Математикам. Копия старого поста.
Цитата из Ленга
Пример. Пусть G - группа и Н - ее подгруппа индекса 2. Тогда Н нормальна в G. Доказательство. Заметим, что Н содержится в своем нормализаторе NH Поэтому индекс NH в G равен 1 или 2. Если он равен 1, то все доказано. Предположим, что он равен 2. Пусть G действует посредством сопряжения на множестве своих подгрупп. Тогда орбита подгруппы Н содержит 2 элемента и группа G действует на этой орбите. Таким образом, мы получаем гомоморфизм группы G в группу перестановок двух элементов.
Так как имеется одна сопряженная с Н подгруппа, не равная Н, то ядро этого гомоморфизма есть (нормальная) подгруппа индекса 2 и, следовательно, совпадает с Н, т. е. Н нормальна вопреки предположению. Это завершает доказательство.
Текст вызывает недоумение. Ведь факт очевиден(раз индекс 2, то группа G распадается на Н и её дополнение в G, которое будет и правым и левым 2-м смежным классом), Зачем же доказывать его так сложно(и путано)? :-)
Но смысл есть :-)
Ктo скажет какой? :-)
Сегодняшнее замечание. Я уже не помню, какой смысл имел ввиду, но кажется догадываюсь [Spoiler (click to open)]рассуждение вроде имеет смысл для любого простого числа. Но не проверил.
Пример. Пусть G - группа и Н - ее подгруппа индекса 2. Тогда Н нормальна в G. Доказательство. Заметим, что Н содержится в своем нормализаторе NH Поэтому индекс NH в G равен 1 или 2. Если он равен 1, то все доказано. Предположим, что он равен 2. Пусть G действует посредством сопряжения на множестве своих подгрупп. Тогда орбита подгруппы Н содержит 2 элемента и группа G действует на этой орбите. Таким образом, мы получаем гомоморфизм группы G в группу перестановок двух элементов.
Так как имеется одна сопряженная с Н подгруппа, не равная Н, то ядро этого гомоморфизма есть (нормальная) подгруппа индекса 2 и, следовательно, совпадает с Н, т. е. Н нормальна вопреки предположению. Это завершает доказательство.
Текст вызывает недоумение. Ведь факт очевиден(раз индекс 2, то группа G распадается на Н и её дополнение в G, которое будет и правым и левым 2-м смежным классом), Зачем же доказывать его так сложно(и путано)? :-)
Но смысл есть :-)
Ктo скажет какой? :-)
Сегодняшнее замечание. Я уже не помню, какой смысл имел ввиду, но кажется догадываюсь [Spoiler (click to open)]рассуждение вроде имеет смысл для любого простого числа. Но не проверил.