Я, преподавая тупым училкам старших классов, зарёкся использовать слово "доказательство". Давайте я вам объясню, почему это так... А вот ещё другое объяснение есть, ничуть ни хуже предыдущего.
А почему, собственно, эзотерика? Мне кажется, очень даже центральная математика.:)
Мне кажется, те доказательства, которые за одну пару не расскажешь, лучше пропустить - если внутри нет симпатичных лемм.
Что касается цели, то одна из основных задач алгебраической топологии - посчитать гомотопические группы сфер. Решить ее, видимо, невозможно - но в имеющихся попытках много важных вещей возникает.
Это в науке. А при обучении, как по мне, главная задача - научить их грамотно работать с гомологиями и когомологиями, чтоб понимали, что можно, а что нельзя. И для этогонужны точные формулировки. Как мне сейчас кажется, "кухню" надо рассказывать в том объеме, чтоб можно было дать формулировки (как минимум).
Я иногда практикую "последовательные итерации", давая определение. Сначала даёшь "интуитивное определение", скажем, симплициального комплекса, начинаешь с ним как-то работать, а потом по мере необходимости уточняешь детали, когда возникают двусмысленности или проблемы.
В случае именно с симпл. комплексом я бы, наверное, сначала дал (сразу строгое) определение конечного комплекса (и поработал, да) - там топологию очевидной метрикой можно задать. А затем определил бы (тоже строго) произвольный.
Все-таки студенты МКН - не тупые училки, а, прямо так скажем, другая крайность спектра. Уж кому-кому, а как раз им более чем всем другим ученикам имеет смысл доказывать.
Совершенно согласен. И тоже о чем-то таком думал вчера вечером, когда только прочитал пост Никиты. Но только ведь это совсем о другом, чем вопрос, говорить ли слово "доказательство". Этим студентам все это можно рассказать совершенно честно, и про частные случаи, и про сложности доказательства общего случая.
... и возвращаясь к исходной теме, я сам не знаю всех технических деталей, хуже того, то, что считал очевидным, часто таковым не является. Но это, впрочем, уже мои проблемы исторического меня, а не методики преподавания.
Пример. В курсе "Анализ на многообразиях" я часто ссылаюсь на лемму Сарда, что мера критических значений гладкого отображения равна нулю.
Для одномерного случая это доказывается элементарным подсчётом, требующим двух минут удосочного времени, а полное доказательство, да ещё с уточнением, какого порядка гладкость нужна, - я сам никогда во всех деталях не разбирал :-( но тем не менее ещё за две минуты я объясняю, почему общий случай не требует привлечения новых идей, только более запутанных вычислений, - и ставлю точку. Мне нужен результат и интуиция/понимание, откуда он берётся, а ничего поучительного в сложном доказательстве для моих дальнейших целей нет.
Увы, у Никиты проблема, если я правильно понял, в том, что ему самому, чтобы понять, с какими фактами так можно и нужно поступить, а с какими не стоит, нужно едва ли не больше времени и сил прямо сейчас, чем для того чтобы просто разобраться с доказательствами в полной общности.
а к экзамену-то что тогда учить? Вот я студент, готовлюсь к экзамену, и не понимаю -- то ли мне надо самому разбирать все оставшиеся детали, то ли нет.
Я все свои экзамены даю вот уже много лет в одной и той же стандартной форме - листок с дюжиной задач на месяц домой. Каждая задача - доказательство какой-нибудь интересной теоремы, не вошедшей в курс, разбитое на подпункты, посильные для самостоятельного решения.
Соответственно, у студента тоже нет вопроса, как готовиться к экзамену, и что разбирать, а что нет.
Но, правда, число экзаменующихся невелико - меньше десятка всегда, и они почти всегда честно не списывают друг у друга. А некоторые, сообразив и найдя нужную теорему (с другим доказательством) в книжке, честно пишут: - мол, другое доказательство нашёл, прочёл, но вот тебе решение твоих пунктов. Зачитывается за полноценное решение, а чо.
Reply
Reply
Reply
Reply
Мне кажется, те доказательства, которые за одну пару не расскажешь, лучше пропустить - если внутри нет симпатичных лемм.
Что касается цели, то одна из основных задач алгебраической топологии - посчитать гомотопические группы сфер. Решить ее, видимо, невозможно - но в имеющихся попытках много важных вещей возникает.
Reply
Reply
Reply
Reply
Уж кому-кому, а как раз им более чем всем другим ученикам имеет смысл доказывать.
Reply
Reply
Этим студентам все это можно рассказать совершенно честно, и про частные случаи, и про сложности доказательства общего случая.
Reply
Reply
Для одномерного случая это доказывается элементарным подсчётом, требующим двух минут удосочного времени, а полное доказательство, да ещё с уточнением, какого порядка гладкость нужна, - я сам никогда во всех деталях не разбирал :-( но тем не менее ещё за две минуты я объясняю, почему общий случай не требует привлечения новых идей, только более запутанных вычислений, - и ставлю точку. Мне нужен результат и интуиция/понимание, откуда он берётся, а ничего поучительного в сложном доказательстве для моих дальнейших целей нет.
Reply
Увы, у Никиты проблема, если я правильно понял, в том, что ему самому, чтобы понять, с какими фактами так можно и нужно поступить, а с какими не стоит, нужно едва ли не больше времени и сил прямо сейчас, чем для того чтобы просто разобраться с доказательствами в полной общности.
Reply
Reply
Я все свои экзамены даю вот уже много лет в одной и той же стандартной форме - листок с дюжиной задач на месяц домой. Каждая задача - доказательство какой-нибудь интересной теоремы, не вошедшей в курс, разбитое на подпункты, посильные для самостоятельного решения.
Соответственно, у студента тоже нет вопроса, как готовиться к экзамену, и что разбирать, а что нет.
Но, правда, число экзаменующихся невелико - меньше десятка всегда, и они почти всегда честно не списывают друг у друга. А некоторые, сообразив и найдя нужную теорему (с другим доказательством) в книжке, честно пишут: - мол, другое доказательство нашёл, прочёл, но вот тебе решение твоих пунктов. Зачитывается за полноценное решение, а чо.
Reply
Leave a comment