не собирается :-)
Какова будет судьба хомяка, если его метнуть на сорок метров?
Для упрощения решения принимаем следующие условия, которые, кстати, во многом обегчают хомячкову участь:
1. хомячок летит в вакууме, т.е. отсутствует сопротивление воздуха;
2. хомячок летит как единое целое, т.е. в процессе полета он не блюет, не ссыт и не какается (такое условие необходимо, что бы импульс хомяка в процессе полета не изменялся);
3. хомячок стартует с высоты 0 и приземляется на ту же высоту (только для упрощения расчетов);
4. рука, разгоняющая хомяка, движется с равномерным ускорением и по прямой;
5. дистанция разгона 1.5 метра (ну в принципе примерно так и есть).
Решение задачи:
Для начала вспомним школьную молодость и посчитаем, под каким углом к земле хомяка нужно метнуть, что бы он пролетел 40 метров с минимальной начальной скоростью. Пусть этот угол будет (alpha), начальная скорость Vo, время полета хомячка T, высота взлета хомячкая H, а расстояние пусть будет пока что D. Тогда
D=VoCOS(alpha)T, H=(VoSIN(alpha)-gT)T.
Из последнего уравнения узнаем, что
T=VoSIN(alpha)/g
и тогда общее время полета зверюшки
T=2VoSIN(alpha)/g
(ведь хомячек пролетает это расстояние (высоту) дважды (туда и обратно) с постоянным ускорением). Дальше имеем
D=2VoVoCOS(alpha)SIN(alpha)/g,
откуда угол взлета получается 45 градусов. Хм... Какая неожиданность... Как же давно я это считал, а ведь уже и забыл... Итак, хомячок пролетает расстояние
D=VoVo/g,
откуда
Vo=кв.кор. (Dg) (кв.кор. - квадратный корень).
Дальше рассчитываем ускорение, действующее на хомяка в процессе его разгона рукой до скорости Vo. Пусть оно будет А, расстояние разгона R, а время разгона оставим тоже T (предыдущее T нам уже не понадобится, потому буква освободилась). Тогда
Vo=AT (или A=Vo/T),
R=ATT/2=VoT/2=Tкв.кор.(Dg)/2.
Из последнего
T=2R/кв.кор.(Dg).
Далее подставляем T в уравнение для A и получаем -
A=Dg/(2R).
Итак, ускорение, которое получает хомячок при разгоне до заданной скорости Vo вычисляется по формуле
A=Dg/(2R),
где D - расстояние, на которое хомячка кидают, g - ускорение свободного падения (9.81 м/сс), а R - расстояние разгона. По условиям D=40 м, а R=1.5 м. Тогда A=130.8 м/сс или 13.3g!!!
Ответ:
Итак, на хомячка, которого метают в вакууме на 40 метров в момент разгона будет действовать перегрузка 13.3g!!! Надо сказать, что даже подготовленные космонавты выдерживают перегрузки не более 12g, а, например, снаряжение спелеолога рассчитано на рывок 10g (больше не имеет смысла, так как спасут только мешок с костями). Таким образом хомячок просто геройски погибнет в процессе разгона и уж, конечно, ему будет глубоко по барабану сам полет и мягкость того места, куда он приземлится. Кстати, с учетом допущений, т.е. отсутствие сопротивления воздуха, которое весьма значительно, совершенно ясно, что в реальности хомячок получит еще большие перегрузки. И еще... в конечной формуле отсутствует масса хомячка, т.е. вместо него можно метнуть любую другую зверюшку - котенка, ежика и слоника, результат будет тот же.
В заключении, любителям хомячков! Задачка носит чисто теоритеческий интерес, на практике проверять подобное никто не собирается :-)