Об одном парадоксе
https://wiradhe.livejournal.com/28465.html
". Введем понятия "рекурсивных" слов (термин, впрочем, неважен - вместо "рекурсивный" можно было бы сказать "глокий" или "квадратичный" и др.): так мы будем называть те слова, которые сами обладают тем признаком или характеристикой, которую называют. Например, слово "существительное" - рекурсивно, ибо оно называет характеристику "быть существительным", а само при этом тоже является существительным. Слова же "прилагательное" и "глагол" - нерекурсивны, ибо называют они характеристики "быть прилагательным" и "быть глаголом", а сами являются существительными, а отнюдь не прилагательным или глаголом. Слово "двуслог" - рекурсивно, ибо оно называет двусложность и само является двусложным. Слово "удлиненный" - рекурсивно, потому что оно само удлиненное, а слово "краткий" - рекурсивно, потому что оно (точнее его корень) само имеет краткую форму (крат- вместо корот-). Слово "русский" рекурсивно, потому что само это слово - русское, а слово "арабский" нерекурсивно, потому что оно тоже русское (а не арабское). И т.д.
2. Теперь сам парадокс. Зададимся вопросом, рекурсивно ли (в указанном смысле) само слово "нерекурсивный"?
2.1. Допустим, что оно нерекурсивно. Но тогда оно называет тот признак (нерекурсивность), которым само же (будучи нерекурсивным) и обладает, - то есть является рекурсивным!
2.2. Допустим, что оно рекурсивно; но тогда оно называет признак (нерекурсивность), которым само (будучи рекурсивным) не обладает, и, стало быть, является нерекурсивным!
>> едем обратно в п. 2.1 и так до бесконечности, причем всякий раз из посылки вытекает опровергающий ее вывод (если допустить, что оно нерекурсивно, то получится, что оно рекурсивно, а если допустить, что оно рекурсивно, то получится, что оно нерекурсивно).
Разрешения этот парадокс не имеет. Как не имеет разрешения и его древний кратчайший прототип: "Некто сказал: я лгу. Сказал ли он правду?"
Если это правда, то выходит, что сейчас он не лжет. Но он-то сказал, что лжет, то есть, значит, сказал Неправду.
Если же он сказал неправду, то он лгал, но, значит, он сказал о своем высказывании правду, потому что он и сказал, что лжет.
Итак, если он сказал правду, то получсится, что он соглгал, а если он солгал, то получится, что он сказал правду, и это противоречие неразрешимо.
Этот древний вариант намного хуже варианта с рекурсивными словами тем, что он (древний вариант) существует за счет отождествления того высказывания, истинность которого обсуждается, с высказыванием об истинности этого высказывания. Высказывание "я лгу" не содержит никакого предмета, кроме самого себя. То есть на самом деле это высказывание - декоративный гомункулус, имитация высказывания, нарушающая правила мышления: в реальной речи лгать или не лгать можно только о чем-то объективном. И именно потому, что здесь нет объективного предмета высказывания, неразрешим и вопрос о его истиннности.
В случае же с рекурсивными словами парадокс чистый и ничего не нарушающий."
Мой ответ там:
"Никакого парадокса нет. Вы пытаетесь определить некоторую функцию на множестве слов. Оказывается, функцию с такими свойствами построить невозможно. В чём парадокс то?! Аналогична, кстати, ситуация с апориями Зенона. Никаких парадоксов там нет(что Зенон имхо прекрасно понимал), а есть примитивное мошеннчество.
Или, посмотрим, несколько иначе. Существует закон исключённого третьего
(А)или(неА) - истина. На который Вы ссылаетесь. Здесь А - переменная. В любой формальной системе д б определены обьекты, которые м б значениями переменной А. "Любое утверждение" - слишком неопределённый обьект.
Вот что пишет Манин в своих лекциях по мат логике о парадоксе брадобрея:
"Множество М называется хорошим, еcли оно не является своим элементом. Иначе оно называется плохим.
Рассмотрим множество S всех хороших множеств. Является оно хорошим или плохим? Оба утвеждения приводят к противоречию.
Многие предложенные способы избавления от этого парадокса сводятся к тому, чтобы истолковать его как д-во следующей теоремы:
"Множество S не существует". По причинам, скореее психологическим чем математическим, чаще вcего пытаются добиться, чтобы S нельзя было даже определить."
". Введем понятия "рекурсивных" слов (термин, впрочем, неважен - вместо "рекурсивный" можно было бы сказать "глокий" или "квадратичный" и др.): так мы будем называть те слова, которые сами обладают тем признаком или характеристикой, которую называют. Например, слово "существительное" - рекурсивно, ибо оно называет характеристику "быть существительным", а само при этом тоже является существительным. Слова же "прилагательное" и "глагол" - нерекурсивны, ибо называют они характеристики "быть прилагательным" и "быть глаголом", а сами являются существительными, а отнюдь не прилагательным или глаголом. Слово "двуслог" - рекурсивно, ибо оно называет двусложность и само является двусложным. Слово "удлиненный" - рекурсивно, потому что оно само удлиненное, а слово "краткий" - рекурсивно, потому что оно (точнее его корень) само имеет краткую форму (крат- вместо корот-). Слово "русский" рекурсивно, потому что само это слово - русское, а слово "арабский" нерекурсивно, потому что оно тоже русское (а не арабское). И т.д.
2. Теперь сам парадокс. Зададимся вопросом, рекурсивно ли (в указанном смысле) само слово "нерекурсивный"?
2.1. Допустим, что оно нерекурсивно. Но тогда оно называет тот признак (нерекурсивность), которым само же (будучи нерекурсивным) и обладает, - то есть является рекурсивным!
2.2. Допустим, что оно рекурсивно; но тогда оно называет признак (нерекурсивность), которым само (будучи рекурсивным) не обладает, и, стало быть, является нерекурсивным!
>> едем обратно в п. 2.1 и так до бесконечности, причем всякий раз из посылки вытекает опровергающий ее вывод (если допустить, что оно нерекурсивно, то получится, что оно рекурсивно, а если допустить, что оно рекурсивно, то получится, что оно нерекурсивно).
Разрешения этот парадокс не имеет. Как не имеет разрешения и его древний кратчайший прототип: "Некто сказал: я лгу. Сказал ли он правду?"
Если это правда, то выходит, что сейчас он не лжет. Но он-то сказал, что лжет, то есть, значит, сказал Неправду.
Если же он сказал неправду, то он лгал, но, значит, он сказал о своем высказывании правду, потому что он и сказал, что лжет.
Итак, если он сказал правду, то получсится, что он соглгал, а если он солгал, то получится, что он сказал правду, и это противоречие неразрешимо.
Этот древний вариант намного хуже варианта с рекурсивными словами тем, что он (древний вариант) существует за счет отождествления того высказывания, истинность которого обсуждается, с высказыванием об истинности этого высказывания. Высказывание "я лгу" не содержит никакого предмета, кроме самого себя. То есть на самом деле это высказывание - декоративный гомункулус, имитация высказывания, нарушающая правила мышления: в реальной речи лгать или не лгать можно только о чем-то объективном. И именно потому, что здесь нет объективного предмета высказывания, неразрешим и вопрос о его истиннности.
В случае же с рекурсивными словами парадокс чистый и ничего не нарушающий."
Мой ответ там:
"Никакого парадокса нет. Вы пытаетесь определить некоторую функцию на множестве слов. Оказывается, функцию с такими свойствами построить невозможно. В чём парадокс то?! Аналогична, кстати, ситуация с апориями Зенона. Никаких парадоксов там нет(что Зенон имхо прекрасно понимал), а есть примитивное мошеннчество.
Или, посмотрим, несколько иначе. Существует закон исключённого третьего
(А)или(неА) - истина. На который Вы ссылаетесь. Здесь А - переменная. В любой формальной системе д б определены обьекты, которые м б значениями переменной А. "Любое утверждение" - слишком неопределённый обьект.
Вот что пишет Манин в своих лекциях по мат логике о парадоксе брадобрея:
"Множество М называется хорошим, еcли оно не является своим элементом. Иначе оно называется плохим.
Рассмотрим множество S всех хороших множеств. Является оно хорошим или плохим? Оба утвеждения приводят к противоречию.
Многие предложенные способы избавления от этого парадокса сводятся к тому, чтобы истолковать его как д-во следующей теоремы:
"Множество S не существует". По причинам, скореее психологическим чем математическим, чаще вcего пытаются добиться, чтобы S нельзя было даже определить."