Небольшие гносеологические рассуждизмы
Эпиграф: Кто думает, что он знает что-нибудь, тот ничего ещё не знает так, как до́лжно знать ©
Давно хотелось излить куда-нибудь некоторые очевидные мысли, которые бродят у меня в голове и которые достаточно часто необходимо продумывать снова и снова. Необходимость эта возникает как в онлайн, так и в оффлайн интеллектуальных (иногда скорее "интеллектуальных") баталиях. Недавно я осознал (внезапно!), что Живой Журнал как раз для того и существует, чтобы хранить и распространять всякие рассуждизмы, ссылки, цитаты, и т.д.
Вполне возможно, что все описанное ниже может вызвать у многих умных читателей реакцию вида "спасибо, кэп", но в том-то и дело, что существует полно людей, которые умудряются всё это игнорировать. Короче, речь пойдет о банальной по сути вещи: что мы имеем ввиду, когда говорим, что знаем что-то? Тема эта велика, конечно, однако я не буду здесь касаться подробного обсуждения проблем Геттиера и всяких там "Коров на лугу". Возьмем конкретный случай интернет-баталии, который каждый читающий этот текст скорее всего наблюдал в живую: противостояние т.н. "верующих" и т.н. "неверующих". Почему-то так сложилось, что когда произносится слово "верующий", все сразу понимают о ком речь, хотя вообще-то следовало бы уточнять-верующий во что? Однако дело в том, что многие считают, что существует такая группа людей (в которую входит тот, кто так считает, конечно же), которая не верит никому и никогда, а полагается исключительно на знание, здравый смысл и некую истину. Вспомните, как часто вы слышали нечто подобное: "ха, да я никогда не верю никому на слово, у меня привычка всё проверять и полагаться только на факты". Далее обычно выясняется, что фактами могут быть некие научные исследования (не все, нет, выборочные), которые "доказали" то, то и то. Уже здесь имплицитно протаскивается первый догмат такого "неверующего": "научный метод и только он является верным способом познания". Это утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть, в него можно только верить или не верить.
Однако, пойдем далее, и спросим что собственно представляет собой "научный метод"? Обычно, начинаются некие пояснения за принцип фальсифицируемости Поппера, верифицируемость, достаточное обоснование и т.д., и т.п. Не знаю, понимают "неверующие" или нет, но поминая эти принципы они заходят на территорию философии, конкретно,- философии науки. И тут важно осознавать, что в философии в принципе не существует "общепринятого знания", здесь есть куча кланов, которые постоянно бьются между собой, иногда со времен зарождения философии в середине 1 тысячелетия до н.э. Никаких договоренностей, что считать знанием или доказательством здесь просто не существует. Философия науки исключением не стала: тут вам и реалисты, которые порой считают математику существующей аки платоновская идея, и венская школа позитивизма, которая носится с маховским эмпириокритицизмом и отрицает существование электронов и принципа причинности, и "анархист" Фейерабенд с принципом "дозволено всё"... Самое замечательное здесь то, что философию науки сложно отодрать от самой науки и "научного метода". В большинстве случаев философы науки сами являются учеными (как тот же Мах) и объясняют полученные данные через призму своих концепций (а чем дальше продвигается наука, тем невозможнее отделить данные от концепций). По поводу фальсифицируемости и верифицируемости соответственно есть разные мнения. Приведу обширную цитату из книги струнного теоретика Сасскинда Космический ландшафт. Теория струн и иллюзия разумного замысла Вселенной:
В течение всей моей многолетней карьеры учёного я слышал обвинения в нефальсифицируемости в отношении такого количества важных и интересных идей, что начал склоняться к уверенности, что нет для теории большей заслуги, чем подвергнуться подобной критике. Я приведу несколько примеров: «Из психологии. Вы, наверное, думаете, что все соглашаются с утверждением, что у каждого человека есть скрытая эмоциональная жизнь. Б. Ф. Скиннер с этим не согласен. Он был гуру научного направления, называемого бихевиоризмом, отрицающим всё, что не может быть непосредственно наблюдаемо, как ненаучное. Единственным предметом психологии, согласно бихевиористам, является внешнее поведение. Заявления об эмоциональном внутреннем мире пациента были исключены как нефальсифицируемые и ненаучные. Большинство из нас сегодня могли бы заявить, что это глупый экстремизм. Современная психология глубоко интересуется эмоциями и их развитием». «Из физики. В первые дни кварковой теории многие её противники обвиняли теорию в нефальсифицируемости. Кварки постоянно связаны друг с другом в протоны, нейтроны и мезоны. Они не могут быть разделены и зарегистрированы индивидуально. Они, если можно так сказать, постоянно скрыты за вуалями различного рода. Большинство физиков, критиковавших идею кварков, имели свои собственные представления об элементарных частицах, в которые кварки просто не вписывались. Но сегодня уже никто не сомневается в теории кварков, несмотря на то что до сих пор никому так и не удалось зарегистрировать свободный кварк. Сегодня кварковая модель - это часть фундамента современной физики». «Ещё одним примером является инфляционная теория Алана Гута. В 1980 году казалось невозможным заглянуть в эпоху инфляционного расширения и увидеть прямые доказательства этого явления. Непроницаемая завеса под названием "поверхность последнего рассеяния" предотвращала любые попытки увидеть инфляционный процесс. Многих из нас сильно беспокоило отсутствие хорошего способа проверки инфляционной теории. Некоторые, обычно авторы конкурирующих гипотез, утверждали, что инфляционная теория нефальсифицируема и поэтому ненаучна». «Я могу представить себе гвардейцев Ламарка, критикующих Дарвина: "Ваша теория нефальсифицируема, Чарльз. Вы не можете отправиться назад во времени, на миллионы лет, в течение которых действует естественный отбор. У вас всегда будут только косвенные доказательства и нефальсифицируемые гипотезы. Напротив, наша ламаркистская теория является научной, потому что она фальсифицируема. Всё, что мы должны сделать, - это выделить популяцию, особи которой будут проводить каждый день по несколько часов в тренажёрном зале, поднимая тяжести, и через несколько поколений их дети станут рождаться с уже накачанными мускулами': Ламаркисты были правы: их теория легко фальсифицируема - слишком легко. Но это не делает её лучше, чем теория Дарвина». «Есть люди, утверждающие, что мир был создан 6000 лет назад сразу со всеми геологическими образованиями, распространённостью изотопов и костями динозавров. Почти все учёные тычут пальцем в труды Поппера и заявляют: "Не фальсифицируемо!" И я готов с ними согласиться. Но ведь и противоположная точка зрения, утверждающая, что Вселенная не была создана таким образом, - она тоже нефальсифицируема. Кстати, именно это и говорят креационисты. Строгий критерий фальсифицируемости делает научный и креационистский подход одинаково ненаучными». «Хорошая научная методология не является абстрактным набором правил, продиктованным философами. Она обусловлена и определяется самой наукой и учёными, которые эту науку создают. То, что могло представлять научное доказательство для физика 1960-х годов, а именно обнаружение изолированной частицы, не подходит для современного специалиста по квантовой хромодинамике, который не может надеяться на обнаружение свободного кварка.
Другими словами, единственное отличие науки от философии (помимо бОльшей возни с приборами и матаном) заключается в том, что в науке есть нечто "общепринятое". В свою очередь методы принятия могут плясать от эпохи к эпохе и порой бывает сложно определить в чем эти методы заключаются. Выходит, что научное знание также бывает весьма неоднородным и в нем также есть огромная куча того, что необходимо принимать на веру.
Надо подчеркнуть, что я положительно отношусь к науке и её концепциям, не надо считать меня хейтером, просто я вижу её границы применимости. Наука описывает материальные взаимодействия, но для этого ей необходимо было ввести некие базовые неопределимые понятия (например, материи,хех), аксиомы (то что материя существует, например) и методы (к примеру, использование матана), в которые необходимо поверить. Человек, который утверждает, что формирует мировоззрение исключительно на научных фактах расписывается в том, что принимает весь научный символ веры (и имплицитно символ веры некоторых философских течений), и уже поэтому не может быть неверующим.
Опустимся на уровень ниже. Математика-язык естественных наук. Многие ученые верят, что в конце концов вся Вселенная может быть описана на страничке с несколькими математическими уравнениями (они называют такую Вселенную элегантной). Однако все ли хорошо в самой математике с доказательствами? Или там тоже нужно верить во что-то? Кто как не философ математики может дать на это ответ :) Перед вами математик В. А. Успенский Семь размышлений на темы философии математики//«Закономерности развития современной математики». М. Наука, 1987. с. 106 - 155.
Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке - причем не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к их удовольствию, осознается не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере следующие три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике - опять-таки в отличие от других наук - все строго доказывается из аксиом.....
....Когда что-то слишком общеизвестно, закрадывается подозрение, не является ли это «что-то» мифом (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.
Тогда, во-первых, обнаруживаем, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый-то портной у кого же учился?» - справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение все новых и новых понятий, в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то» наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое „что такое?"»
Давайте задумаемся об устройстве толкового словаря какого-либо языка - русского, английского и т. д. В нем одни слова определяются через другие, другие через третьи и т. п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счете через само себя)[прим.nikital2014-в логике подобная невозможность всё определить и обосновать называется трилемма Мюнхгаузена]. Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно, если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека - сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа и т. д....
....Итак, первый из мифов о математике - «в математике все определено» - оказывается разрушенным. Перейдем ко второму: «В математике все доказывается из аксиом». Чтобы убедиться, что это не так и, таким образом, разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А. П. Киселева, или какой-нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных - она же пятый постулат Евклида) найдем какие-либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем теорем теории чисел? По-видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом. (Насколько их можно сформулировать - тема следующего размышления.)...Остается выяснить, что же такое доказательство. Хотя, как мы отмечаем в самом начале настоящего очерка, неправильно полагать, что в математике все доказывается, нет сомнений, что понятие доказательства играет в математике центральную роль. «Со времен греков говорить „математика" - значит говорить „доказательство"» - так начинает свои «Начала математики» Николай Бурбаки. Вместе с тем мы отмечали, что понятие доказательства не принадлежит математике (математике принадлежит лишь его математическая модель - формальное доказательство). Оно принадлежит логике, лингвистике и больше всего - психологии.
Итак, термин «доказательство» - один из самых главных в математике - не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказательство - это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других.
Восприняв доказательство, мы делаемся в известной степени агрессивными, приобретая готовность убеждать других с помощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не приобретаем такой готовности, это значит, что мы еще не восприняли предъявленное нам рассуждение как доказательство и если даже признали его доказательством, то просто, чтобы отмахнуться.
Помимо этого, можно также упомянуть знаменитую теорему Гёделя о неполноте: "Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.". Другими словами, вы не знаете, что 2х2=4, вы в это верите, потому как доказать непротиворечивость арифметики невозможно (это если в понятие "знание" обязательно включать "обоснованность", просто есть разные понятия знания, ну вы понели). У писателя-фантаста Теда Чана (он один из авторов сценария недавнего суперского фильма "Прибытие") есть сильный рассказ "Деление на ноль", в котором одна ученая, безумно любившая математику, приходит к противоречию в какой-то формуле и понимает, что всему матану хана. Маловероятно, но в нашем мире тоже такое возможно, правда я думаю математики выкрутятся и пофиксят нужные аксиомы, как это случилось однажды с теорией множеств, и будут ждать следующего опровержения. Пока же каждый, кто пафосно объявляет себя мегаскептиком, должен уяснить, что распространять свой скептицизм он должен не избирательно, а на все подряд, включая повседневную арифметику.
Так или иначе, мы добрались до основы всего-до логики. Все у кого есть высшее образование, проходили классическую аристотелевскую логику в университете, рисовали круги Эйлера, решали задачки по типу "Все крокодилы зеленые, шарик зеленый, является ли он крокодилом", и т.д. Что, если я скажу, что нет никакой единственной "правильной" логики, а есть куча разных логических систем? Очередная цитата из очередной работы Истина и ложь: что такое истинностные значения и для чего они нужны [Текст] / Ярослав Шрамко // Логос. -2009. - N 2. - С. 96-121
Категория истины играет в логике особую роль. В частности, именно истина используется для определения основных логических понятий, таких как закон логики и отношение логического следования. В частности, закон логики определяется как высказывание, которое всегда принимает только значение «истина», а логическое следование-как отношение между высказываниями, которое сохраняет истинность от посылок к заключению. Отметим еще раз, что указанные требования, являясь предельно общими, носят качественный характер. Что касается числа элементов, которые могут входить в логический мир, то в природе последнего нет ничего, что как-либо ограничивало бы их количество. Действительно, первоначальная точка зрения Фреге, что может существовать лишь два истинностных значения, довольно быстро была поставлена под сомнение. Сделал это не кто иной, как Лукасевич, который выдвинул идею многозначной логики. «Много» означает здесь «больше, чем два», т. е. для начала достаточно рассмотреть возможность третьего истинностного значения, отличного как от истины, так и ото лжи. В содержательном плане третье истинностное значение может быть истолковано по-разному: как «неопределенно», «бессмысленно», «парадоксально» или же как-нибудь еще. В результате получаем «логи- ку неопределенности» (С. Клини), «логику бессмысленности» (Д. А. Бочвар), «логику парадокса» (Г. Прист) и другие логические системы. Для нас важна сама принципиальная возможность построения логик, отличных от классической двузначной логики. Открытие этой возможности по существу разрушило длительное время господствовавшее представление, что якобы существует (или должна существовать) одна-единственная «истинная логика». Все дальнейшее развитие логики убедительно опровергает такой архаичный взгляд на природу логики.
Мне особенно понравился описанный в статье логический мир Парменида-Гегеля. Парменида я вообще люблю, чувак очень лихо махал бритвой Оккама (её современным фанатам очень далеко до него) и не стеснялся постулировать нечто абсурдное и обосновывать это в рамках своей прекрасной логики.
Итак, что мы имеем. Начиная с вопроса о том, как нам мыслить, заканчивая природой любого явления, мы вынуждены опираться на веру, наверняка мы знаем только то, что ничего не знаем, что существование существует, все остальное лишь кажется нам убедительным настолько, что мы способны убеждать в этом других. И не более. Хотя, может где-то мы угадали и оно действительно так и есть.
Ну, а теперь совсем кратенько о сути спора верующих и неверующих. Все-таки с этого я начал, этим и закончу. Есть вопрос: почему Вселенная такова, какова она есть? Вопрос достаточно фундаментальный и многие ученые хотят на него ответить (ну тот же упоминаемый сегодня Сасскинд, например), не понимая порой, что обосновывая одни законы физики через другие они только откладывают проблему. Ответов же два и оба откровенно плохие, но какой-то хуже. Первый ответ прост и содержит в себе одно слово-патамушта. Ну, то есть Вселенная такова, потому что мы приписали ей свойство только такой и быть и на это нет никакой причины (нет никакой причины в том, что Вселенная такова и нет никакой причины приписывать ей это свойство. Я имел ввиду и то, и то). Другой ответ посложнее. Мы должны ввести Нечто, что не содержало бы в себе ничего, что есть во Вселенной (включая понятия и логику), но имело бы "свойство" "бытие равно сущее". Это можно понимать как непознаваемое свойство, которое если бы было нам известно, то мы не могли бы представить себе его отсутствие (а так мы можем помыслить себе что материи нет, сознания нет, пространства нет, ничего из составляющего Вселенной нет, философия этим постоянно занимается. А вот отсутствие Нечто мы не могли бы помыслить, если бы нам была известна его суть). Это Нечто назвали Богом и Он есть причина Вселенной. То есть ответ звучит "патамушта так захотел Бог". Ловкий ход в общем, но возможно и не для всех убедительный. Как вы поняли, первый ответ это атеизм, второй ответ-теизм (более подробно и понятно см. об этом Райхенбах, Б. Космологический аргумент // Стэнфордская энциклопедия философии (версия весны 2013 года) / Ред. Эдвард Н. Залта. Пер. с англ. М.О. Кедровой.) Есть еще ответ апатеизма-"мне похрен", но на практике он неотличим от атеизма. А вот агностицизм это не ответ, ибо в данном случае он относится к степени убежденности в атеизме или теизме. То есть "я уверен, Бога нет" это атеизм, "я не верю в Бога, но точно не знаю" это атеистический агностицизм, "я уверен, Бог есть" это теизм, "я верю в Бога, но точно не знаю" это религиозный агностицизм.
Такая вот загогулина. Вроде выговорился, полегчало. Может буду пост время от времени обновлять, ибо вроде как важная тема, а я особо не готовился, написал за вечер и многое упустил из вида.
Еще несколько красноречивых цитат в поддержку высказанных выше положений (которые уходят корнями еще в древнегреческую школу пирронизма и учение Карнеада)
Карл Поппер в книге "Объективное знание" рассуждает о знаменитом несомненном утверждении Декарта - Cogito, ergo sum (Мыслю, следовательно существую). И приходит к выводу, что и его можно отрицать.
Я признаю, что вера (belief) в свое собственное существование очень сильна. Однако я не признаю, что она может вынести тяжесть чего-либо подобного зданию картезианства: как стартовая платформа она слишком узка. Не думаю я, кстати, что она и столь несомненна, как думал Декарт (в чем его можно извинить). В замечательной книге Хью Раутледжа «Эверест 1933» можно прочесть о Кипе - одном из шерпов, который поднялся выше, чем ему следовало: «Помутившийся ум бедняги Кипы никак не мог расстаться с представлением, что он умер»
[36].Я не утверждаю, что представление бедного Кипы соответствовало здравому смыслу или даже было разумным, но оно бросает тень сомнения на ту непосредственность (directness) и несомненность (indubitability), о которых говорил Декарт. Во всяком случае я не претендую на подобную несомненность (certainty), хотя охотно признаю, что верить в существование твоего собственного мыслящего существа соответствует самому что ни на есть здравому смыслу. Я ставлю под сомнение не истинность декартова исходного пункта, а его достаточность для того, что хочет на нем построить Декарт, в частности его предполагаемую несомненность (indubitability).
[36]Routledge Н. Everest 1933. London: Hodder & Stoughton, 1934. P. 143. (Мне довелось испытать, может быть в течение нескольких секунд, нечто подобное тому, что пережил Кипа, когда меня однажды ударила молния на горе Sohnblick в Австрийских Альпах).
Мигель де Унамуно. О трагическом чувстве жизни у людей и народов.
«Лучше бросить думать о том, чего все равно невозможно знать», - скажет какой-нибудь читатель. Но разве это возможно? В своей прекраснейшей поэме Древний мудрец (The ancient sage) Теннисон говорит: «Ты не можешь доказать неизреченное (The Homeless). Ах, сын мой, ты не можешь доказать и мир, в котором ты живешь; ты не можешь доказать, что ты только тело, и не можешь доказать, что ты только дух, так же как и то, что ты единство тела и духа; ты не можешь доказать, что ты бессмертен, но и того, что ты смертен тоже; да, сын мой, ты не можешь доказать, что я, беседующий с тобою, не есмь ты, беседующий с самим собой, ибо ничто достойное доказательства не может быть ни доказано, ни опровергнуто, а посему будь благоразумен, все- ^да держись той стороны, которая лучше освещена солнцем сомнения и восходи к Вере, оставляя в стороне формулы Веры! ". Да, наверное, как сказал мудрец, ничто достойное доказательства не может быть ни доказано, ни опровергнуто, for nothing worthy proving can be proven, nor yet disproven.
Знатный тролль и приколист викторианской эпохи Льюис Кэрролл в своем рассказе "Что черепаха сказала Ахиллесу" показывает нам, что отрицать можно даже правила логического вывода:
Записывай под мою диктовку:
(А) Вещи, равные одной и той же, равны между собой.
(Б) Две стороны взятого треугольника - это вещи, равные одной и той же.
(В) Если А и Б истинны, Ю непременно истинно.
(Ю) Две стороны взятого треугольника равны между собой.
- Тебе следовало назвать последнее предложение Г, а не Ю, - сказал Ахиллес. - Оно наступает сразу после всех остальных: если ты принимаешь А, Б и В за истину, ты обязана принять Ю!
- Почему я обязана? - переспросила Черепаха.
- Потому что оно следует из них логически. Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно. Ты же не споришь с этим, я думаю?
- Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно, - задумчиво повторила Черепаха. - Это ещё одно гипотетическое предложение, не правда ли? И если я не сумею обнаружить в нём истину, то я могу принять А, Б и В, но всё же не принять Ю, разве нет?
- Можешь, - признал наш храбрый герой, - хотя это было бы проявлением феноменального упрямства. Но всё-таки событие возможно. Тогда я прошу тебя согласиться ещё с одним гипотетическим предложением.
- Замечательно. Я охотно соглашусь с ним, как только оно будет записано. Мы назовём его
(Г) Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно.
Ты записал его?
- Да! - радостно воскликнул Ахиллес, закинув карандаш в маленькие ножны. - И наконец-то мы добрались до конца этой идеальной гонки! Раз ты теперь принимаешь А, Б, В и Г, ты, конечно же, принимаешь Ю.
- Разве? - кротко переспросила Черепаха. - Давай будем вполне откровенны. Я принимаю А, Б, В и Г. Что, если я всё равно отказываюсь принимать Ю?
- Тогда логика схватит тебя за горло и вынудит тебя сделать это! - победоносно ответил Ахиллес. - Логика скажет тебе: «У тебя нет другого выхода. Теперь, приняв А, Б, В и Г, ты обязана принять Ю!» Как видишь, тебе все пути отрезаны.
- Всё, что логика соизволит сообщить мне, заслуживает быть записанным, - проговорила Черепаха. - Так что запиши в свой блокнот, пожалуйста. Мы назовём это предложение:
(Д) Если А, Б, В и Г истинны, то Ю непременно истинно.
Upd от 24.11.2022.
Нашел ещё великолепную цитату у ув. evgeniirudnyi:
Теперь мы хотим спросить, можно ли доказать, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5? И тут нас подстерегает шок: нет, нельзя. Или для перестраховки: если может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, тогда может быть доказано также, что 2 + 2 = 5, и математика есть просто нонсенс. На самом деле, если математика - не чепуха, то никакого утверждения формы "X не может быть доказано" не может быть доказано. Поэтому, если математика не чепуха, тогда, хотя не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, не может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5. Может быть доказано, что если может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, тогда может быть доказано, что 2 + 2 = 5.
Ю. Л. Ершов и В. В. Целищев, Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании, 2012. c. 391.
Давно хотелось излить куда-нибудь некоторые очевидные мысли, которые бродят у меня в голове и которые достаточно часто необходимо продумывать снова и снова. Необходимость эта возникает как в онлайн, так и в оффлайн интеллектуальных (иногда скорее "интеллектуальных") баталиях. Недавно я осознал (внезапно!), что Живой Журнал как раз для того и существует, чтобы хранить и распространять всякие рассуждизмы, ссылки, цитаты, и т.д.
Вполне возможно, что все описанное ниже может вызвать у многих умных читателей реакцию вида "спасибо, кэп", но в том-то и дело, что существует полно людей, которые умудряются всё это игнорировать. Короче, речь пойдет о банальной по сути вещи: что мы имеем ввиду, когда говорим, что знаем что-то? Тема эта велика, конечно, однако я не буду здесь касаться подробного обсуждения проблем Геттиера и всяких там "Коров на лугу". Возьмем конкретный случай интернет-баталии, который каждый читающий этот текст скорее всего наблюдал в живую: противостояние т.н. "верующих" и т.н. "неверующих". Почему-то так сложилось, что когда произносится слово "верующий", все сразу понимают о ком речь, хотя вообще-то следовало бы уточнять-верующий во что? Однако дело в том, что многие считают, что существует такая группа людей (в которую входит тот, кто так считает, конечно же), которая не верит никому и никогда, а полагается исключительно на знание, здравый смысл и некую истину. Вспомните, как часто вы слышали нечто подобное: "ха, да я никогда не верю никому на слово, у меня привычка всё проверять и полагаться только на факты". Далее обычно выясняется, что фактами могут быть некие научные исследования (не все, нет, выборочные), которые "доказали" то, то и то. Уже здесь имплицитно протаскивается первый догмат такого "неверующего": "научный метод и только он является верным способом познания". Это утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть, в него можно только верить или не верить.
Однако, пойдем далее, и спросим что собственно представляет собой "научный метод"? Обычно, начинаются некие пояснения за принцип фальсифицируемости Поппера, верифицируемость, достаточное обоснование и т.д., и т.п. Не знаю, понимают "неверующие" или нет, но поминая эти принципы они заходят на территорию философии, конкретно,- философии науки. И тут важно осознавать, что в философии в принципе не существует "общепринятого знания", здесь есть куча кланов, которые постоянно бьются между собой, иногда со времен зарождения философии в середине 1 тысячелетия до н.э. Никаких договоренностей, что считать знанием или доказательством здесь просто не существует. Философия науки исключением не стала: тут вам и реалисты, которые порой считают математику существующей аки платоновская идея, и венская школа позитивизма, которая носится с маховским эмпириокритицизмом и отрицает существование электронов и принципа причинности, и "анархист" Фейерабенд с принципом "дозволено всё"... Самое замечательное здесь то, что философию науки сложно отодрать от самой науки и "научного метода". В большинстве случаев философы науки сами являются учеными (как тот же Мах) и объясняют полученные данные через призму своих концепций (а чем дальше продвигается наука, тем невозможнее отделить данные от концепций). По поводу фальсифицируемости и верифицируемости соответственно есть разные мнения. Приведу обширную цитату из книги струнного теоретика Сасскинда Космический ландшафт. Теория струн и иллюзия разумного замысла Вселенной:
В течение всей моей многолетней карьеры учёного я слышал обвинения в нефальсифицируемости в отношении такого количества важных и интересных идей, что начал склоняться к уверенности, что нет для теории большей заслуги, чем подвергнуться подобной критике. Я приведу несколько примеров: «Из психологии. Вы, наверное, думаете, что все соглашаются с утверждением, что у каждого человека есть скрытая эмоциональная жизнь. Б. Ф. Скиннер с этим не согласен. Он был гуру научного направления, называемого бихевиоризмом, отрицающим всё, что не может быть непосредственно наблюдаемо, как ненаучное. Единственным предметом психологии, согласно бихевиористам, является внешнее поведение. Заявления об эмоциональном внутреннем мире пациента были исключены как нефальсифицируемые и ненаучные. Большинство из нас сегодня могли бы заявить, что это глупый экстремизм. Современная психология глубоко интересуется эмоциями и их развитием». «Из физики. В первые дни кварковой теории многие её противники обвиняли теорию в нефальсифицируемости. Кварки постоянно связаны друг с другом в протоны, нейтроны и мезоны. Они не могут быть разделены и зарегистрированы индивидуально. Они, если можно так сказать, постоянно скрыты за вуалями различного рода. Большинство физиков, критиковавших идею кварков, имели свои собственные представления об элементарных частицах, в которые кварки просто не вписывались. Но сегодня уже никто не сомневается в теории кварков, несмотря на то что до сих пор никому так и не удалось зарегистрировать свободный кварк. Сегодня кварковая модель - это часть фундамента современной физики». «Ещё одним примером является инфляционная теория Алана Гута. В 1980 году казалось невозможным заглянуть в эпоху инфляционного расширения и увидеть прямые доказательства этого явления. Непроницаемая завеса под названием "поверхность последнего рассеяния" предотвращала любые попытки увидеть инфляционный процесс. Многих из нас сильно беспокоило отсутствие хорошего способа проверки инфляционной теории. Некоторые, обычно авторы конкурирующих гипотез, утверждали, что инфляционная теория нефальсифицируема и поэтому ненаучна». «Я могу представить себе гвардейцев Ламарка, критикующих Дарвина: "Ваша теория нефальсифицируема, Чарльз. Вы не можете отправиться назад во времени, на миллионы лет, в течение которых действует естественный отбор. У вас всегда будут только косвенные доказательства и нефальсифицируемые гипотезы. Напротив, наша ламаркистская теория является научной, потому что она фальсифицируема. Всё, что мы должны сделать, - это выделить популяцию, особи которой будут проводить каждый день по несколько часов в тренажёрном зале, поднимая тяжести, и через несколько поколений их дети станут рождаться с уже накачанными мускулами': Ламаркисты были правы: их теория легко фальсифицируема - слишком легко. Но это не делает её лучше, чем теория Дарвина». «Есть люди, утверждающие, что мир был создан 6000 лет назад сразу со всеми геологическими образованиями, распространённостью изотопов и костями динозавров. Почти все учёные тычут пальцем в труды Поппера и заявляют: "Не фальсифицируемо!" И я готов с ними согласиться. Но ведь и противоположная точка зрения, утверждающая, что Вселенная не была создана таким образом, - она тоже нефальсифицируема. Кстати, именно это и говорят креационисты. Строгий критерий фальсифицируемости делает научный и креационистский подход одинаково ненаучными». «Хорошая научная методология не является абстрактным набором правил, продиктованным философами. Она обусловлена и определяется самой наукой и учёными, которые эту науку создают. То, что могло представлять научное доказательство для физика 1960-х годов, а именно обнаружение изолированной частицы, не подходит для современного специалиста по квантовой хромодинамике, который не может надеяться на обнаружение свободного кварка.
Другими словами, единственное отличие науки от философии (помимо бОльшей возни с приборами и матаном) заключается в том, что в науке есть нечто "общепринятое". В свою очередь методы принятия могут плясать от эпохи к эпохе и порой бывает сложно определить в чем эти методы заключаются. Выходит, что научное знание также бывает весьма неоднородным и в нем также есть огромная куча того, что необходимо принимать на веру.
Надо подчеркнуть, что я положительно отношусь к науке и её концепциям, не надо считать меня хейтером, просто я вижу её границы применимости. Наука описывает материальные взаимодействия, но для этого ей необходимо было ввести некие базовые неопределимые понятия (например, материи,хех), аксиомы (то что материя существует, например) и методы (к примеру, использование матана), в которые необходимо поверить. Человек, который утверждает, что формирует мировоззрение исключительно на научных фактах расписывается в том, что принимает весь научный символ веры (и имплицитно символ веры некоторых философских течений), и уже поэтому не может быть неверующим.
Опустимся на уровень ниже. Математика-язык естественных наук. Многие ученые верят, что в конце концов вся Вселенная может быть описана на страничке с несколькими математическими уравнениями (они называют такую Вселенную элегантной). Однако все ли хорошо в самой математике с доказательствами? Или там тоже нужно верить во что-то? Кто как не философ математики может дать на это ответ :) Перед вами математик В. А. Успенский Семь размышлений на темы философии математики//«Закономерности развития современной математики». М. Наука, 1987. с. 106 - 155.
Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке - причем не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к их удовольствию, осознается не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере следующие три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике - опять-таки в отличие от других наук - все строго доказывается из аксиом.....
....Когда что-то слишком общеизвестно, закрадывается подозрение, не является ли это «что-то» мифом (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.
Тогда, во-первых, обнаруживаем, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый-то портной у кого же учился?» - справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение все новых и новых понятий, в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то» наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое „что такое?"»
Давайте задумаемся об устройстве толкового словаря какого-либо языка - русского, английского и т. д. В нем одни слова определяются через другие, другие через третьи и т. п. Но поскольку слов в языке конечное число, то неизбежно возникает круг (т. е. ситуация, в которой слово определяется в конечном счете через само себя)[прим.nikital2014-в логике подобная невозможность всё определить и обосновать называется трилемма Мюнхгаузена]. Избежать такого круга можно лишь одним способом: оставить некоторые слова без объяснений. В некоторых словарях так и делают. Так же, разумеется, обстоит дело и с понятиями математики. А именно, если только не допускать порочного круга, некоторые понятия должны остаться без определения. Спрашивается, как же могут быть усвоены эти понятия. Ответ: из непосредственного наблюдения, из опыта, из интуиции. Нет нужды напоминать, что формирование общих, абстрактных понятий в мозгу человека - сложный процесс, принадлежащий более психологии, нежели логике. Эти понятия, усваиваемые не из словесного определения, а из непосредственного личного опыта, естественно называть первичными понятиями, или категориями, математики. К числу таких категорий относятся, например, понятия точки, прямой, множества, натурального числа и т. д....
....Итак, первый из мифов о математике - «в математике все определено» - оказывается разрушенным. Перейдем ко второму: «В математике все доказывается из аксиом». Чтобы убедиться, что это не так и, таким образом, разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А. П. Киселева, или какой-нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных - она же пятый постулат Евклида) найдем какие-либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем теорем теории чисел? По-видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом. (Насколько их можно сформулировать - тема следующего размышления.)...Остается выяснить, что же такое доказательство. Хотя, как мы отмечаем в самом начале настоящего очерка, неправильно полагать, что в математике все доказывается, нет сомнений, что понятие доказательства играет в математике центральную роль. «Со времен греков говорить „математика" - значит говорить „доказательство"» - так начинает свои «Начала математики» Николай Бурбаки. Вместе с тем мы отмечали, что понятие доказательства не принадлежит математике (математике принадлежит лишь его математическая модель - формальное доказательство). Оно принадлежит логике, лингвистике и больше всего - психологии.
Итак, термин «доказательство» - один из самых главных в математике - не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказательство - это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других.
Восприняв доказательство, мы делаемся в известной степени агрессивными, приобретая готовность убеждать других с помощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не приобретаем такой готовности, это значит, что мы еще не восприняли предъявленное нам рассуждение как доказательство и если даже признали его доказательством, то просто, чтобы отмахнуться.
Помимо этого, можно также упомянуть знаменитую теорему Гёделя о неполноте: "Если формальная арифметика S непротиворечива, то в ней невыводима формула, содержательно утверждающая непротиворечивость S.". Другими словами, вы не знаете, что 2х2=4, вы в это верите, потому как доказать непротиворечивость арифметики невозможно (это если в понятие "знание" обязательно включать "обоснованность", просто есть разные понятия знания, ну вы понели). У писателя-фантаста Теда Чана (он один из авторов сценария недавнего суперского фильма "Прибытие") есть сильный рассказ "Деление на ноль", в котором одна ученая, безумно любившая математику, приходит к противоречию в какой-то формуле и понимает, что всему матану хана. Маловероятно, но в нашем мире тоже такое возможно, правда я думаю математики выкрутятся и пофиксят нужные аксиомы, как это случилось однажды с теорией множеств, и будут ждать следующего опровержения. Пока же каждый, кто пафосно объявляет себя мегаскептиком, должен уяснить, что распространять свой скептицизм он должен не избирательно, а на все подряд, включая повседневную арифметику.
Так или иначе, мы добрались до основы всего-до логики. Все у кого есть высшее образование, проходили классическую аристотелевскую логику в университете, рисовали круги Эйлера, решали задачки по типу "Все крокодилы зеленые, шарик зеленый, является ли он крокодилом", и т.д. Что, если я скажу, что нет никакой единственной "правильной" логики, а есть куча разных логических систем? Очередная цитата из очередной работы Истина и ложь: что такое истинностные значения и для чего они нужны [Текст] / Ярослав Шрамко // Логос. -2009. - N 2. - С. 96-121
Категория истины играет в логике особую роль. В частности, именно истина используется для определения основных логических понятий, таких как закон логики и отношение логического следования. В частности, закон логики определяется как высказывание, которое всегда принимает только значение «истина», а логическое следование-как отношение между высказываниями, которое сохраняет истинность от посылок к заключению. Отметим еще раз, что указанные требования, являясь предельно общими, носят качественный характер. Что касается числа элементов, которые могут входить в логический мир, то в природе последнего нет ничего, что как-либо ограничивало бы их количество. Действительно, первоначальная точка зрения Фреге, что может существовать лишь два истинностных значения, довольно быстро была поставлена под сомнение. Сделал это не кто иной, как Лукасевич, который выдвинул идею многозначной логики. «Много» означает здесь «больше, чем два», т. е. для начала достаточно рассмотреть возможность третьего истинностного значения, отличного как от истины, так и ото лжи. В содержательном плане третье истинностное значение может быть истолковано по-разному: как «неопределенно», «бессмысленно», «парадоксально» или же как-нибудь еще. В результате получаем «логи- ку неопределенности» (С. Клини), «логику бессмысленности» (Д. А. Бочвар), «логику парадокса» (Г. Прист) и другие логические системы. Для нас важна сама принципиальная возможность построения логик, отличных от классической двузначной логики. Открытие этой возможности по существу разрушило длительное время господствовавшее представление, что якобы существует (или должна существовать) одна-единственная «истинная логика». Все дальнейшее развитие логики убедительно опровергает такой архаичный взгляд на природу логики.
Мне особенно понравился описанный в статье логический мир Парменида-Гегеля. Парменида я вообще люблю, чувак очень лихо махал бритвой Оккама (её современным фанатам очень далеко до него) и не стеснялся постулировать нечто абсурдное и обосновывать это в рамках своей прекрасной логики.
Итак, что мы имеем. Начиная с вопроса о том, как нам мыслить, заканчивая природой любого явления, мы вынуждены опираться на веру, наверняка мы знаем только то, что ничего не знаем, что существование существует, все остальное лишь кажется нам убедительным настолько, что мы способны убеждать в этом других. И не более. Хотя, может где-то мы угадали и оно действительно так и есть.
Ну, а теперь совсем кратенько о сути спора верующих и неверующих. Все-таки с этого я начал, этим и закончу. Есть вопрос: почему Вселенная такова, какова она есть? Вопрос достаточно фундаментальный и многие ученые хотят на него ответить (ну тот же упоминаемый сегодня Сасскинд, например), не понимая порой, что обосновывая одни законы физики через другие они только откладывают проблему. Ответов же два и оба откровенно плохие, но какой-то хуже. Первый ответ прост и содержит в себе одно слово-патамушта. Ну, то есть Вселенная такова, потому что мы приписали ей свойство только такой и быть и на это нет никакой причины (нет никакой причины в том, что Вселенная такова и нет никакой причины приписывать ей это свойство. Я имел ввиду и то, и то). Другой ответ посложнее. Мы должны ввести Нечто, что не содержало бы в себе ничего, что есть во Вселенной (включая понятия и логику), но имело бы "свойство" "бытие равно сущее". Это можно понимать как непознаваемое свойство, которое если бы было нам известно, то мы не могли бы представить себе его отсутствие (а так мы можем помыслить себе что материи нет, сознания нет, пространства нет, ничего из составляющего Вселенной нет, философия этим постоянно занимается. А вот отсутствие Нечто мы не могли бы помыслить, если бы нам была известна его суть). Это Нечто назвали Богом и Он есть причина Вселенной. То есть ответ звучит "патамушта так захотел Бог". Ловкий ход в общем, но возможно и не для всех убедительный. Как вы поняли, первый ответ это атеизм, второй ответ-теизм (более подробно и понятно см. об этом Райхенбах, Б. Космологический аргумент // Стэнфордская энциклопедия философии (версия весны 2013 года) / Ред. Эдвард Н. Залта. Пер. с англ. М.О. Кедровой.) Есть еще ответ апатеизма-"мне похрен", но на практике он неотличим от атеизма. А вот агностицизм это не ответ, ибо в данном случае он относится к степени убежденности в атеизме или теизме. То есть "я уверен, Бога нет" это атеизм, "я не верю в Бога, но точно не знаю" это атеистический агностицизм, "я уверен, Бог есть" это теизм, "я верю в Бога, но точно не знаю" это религиозный агностицизм.
Такая вот загогулина. Вроде выговорился, полегчало. Может буду пост время от времени обновлять, ибо вроде как важная тема, а я особо не готовился, написал за вечер и многое упустил из вида.
Еще несколько красноречивых цитат в поддержку высказанных выше положений (которые уходят корнями еще в древнегреческую школу пирронизма и учение Карнеада)
Карл Поппер в книге "Объективное знание" рассуждает о знаменитом несомненном утверждении Декарта - Cogito, ergo sum (Мыслю, следовательно существую). И приходит к выводу, что и его можно отрицать.
Я признаю, что вера (belief) в свое собственное существование очень сильна. Однако я не признаю, что она может вынести тяжесть чего-либо подобного зданию картезианства: как стартовая платформа она слишком узка. Не думаю я, кстати, что она и столь несомненна, как думал Декарт (в чем его можно извинить). В замечательной книге Хью Раутледжа «Эверест 1933» можно прочесть о Кипе - одном из шерпов, который поднялся выше, чем ему следовало: «Помутившийся ум бедняги Кипы никак не мог расстаться с представлением, что он умер»
[36].Я не утверждаю, что представление бедного Кипы соответствовало здравому смыслу или даже было разумным, но оно бросает тень сомнения на ту непосредственность (directness) и несомненность (indubitability), о которых говорил Декарт. Во всяком случае я не претендую на подобную несомненность (certainty), хотя охотно признаю, что верить в существование твоего собственного мыслящего существа соответствует самому что ни на есть здравому смыслу. Я ставлю под сомнение не истинность декартова исходного пункта, а его достаточность для того, что хочет на нем построить Декарт, в частности его предполагаемую несомненность (indubitability).
[36]Routledge Н. Everest 1933. London: Hodder & Stoughton, 1934. P. 143. (Мне довелось испытать, может быть в течение нескольких секунд, нечто подобное тому, что пережил Кипа, когда меня однажды ударила молния на горе Sohnblick в Австрийских Альпах).
Мигель де Унамуно. О трагическом чувстве жизни у людей и народов.
«Лучше бросить думать о том, чего все равно невозможно знать», - скажет какой-нибудь читатель. Но разве это возможно? В своей прекраснейшей поэме Древний мудрец (The ancient sage) Теннисон говорит: «Ты не можешь доказать неизреченное (The Homeless). Ах, сын мой, ты не можешь доказать и мир, в котором ты живешь; ты не можешь доказать, что ты только тело, и не можешь доказать, что ты только дух, так же как и то, что ты единство тела и духа; ты не можешь доказать, что ты бессмертен, но и того, что ты смертен тоже; да, сын мой, ты не можешь доказать, что я, беседующий с тобою, не есмь ты, беседующий с самим собой, ибо ничто достойное доказательства не может быть ни доказано, ни опровергнуто, а посему будь благоразумен, все- ^да держись той стороны, которая лучше освещена солнцем сомнения и восходи к Вере, оставляя в стороне формулы Веры! ". Да, наверное, как сказал мудрец, ничто достойное доказательства не может быть ни доказано, ни опровергнуто, for nothing worthy proving can be proven, nor yet disproven.
Знатный тролль и приколист викторианской эпохи Льюис Кэрролл в своем рассказе "Что черепаха сказала Ахиллесу" показывает нам, что отрицать можно даже правила логического вывода:
Записывай под мою диктовку:
(А) Вещи, равные одной и той же, равны между собой.
(Б) Две стороны взятого треугольника - это вещи, равные одной и той же.
(В) Если А и Б истинны, Ю непременно истинно.
(Ю) Две стороны взятого треугольника равны между собой.
- Тебе следовало назвать последнее предложение Г, а не Ю, - сказал Ахиллес. - Оно наступает сразу после всех остальных: если ты принимаешь А, Б и В за истину, ты обязана принять Ю!
- Почему я обязана? - переспросила Черепаха.
- Потому что оно следует из них логически. Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно. Ты же не споришь с этим, я думаю?
- Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно, - задумчиво повторила Черепаха. - Это ещё одно гипотетическое предложение, не правда ли? И если я не сумею обнаружить в нём истину, то я могу принять А, Б и В, но всё же не принять Ю, разве нет?
- Можешь, - признал наш храбрый герой, - хотя это было бы проявлением феноменального упрямства. Но всё-таки событие возможно. Тогда я прошу тебя согласиться ещё с одним гипотетическим предложением.
- Замечательно. Я охотно соглашусь с ним, как только оно будет записано. Мы назовём его
(Г) Если А, Б и В истинны, то Ю непременно истинно.
Ты записал его?
- Да! - радостно воскликнул Ахиллес, закинув карандаш в маленькие ножны. - И наконец-то мы добрались до конца этой идеальной гонки! Раз ты теперь принимаешь А, Б, В и Г, ты, конечно же, принимаешь Ю.
- Разве? - кротко переспросила Черепаха. - Давай будем вполне откровенны. Я принимаю А, Б, В и Г. Что, если я всё равно отказываюсь принимать Ю?
- Тогда логика схватит тебя за горло и вынудит тебя сделать это! - победоносно ответил Ахиллес. - Логика скажет тебе: «У тебя нет другого выхода. Теперь, приняв А, Б, В и Г, ты обязана принять Ю!» Как видишь, тебе все пути отрезаны.
- Всё, что логика соизволит сообщить мне, заслуживает быть записанным, - проговорила Черепаха. - Так что запиши в свой блокнот, пожалуйста. Мы назовём это предложение:
(Д) Если А, Б, В и Г истинны, то Ю непременно истинно.
Upd от 24.11.2022.
Нашел ещё великолепную цитату у ув. evgeniirudnyi:
Теперь мы хотим спросить, можно ли доказать, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5? И тут нас подстерегает шок: нет, нельзя. Или для перестраховки: если может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, тогда может быть доказано также, что 2 + 2 = 5, и математика есть просто нонсенс. На самом деле, если математика - не чепуха, то никакого утверждения формы "X не может быть доказано" не может быть доказано. Поэтому, если математика не чепуха, тогда, хотя не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, не может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5. Может быть доказано, что если может быть доказано, что не может быть доказано, что 2 + 2 = 5, тогда может быть доказано, что 2 + 2 = 5.
Ю. Л. Ершов и В. В. Целищев, Алгоритмы и вычислимость в человеческом познании, 2012. c. 391.